06薛震-概率统计-D5基本极限定理-中北大学.ppt

NORTH UNIVERSITY OF CHINA,上一页,下一页,返 回,结 束,目 录,第五章 基本极限定理,概率统计电子教案 薛震 编,基本极限定理,第五章,切比雪夫不等式与大数定律,中心极限定理,第五章,切比雪夫不等式与大数定律,第一节,一、切比雪夫不等式,二、,大数定律,即,引 言,频率的稳定性,用频率代替概率的科学性.,1,.背景:,2,.内容:,用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的,一系列定理称为大数定律.,3,.刻画:,定理1:,设,X,的数学期望,方差,则,有,或,注:,切比雪夫不等式常用来在,E,(,X,),和,D,(,X,),已知时,对事,件,发生的概率进行估计.,一、切比雪夫不等式,切比雪夫,例1.,已知我校有1万盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率,均为0.8,且它们开关与否相互独立,试用切比雪夫不等式,估计夜晚同时开灯7800-8200盏之间的概率.,解:,设,X,表示夜晚开灯数,则,又因为,E,(,X,)=8000,D,(,X,)=1600,则由切比雪夫不,这说明只需供应8200盏灯的电力就能以相当大的概,率保证这1万盏灯的正常使用.,等式知,1,.切比雪夫大数定律,二、大数定律,定理,2,:,设相互独立的随机变量,具有有,限的期望和方差,若存在常数,C,使,则,有,即,推论:,设相互独立的随机变量,服从相,同的分布,且,则有,注:,该结论的实际意义在于,为了减少测量的随机误差,常常用测量的平均值来代替真实值,即,(切比雪夫大数定律推论的特殊形式),2,.伯努利大数定律,定理,3,:,设,是,n,重伯努利试验中事件,A,发生的次数,且,则有,注:,该结论的实际意义在于,当试验次数很大时,便可以,用事件发生的频率来代替其概率.,设独立随机变量序列,则当,n,很大时,和方差都存在,2,.内容:,3,.刻划:,的期望,1,.背景:,若一个量受到大量独立的随机因素综合影响,而每一因素在总影响中所起的作用并不大,则这个量通常,近似服从正态分布.,引 言,设相互独立的随机变量,定理1:,(Levy-Lindeberg中心极限定理),一、独立同分布的中心极限定理,服从相,同的分布,且,则,有,即,例,2,.,设某食品用机器装袋,每袋净重的期望为100g,标,准差为4g,一箱装100袋,求一箱净重大于10100g的概率.,解:,设,表示第,i,袋食品的净重,则,独立,同分布,且,而一箱净重,由独立同分布的中心极限定理可知:,所以,(独立同分布的中心极限定理的特殊形式),二、De Moivre-Laplace中心极限定理,定理,2,:,设,是,n,重伯努利试验中事件,A,发生,且,则有,注:,设,当,n,比较大时,对任意的,a,b,有,的次数,拉普拉斯,例,3,.,保险公司多年统计资料表明,因被盗理赔的用户占,20%,以,X,表示100个理赔用户中因被盗理赔的个数,试写出,X,的概率分布,并利用拉普拉斯中心极限定理,求被盗理赔,用户大于14且不多于30户的概率近似值.,解:,(1),易知,则,X,的分,(2),已知,n,=100,p,=0.2,由拉普拉斯中心极限定理得,布列为,内容小结,1.利用切比雪夫不等式进行近似计算；,2.切比雪夫大数定律；,3.伯努利大数定律；,4.辛钦大数定律；,6.独立同分布的中心极限定理；,7.德莫夫-拉普拉斯中心极限定理.,5.利用中心极限定理进行近似计算；,切比雪夫,(1821 1894),切比雪夫,俄罗斯数学家.,1821年5月,生于俄国卡卢加,1894年12月卒于彼得堡.,他出身于贵族家庭,左脚生来有残疾,因而童年时代的他经常独坐家中,养成了,在孤寂中思索的习惯.,16岁进莫斯科大学,1841年因方,程根的计算一文获银质奖章.,1847年进彼得堡大学,两,年后获博士学位,1859年当选为彼得堡科学院院士.,切比雪夫,一生发表了70多篇科学论文,论、概率论、函数逼近论、积分学等方面.,内容涉及数,辛钦,(1894 1959),辛钦,现代概率论的奠,苏联数学家,基者之一,1894年7月生于莫斯科,1959年,11月去世.,1916年毕业于莫斯科大学,先,后在莫斯科大学和苏联科学院斯捷克洛,夫数学研究所等处工作.,1939年当选为苏联科学院通讯,院士,他还是俄罗斯教育科学院院士.,辛钦在函数的度量理论、数论、概率论、信息论等,方面都有重要的研究成果.,在分析学、数论及概率论对,统计力学的应用方面也有重要贡献.,拉普拉斯,(1749 1827),拉普拉斯,法国数学家和天文学家,1749年3月生于博蒙昂诺日,1827年3月卒,于巴黎.,他一生在科学上的贡献仅次于牛,顿而居第二.,拉普拉斯是天体力学的主要奠基人,是天体演化学的,创立者之一,是分析概率论的创始人,是应用数学的先躯.,他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇,专著,合计有4000多页,创造和发展了许多数学方法,以他的名,字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程,在科学技术的各个领域有着广泛的应用.,