山东大学工科研究生数学物理方法class9第812Laplace方程矩形域(齐次方程的分离变量法.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第八章 分离变数,(,傅里叶级数,),法,分离变数法,是定解问题的一种基本解法，适用于大量的,第一节、齐次方程的分离变数法,征值,问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。,个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成,本,各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程,分解,成几,2,散热片的横截面为矩形，一边,y,b,处于较高温度,U,，其他,例,3,：,三边,y,0,，,x,0,和,x,a,处于冷却介保持较低的温度,u,0,，求,解横截面上的稳定温度分布,u,（,x,，,y,），即定解问题：,3,x,y,U,u,0,u,0,u,0,O,a,b,如右图所示：,解,这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值,把,u,（,x,，,y,）分解为,v,（,x,，,y,）和,w,（,x,，,y,）的线性叠加：,其中,v,和,w,分别满足一组齐次边界条件即：,化为齐次的，可以带来方便。,是齐次的，此时恒为零，但可以把边界,问题，没有初始条件，边界条件不能都,4,可以验证，把,w,和,v,的泛定方程叠加起来就是,u,的泛定方程,把,v,和,w,的边界条件叠加起来就是,u,的边界条件，则原问题化为,另解,令,把原来的温度,U,0,作为新,的温标,v,（,x,，,y,）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：,分离变数令：,问题解出。,求解,v,和,w,，而此时,v,和,w,各有两个齐次边界条件可以利用本征值,5,代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得,X,和,Y,的常微分方程,和,X,的边界条件：,（,1,）,（,2,）,则显然（,1,）构成本征值问题，可得本征值为：,本征函数为：,将本征值代入（,2,）可得：,分离解为：,叠加即得一般解：,Example 2:,Example 3:,Example 4:,16,双曲正弦,双曲余弦,