第5章-三阶非线性光学效应.ppt

,第二级,第三级,第四级,第五级,第5章,三阶非线性光学效应,第5章 三阶非线性光学效应,5.1 克尔效应与自聚焦现象,5.2 三次谐波产生,5.3 四波混频,5.4 双光子吸收,5.5 受激喇曼散射（SRS）,5.6 受激布里渊散射（SBS）,5.7 受激光散射现象的一般考虑,5.1 克尔效应与自聚焦现象,5.1.1 克尔效应,1.克尔效应,克尔（Kerr）在1875年发现:线偏振光通过外加电场作用的玻璃时,会变成椭圆偏振光,如图5.1-1所示,当旋转检偏器时,输出光不消失。作用下,由原来的各向同性变成了光学各向异性,外加电场感应引起了双折射,其折射率的变化与外加电场的平方成正比,这就是著名的克尔效应。,图5.1-1 克尔效应实验示意图,这表示由于三阶非线性极化的作用,恒定电场的存在使得介质的介电张量元素 改变了 ,且,(5.1-2),2.光克尔效应,现在进一步讨论用另一光电场代替恒定电场,E,0,的光克尔效应。假定频率为,的光电场作用于介质的同时,还有另一束任意频率为,的光电场作用于该介质,则由于,光电场的作用,会使介质对,光波的作用有所改变。通过三阶非线性极化效应,将产生与频率为,光电场平方有关的三阶非线性极化强度的复振幅,P,(3),(,)为,(5.1-3),假定频率为,的光波沿z方向传播,由(5.1-3)式可得,(5.1-5),图5.1-2 光克尔效应开关,图5.1-3 光束在非线性介质中的光线路径,（虚线为波面,实线为光线）,图5.1-4 光脉冲在非线性介质中的自变陡现象,引起光束自聚焦的原因是光致折射率的变化,而光致折射率变化的物理机制是多种多样的,归纳起来主要有,2,:,（1）强光场使组成介质的分子或原子中的电子分布发生变化,这导致介质宏观电极化的变化,从而使折射率发生变化。,（2）对含有各向异性分子的液体（如CS2、苯及其衍生物）来说,由于各向异性分子在不同方向上有不同的分子极化率,这时与分子取向有关的高频克尔效应是引起折射率变化的主要原因。,（3）在强光场作用下的电致伸缩效应使介质密度发生起伏,从而引起折射率发生相应的变化。,（4）由于各种介质对入射光束均存在着不同程度的吸收,导致介质温度升高,从而引起介质折射率变化。,（5）光折变效应。,5.1.3 自聚焦的稳态理论,考虑到三阶非线性效应,在光场作用下各向同性介质的介电常数发生变化,总的相对介电常数为,(5.1-15),式中,r,为线性相对介电常数,2,为非线性相对介电常数系数,|,E,0,|,2,为光电场振幅平方。相应的极化强度可以表示成,(5.1-16),由此,在(5.1-15)式中,(5.1-17),介质的折射率为,(5.1-18),式中,(5.1-19),是线性折射率,n,是非线性折射率。因为通常,n,0,n,所以由(5.1-18)式可得,(5.1-20),若令,(5.1-21),则,(5.1-22),通常称,n,2,为非线性折射率系数。,5.1.4 动态自聚焦效应,上面讨论的稳态自聚焦理论适用于连续激光或脉冲持续时间较长（远大于折射率感应变化的响应时间）的激光,场强的形式由(5.1-26)式描述,场振幅与时间无关。如果入射激光脉冲比较短,其场振幅的包络函数与时间有关,它对时间的一阶导数必须考虑,则描述自聚焦效应的波方程与时间有关,称为动态自聚焦效应。,现假定输入的激光为准单色光,其光电场,E,的表示式为,(5.1-50),(5.1-51),与（5.1-27）式相比,（5.1-51）式只多了对时间的导数,项 。现作变量变换,令,(5.1-52),由上式可见,它与(5.1-27)式在形式上完全相同,只是现在在光电场振幅函数中含有时间参量,t,。因此,由稳态情况所求得的自聚焦的焦点位置公式也可直接应用于动态自聚焦的情况中,只是现在输入功率,P,是时间参变量,t,的函数。按(5.1-46)式,有,(5.1-55),图5.1-6 （a）自聚焦焦点位置随时间变化曲线,（b）输入激光脉冲功率,P,(,t,)变化规律,最后说明几点:,（1）因为自聚焦焦点处的光场来自介质内各点发出的光束的叠加,它并不代表各点光束的传播,不携带任何实际信息,所以自聚焦焦点移动速度大于光速并不违背狭义相对论。,（2）以上对于动态自聚焦的讨论实际上是假定物质对光场的响应非常快,认为只要一有激光场作用,介质的折射率就立即发生变化,当激光达到自聚焦阈值时,自聚焦现象就会随之发生。,实际上,如果激光脉冲很短,例如几个ps,这时介质对光场的响应时间比激光脉冲宽度还要长,这样,介质折射率的变化就跟不上光场的变化,因此必须考虑介质对光场的响应时间,即必须考虑瞬态的自聚焦现象。下面通过图5.1-7定性说明瞬态自聚焦现象。,图5.1-7 超短脉冲自聚焦的光束轮廓变化,图5.1 8 自相位调制,和,的时间关系,图5.1-9 考虑响应时间后自相应调制的,(,t,)和频谱图,(a),(,t,)相对光脉冲迟后；(b)频谱图,2.有自聚焦情况下自相位调制的频谱增宽,自聚焦作用不仅使聚焦区的光强大大提高,而且由于焦点的运动,使得聚焦区光脉冲宽度只有非线性介质响应时间的数量级。,图5.1-10 输入脉冲在CS,2,中的谱线增宽,4,5.2 三次谐波产生,5.2.1 平面波的三次谐波产生,设有一束频率为,的线偏振光作用于非线性介质,光波电场为,(5.-),式中,复振幅,E,(,)为,(5.-),其中,E,0,、,a,(,)和,n,1,分别为入射基波的振幅、振动方向的单位矢量和折射率。由三阶非线性效应产生的三次谐波极化强度的复振幅为,(5.-),按(.-)式,三次谐波光电场满足的耦合波方程为,(5.2-4),式中,k,3,=3,n,3,/,c,。组合(5.-)式、(5.-)式和(5.-)式,并令,(5.-),(5.-),可得,(5.-),在小信号近似情况下,可得三次谐波光电场为,(5.-),(5.-),5.2.2 高斯光束的三次谐波产生,我们采用(.-)式形式的基波高斯光束:,(5.2-10),为了求出这种情况下的三次谐波强度,采用如下更一般的处,理方法,5,6,7,。,根据非磁性介电晶体中的麦克斯韦方程,可以给出每个平面波分量的非线性极化强度及其产生的强迫波场之间所满足的波动方程为,(5.11),式中,r,是与频率,相应的相对介电常数张量；,K,是极化强度的“波矢”,P,(,K,)是“波矢”为,K,的非线性平面“极化波”。在这里,将“波矢”和“极化波”加了引号是因为从物理上来讲,极化强度并不是一个波动。与(5.-11)式对应,称下面方程式的解为自由波:,(5.-12),它是离开“极化波源”在晶体中自由传播的波场。,5.3 四,波,混,频,5.3.1 四波混频概述,四波混频是介质中四个光波相互作用所引起的非线性光学现象,它起因于介质的三阶非线性极化。,四波混频相互作用的方式一般可分为如图5.3-1所示的三类。,图5.3-1 四波混频中的三种作用方式,1）三个泵浦场的作用情况,在这种情况下,作用的光波频率为,1,2,和,3,得到的信号光波频率为,s,这是最一般的三阶非线性效应。,2）输出光与一个输入光具有相同模式的情况,在这种情况下,例如输入信号光为,E,s0,=,E,30,s,=,3,则由于三阶非线性相互作用的结果,E,3,将获得增益或衰减。,3）后向参量放大和振荡,这是四波混频中的一种特殊情况,其中两个强光波作为泵浦光场,而两个反向传播的弱波得到放大。,5.3.2 简并四波混频（DFWN）理论,1.简并四波混频作用,简并四波混频是指参与作用的四个光波的频率相等。这时,支配这个过程的三阶非线性极化强度一般有三个波矢不同的分量:,(5.-1),式中,图5.3-2 与简并四波混频过程相应的光栅图,2.非共振型简并四波混频过程,在非共振型四波混频过程中,光场将引起介质折射率的变化。通常所采用的介质,大致分为两类:一类对本地场响应（光克尔效应,13,）,另一类对非本地场响应（热响应,12,、光折变效应,13,14,、电致伸缩效应,15,等）。前者可以利用非线性极化率表征,后者不能直接利用非线性极化率表征。这些介质中的四波混频过程都可以通过耦合波方程描述。,图5.3-3 简并四波混频结构示意图,我们讨论的DFWM结构如图5.-所示,非线性介质是透明、无色散的类克尔介质,三阶非线性极化率是,(3),。在介质中相互作用的四个平面光波电场为,(5.-),其中,E,1,、,E,2,是彼此反向传播的泵浦光,E,3,、,E,4,是彼此反向传播的信号光和散射光。一般情况下,信号光和泵浦光的传播方向有一个夹角,它们的波矢满足,（5.-）,如果这四个光波为同向线偏振光,则可以根据非线性极化强度的一般关系,得到相应于某一分量的感应非线性极化强度,例如:,（5.-）,在考虑到慢变化振幅近似的条件下,介质中光电场复振幅的变化规律满足(3.3-23)式耦合波方程,即,(5.-),1）小信号理论,如果介质中的四个光电场满足|,E,1,(,r,)|,2,、,|,E,2,(,r,)|,2,|,E,3,(,r,)|,2,、|,E,4,(,r,)|,2,就可以忽略泵浦抽空效应。在这种情况下,只需考虑,E,3,(,r,)和,E,4,(,r,)所满足的方程即可。假设,E,3,(,r,)和,E,4,(,r,)沿着z轴彼此相反方向传播,相应的耦合波方程为,(5.-),因为三阶极化率是实数,所以右边第一项仅影响光电场的相位因子,对能量的变化没有贡献,故可以定义,(5.3 -9),并可以得到,E,3,(z)和,E,4,(z)满足的方程。为了方便起见,在下面求解,E,3,(z)和,E,4,(z)的过程中,我们略去右上角的撇号,将,E,3,(z)和,E,4,(z)满足的方程改写为,(5.-),式中,(5.-),在这里已考虑到,k,3,=,k,4,=,k,。假设边界条件为,(5.-),可以解得,(5.-),在两个端面上的输出光电场为,(5.-),由此可以得到如下结论:,(1)在输入面(z=0)上,通过非线性作用产生的反射光场,E,4,(0)正比于入射光场,E,*,30,。因此,反射光,E,4,(z0)是入射光,E,3,(z|,g,|,L,(,/4)时,R,1。此时，可以产生放大的反射光,在介质中,E,3,和,E,4的功率分布如图5.3-5所示。,图5.-,振荡时,介质中,E,3,和,E,4,的功率分布,图5.-5 DFWN的放大特性,2）大信号理论,16,17,在DFWN过程中,如果必须考虑泵浦抽空效应,就应当同时求解(5.-)式的四个方程,这就是大信号理论。,我们讨论的作用结构如图5.-所示,E,1,、,E,2,是彼此反向传播的泵浦光,E,3,E,4,是彼此反向传播的信号光和相位共轭光,光电场仍采用(5.3-3)式的形式。,图5.-6 非共线DFWM结构示意图,为了分析简单起见,我们假设四个光电场同向线偏振,并且忽略光克尔效应引起的非线性折射率变化项。在这种情况下,(5.-)式变为,(5.-17),在求解这些方程时,为了克服有多个坐标量的困难,我们引入共同坐标,z,。对于平面波而言,有,(5.-),而由图5.-,又有,cos,1,=cos,3,=cos,cos,2,=cos,4,=cos,于是,(5.-)式可以改写为,（5.3-19）,在一般情况下,DFWM相位共轭特性可以通过对(5.-)式进行数值计算给出。图5.-图5.-分别为对称激励情况下计算得到的特性曲线,由这些曲线可以得到DFWM的如下特性:,(1)饱和特性。,由图5.-可见,在,I,s固定的情况下,随着,I,p,的增大,相位共轭反射率,R,也增大,当,I,p,增大到一定程度时,出现饱和现象。这种饱和现象是由于非线性耦合效应和泵浦抽空效应共同作用的结果。即随着,I,p,的增大,非线性耦合加强,同时,泵浦抽空效应也越来越显著,导致共轭反射率的饱和。,图5.3-7,I,s,为参量时,R,与,I,p,的关系曲线,图5.3-8,为参量时,R,与,I,p,的关系曲线,(2)自振荡特性。,在,I,s,=0的情况下,I,p,增大到某一数值时,将产生自振荡输出(,R,)。,如图5.3-所示,D,=0时,振荡阈值泵浦激励强度(,I,p,),th,=,。随着,的增大（相应于产生的振荡信号输出增大）,(,I,p,),th,也增大,振荡阈值可由(5.3-35)式求出。,(3)泵浦抽空特性。,如图5.-所示,当,R,固定时,随着,I,p,的增大,泵浦抽空效应愈加显著。这是因为,如图5.-10所示,在,R,固定时,I,p,增大,I,s,必定增大,从而泵浦抽空必然严重。图5.3-9中的,表示泵浦能量趋于完全转化为信号能量。,图5.-,R,为参量时,D,与,I,p,的关系曲线,图5.10,R,为参量时,I,s,与,I,p,的关系曲线,图5.11 PCR结构,(4)如图5.-11所示,在DFWM结构外加一个普通反射镜,就构成了以后将要讲到的相位共轭谐振腔（PCR）。假定反射镜的反射系数为,r,在不考虑损耗的情况下,PCR的振荡(也即DFWM自振荡)阈值条件为,(5.-),相应于这种情况,DFWN自振荡时的相位共轭反射率为,(5.-),.共振型简并四波混频过程,从上面的讨论可以看出,为了提高四波混频的效率,希望增大,(3),。但实际上,对于非共振型非线性介质来说,(3),不可能很大。如果采用共振型非线性介质,则由于极化率的共振增强,会大大提高四波混频效率,有可能在较低的泵浦强度下,获得较强的相位共轭波,甚至可以连续工作。,假设四波混频结构如图5.-12所示,E,1,E,2,是沿着任意方向彼此反向传播的强泵浦光,E,3,E,4,是沿着,z,轴彼此反向传播的弱信号光和相位共轭光,它们的波矢满足,k,1,+,k,2,=,k,3,+,k,4,=0,并且波数相等,令其为,k,。为了讨论方便起见,我们认为这四个光波同偏振,且不计泵浦抽空效应。,根据第二章的讨论,在稳态情况下,二能级原子系统的极化率为,(5.-),图5.3 12 共振型DFWM结构示意图,式中,=(,0,),T,2,为偏离谱线中心的归一化失谐频率；|,E,s0,|,2,=2/(,T,1,T,2,p,2,)为谱线中心饱和参量；,0,=,p,2,n,0,T,2,k,/(2,0,)为谱线中心的小信号吸收系数；,T,1,T,2,分别是纵向弛豫时间和横向弛豫时间；,n,0,是无场时二能级的粒子数差,p,是原子偶极矩,k,为波数。由前面的假设,可以将介质中光电场表示为,E,=,E,0,+,E,(5.-),其中,E,0,=,E,1,+,E,2,是强泵浦光场,E,=,E,3,+,E,4,是弱信号光场。因为,E,0,E,所以可将(,E,)=(,E,0,+,E,),在,E,0,处展成台劳级数,并取到一次项,得,(5.-),在这种情况下,极化强度为,(5.-),共振型过程的如下特性:,(1)当信号光,E,3,(,z,0)入射到共振介质上时,由于非线性作用,将产生其背向相位共轭光,E,4,(,z,s,),则该二频率光电场满足的耦合波方程为,与双光子吸收过程的情况相同,在这里没有相位匹配条件的限制。,(5.5-3),(5.5-4),图5.5-3 SRS效应中,s,和,p,二光的放大和衰减曲线,5.5.3 受激喇曼散射的多重谱线特性,在受激喇曼散射的光谱实验中人们发现,除存在与普通喇曼散射光谱线相对应的谱线外,有时还有一些新的等频率间隔的谱线,如图5.5-4所示,这就是受激喇曼散射的多重谱线特性。,图 5.5-4,（,a,）普通喇曼散射频谱图;（b）受激喇曼散射频谱图,图5.5-5 SRS的实验装置示意图,利用红宝石激光束在苯中产生SRS的实验装置如图5.5-5所示,所产生的环状有色图案如图5.5-6所示。,图5.5-6 图5.5-5实验中产生的SRS光频率和方向分布,例如,根据光波的非线性相互作用理论,一级反斯托克斯散射光可以认为是由一级斯托克斯散射光和入射激光通过三阶非线性极化,(5.5-17),产生的。但由该式可见,一级反斯托克斯散射光只有满,足相位匹配条件,(5.5-18),图5.5 7 产生一级反斯克托斯散射光的相位匹配矢量图,以上讨论的受激喇曼散射都是由分子的振动、转动引起的,这种受激喇曼散射的频移量一般在10,2,10,3,cm,-1,量级,产生这种效应的物质有:,（1）液体:主要是以硝基笨、苯、甲苯、CS,2,为代表的几十种有机液体,它们有较大的散射截面。,（2）固体:主要是以金刚石、方解石为代表的晶体,另外还有光学玻璃和纤维波导等介质。,（3）气体:主要是气压为几十到几百个大气压的H,2,N,2,O,2,CH,4,等高压气体,采用较高气压是因为散射增益因子与分子密度成正比。,表5.5-1 若干介质的受激喇曼频移量,5.5.4 受激电子喇曼散射（SERS）,25,在受激喇曼散射效应中,如果介质是由原子系统组成的（如Cs、K、Ba等金属蒸气）,则散射过程前后原子所处能级属于不同的电子能级,因此将这类受激喇曼散射叫作受激电子喇曼散射。,图5.5-8示出了红宝石激光射入钾蒸气中产生受激电子喇曼散射的示意图。,图5.5-8 钾的能级图及产生SERS的示意图(虚线表示光泵浦4s4,p,3/2,),图5.5-9,4s5s受激电子喇曼散射跃迁的能级图,可调谐输出为,s,5.5.5 受激自旋反转喇曼散射和决定于分子纯转动能态改变的受激喇曼散射受激,自旋反转喇曼散射是基于半导体中迁移电子所产生的非线性光学效应。如果将半导体材料置于外磁场中,半导体导带会如图5.5-10(,a,)所示,分裂成一系列分立的等间隔能级,间隔为,E,=,c,式中的,c,是回旋共振频率,这些能级称为回旋共振能级（或朗道能级）,并用量子数,n,表征。,图5.5-10 磁场中半导体导带分裂为一系列朗道能级的示意图,5.5.6 双谐泵浦过程和相干反斯托克斯喇曼散射（CARS）,1.几点说明,（1）从量子力学观点看,喇曼散射过程首先是介质分子吸收一个入射光子,产生一个假想的“跃迁”,接着介质分子作第二个“跃迁”,到达终态,并发射一个散射光子,即斯托克斯光子。,（2）从受激喇曼散射和参量放大的讨论可以看出,它们之间存在着某些类似之处:二者都是辐射场的低频分量被放大,又都是消耗辐射场的高频分量,而且该二分量的能量交换都是,一个光子对一个光子进行的,即每有一对光子交换,就有一个总的能量损耗(,3,1,),（参量放大）或(,p,s,)（受激喇曼散射）。,（3）受激喇曼散射过程和双光子吸收过程都属于非参量过程,它们没有像参量过程所要求的相位匹配条件,但是可以推广出另一种形式的相位匹配条件。通常所讲的相位匹配条件是指非线性过程中要满足动量守恒,如果我们引入与介质的激发态相联系的波矢,则动量守恒也可以应用于双光子吸收和受喇曼散射过程。,图5.5-11 双谐泵浦过程（,1,和,2,分别通过SRS产生,1s,和,2s,同时,1s,和,2s,也可通过参量过程产生,1s,=,1,(,2,2s,）),图5.5-12 喇曼共振和频产生,4,=,3,+,f,g,CARS；喇曼共振差频产生,3,=,4,-,f,g,2.双谐泵浦过程,在图5.5-11中,输入的泵浦光频率为,1,和,2,与此相应,可产生的斯托克斯频率为,1s,和,2s,。特别有意义的情况是,如果频率为,1,的泵浦特别强,超过了能产生,1s,的受激散射过程的阈值,而频率为,2,的泵浦光不够强,不足以产生,2s,的受激散射过程（没有,1,的泵浦光输入时）,但当,1,和,2,同时输入时,频率为,2s,的辐射也可以由四波混频过程产生,即,2s,=,2,(,1,1s,)=,2,fg,。,3.双谐泵浦过程的理论分析,按图5.5-11,频率为,1s,的光场由两个过程产生,即由频率为,1,的泵浦光产生的受激喇曼散射过程(SRS,1,)和四波混频过程(4WM)。由S,R,S,1,过程引起光场,E,1s,的变化规律按(5.5-3),式有,(5.5-27),由4WM过程引起,E,1s,的变化规律为,(5.5-28),式中,(5.5-29),(5.5-30),(5.5-31),将(5.5-30)式分为实部和虚部,即有,根据极化率张量实部的完全对易对称性,有,利用受激喇曼效应分析的结果,有,所以有,5.6 受激布里渊散射（SBS）,第一个用来探测受激布里渊散射的实验装置示意图如图5.6-1所示。因为受激布里渊散射光相对入射光的频移很小,一般小于1cm,-1,（参见表5.6-1,29,）,所以对散射光谱进行分析时,必须采用高分辨率的光谱分析仪器。,图5.6-1 受激布里渊散射实验装置示意,5.6.1 受激布里渊散射效应的基本耦合方程,1.声波的运动方程,设,u,(,x,t,)是介质内,x,处的质点偏离平衡位置的位移,介质密度为,m,弹性系数为,则当只有弹性力存在的情况下,沿,x,方向传播的声波波动方程为,(5.6-1),外界电场作用引起介质的应变会导致其介电常数改变,从而使静电储能密度发生相应的改变,即,(5.6-2),则介质总的电能改变为,(5.6-3),所以,(5.6-4),式中,E,=,。因为,2.电磁波方程,如前所述，电磁场对介质作用激励起声波,而由声波所产生的介电常数的改变d,引起的附加非线性极化项为,(5.6-31),根据(5.6-20)式，,而对于一维运动的情况,应变(-dV/V)就是(,u,/,r,s,),所以有,(5.6-32),因此,由声波产生的附加非线性项(5.6-31)式变为,(5.6-33),5.6.2 受激布里渊散射,上述分析表明,一束频率为,2,的强激光束作用于介质时,会产生频率为,1,的散射光和频率为,s,=,2,1,的声波。假定频率为,2,的泵浦光比,1,散射光和,s,的声波强得多,则可认为,E,2,(,r,2,)近似不变。这样,我们只要求解(5.6-30)式和(5.6-40)式即可。,现在,在(5.6-30)式中取,s,=,k,s,v,s,可得,(5.6-42),频率为,1,的散射光方程(5.6-40)可以改写为,(5.6-43),图5.6-2 坐标变换关系,图5.6-3 在各向同性介质中(,k,1,k,2,)SBS的矢量关系:,k,2-,k,1,=,k,s,（a）任意角;(b)背向散射,5.7 受激光散射现象的一般考虑,前面我们在用耦合波理论讨论受激布里渊散射现象时,明确地讲是频率为,1,和,2,的光波与频率为,s,的声波之间的耦合。但是在讨论受激喇曼散射现象时,只分析了泵浦光和斯托克斯光的变化规律,并没有引入与物质激发相对应的振动波的耦合。如果我们认为激光入射到介质上时,在介质中激发起频率为,v,的振动波Q,则也可以把SRS看作是波之间的耦合问题,而且,也可以用这种观点解释高阶SRS效应。,图5.7 1 SRS过程中波之间耦合示意图,如果我们把上面引入的,Q,不仅仅限于对应分子喇曼散射效应的振动波,而推广到任意物质的激发波,32,则可用类似受激喇曼散射的机理解释一般的受激光散射现象。例如:,（1）分子振动加转动波；,（2）声子（即受激布里渊散射）；,（3）电子激发（如受激电子喇曼散射）；,（4）自旋反转喇曼散射；,（5）自旋波；,（6）熵波；,（7）受激浓度散射；,（8）分子定向波；,（9）声波；,（10）等离子体波；,（11）电磁耦合场量子波。,习 题,5-1 推导高斯光束从输入面到自聚焦焦点的距离公式（5.1-55）式。,5-2 在三次谐波产生过程中,当谐波增加到足够强时,会因光克尔效应破坏三次谐波产生的相位匹配条件,降低谐波输出,试说明之。,5-3 求出双光子吸收的,量子力学表示式,并分析它的实部和虚部特性。,5-4 由受激喇曼散射的,的量子力学表示式分析它的实部和虚部特性。,5-5 以三次谐波产生和受激喇曼散射为例,比较参量过程和非参量过程的差异。,5-6 试证明在正常色散的各向同性介质中,为什么对于同方向传播的光波不能满足2,k,2,=,k,1,+,k,3,。,5-7 证明（5.6-54）式和（5.6-55）式。,