经济管理数学第5章-概率统计及其应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5章 概率统计及其应用,5.1 随机事件与概率,5.1.1 随机事件,定义5.1,样本空间,的子集，称为该随机试验的一个随机事件，简称事件，常用大写字母,A,B,C,，表示，记为,A,，,B,，,C,，,.,5.1.2 事件的概率,(1)统计概率,定义5.2,(概率的统计定义)如果在,n,次重复试验中，当,n,充分大时，事件,A,在这,n,次试验中出现的频率稳定在某个固定常数,p,附近，则称此常数,p,为事件,A,出现的统计概率，简称概率，记为,(2)古典概率,定义5.3,(概率的古典定义)在古典概型中，如果基本事件的总数为,n,，而事件,A,又由其中,m,A,个基本事件组成，则定义事件,A,的概率为,这叫概率的古典定义，由它所定义的概率，称为古典概率.可见，对古典概型的问题，只要求出基本事件总数,n,和事件,A,所包含的基本事件数,m,A,，由公式(5.)就可直接计算事件,A,的概率了.,(3)事件的关系和运算,1)包含 如果事件,A,发生，必然导致事件,B,发生，则称事件,B,包含事件,A,(或称,A,是,B,的子事件)，记为,A,B,.,2)相等 如果,A,B,，且,B,A,，则称事件,A,与事件,B,相等或等价，记为,A,=,B,.,3)并 两事件,A,与,B,中至少有一个发生所构成的事件称为,A,与,B,的并(或和)，记为,A,B,.,4)交 两事件,A,与,B,同时发生所构成的事件，称为,A,与,B,的交(或积)，记为,A,B,或,AB,.例如，,A,2,A,3,=,A,1,5)互斥 事件,A,与事件,B,不能同时发生，即,AB,=,，则称事件,A,与,B,互斥.如产品合格,A,1,与产品不合格,为互斥事件.,)互逆 如两事件,A,与,B,不同时发生，但又必须有一个发生，即,AB=,，且,A,B,=,，则称事件,A,与,B,互逆(或对立)或称,B,是,(或,A,是,)的对立事件，记为,B=A,(或,A,=,B,).,7)差事件,A,发生，但事件,B,不发生所构成的事件称为事件,A,与,B,的差，记为,A,-,B,，显然,(4)概率的性质,性质1,(非负性)对任何事件,A,，均有,性质2,(规范性)必然事件的概率为1，即,性质3,(互斥可加性)若事件,A,，,B,互斥，即,AB,=,，则,推论1,若,A,1,，,A,2,，,A,n,两两互斥，即,推论2,对立事件概率之和为1，即,性质,P,()=.,即不可能事件的概率为零.,性质5,若,A,B,，则,性质6,(广义加法定理)若,A,，,B,为任何二事件，则有,5.1.3 条件概率及其应用,在实际问题中，不仅要考虑事件,A,的概率,P,(,A,)，有时还需要研究在“事件,B,已发生”的条件下，事件,A,发生的条件概率.记为,P(A|B,).,(1)条件概率,定义5.4,在事件,B,发生的条件下，事件,A,发生的概率叫做事件,A,在事件,B,发生的前提下的条件概率，记作,例9,设在96件产品中有3件次品，今无放回地依次抽取两件，问两件都是合格品的概率是多少？,解,设,A,i,表示“第,i,次取得合格品”，则两件都是合格品就是,A,1,，,A,2,同时发生，要求的是,P,(,A,1,A,2,)，由乘法公式,(3)事件的独立性,定义5.5,若事件,A,与,B,满足条件：,则称事件,A,，,B,，,C,相互独立.,定理5.1,若事件,A,，,B,相互独立，则,这三对事件都相互独立.,*,(4)全概率公式与贝叶斯公式,1)全概率公式 设事件,A,1,，,A,2,，,A,n,满足：,则对任何事件,B,有,在相同的条件下，将同一试验重复做,n,次，如果每次试验的结果都与其他各次试验的结果无关，则称这种试验为重复独立试验.又如果每次试验只有两种可能结果,A,与 ，且事件,A,发生的概率,P,(,A,)在每次试验中保持不变，这种,n,次重复独立试验的随机现象称为,n,重贝努里概型.这是一种非常重要而又常见的概型，它有广泛的应用，许多实际问题都可归纳为这种概型.一个有放回的抽样模型，就是一个标准的贝努里概型.,(2)二项概率公式,若一次试验中事件,A,发生的概率为,p,，则在,n,重贝努里试验中，事件,A,恰好发生,k,次的概率为,(3)分布函数的性质,性质1,(有界性),F,(,x,)1.,性质2,(单调不减性)若,x,1,x,2,，则,F,(,x,1,),F,(,x,2,).,性质3,(左连续性),F,(,x,-,0)=,F,(,x,).,5.2.2 离散型随机变量及其分布,(1)概率函数和分布函数,定义5.8,设随机变量,X,的可取值为：,x,1,，,x,2,，,x,i,，其相应的概率分别为,p,1,，,p,2,，,p,i,，则等式,称为随机变量,X,的概率函数，表格,称为,X,的概率函数或分布列，并称,X,为离散型随机变量.,离散型随机变量的概率函数具有以下两个基本性质:,2)二项分布,若随机变量,X,的概率函数为,且1,p,1，1,-,p,=,q,，则称,X,服从以,n,，,p,为参数的二项分布，记为,X,B,(,n,，,p,).,3)泊松(Poisson)分布,若随机变量,X,可取一切非负整数，且概率函数为,则称,X,服从参数为,的泊松分布,记作,X,P,(,),5.2.3 连续型随机变量及其分布,(1)密度函数和分布函数,1)定义5.9 如果存在非负函数,f,(,x),，使对任意实数,x,，随机变量,X,的分布函数,则称,X,为连续型随机变量，,f,(,x,)为,X,的概率密度函数，简称概率函数或密度函数，常称为密度函数.,y,f,(,x,)的几何图形称为,X,的分布曲线.,2)密度函数的性质,由定义可知，密度函数,f,(,x,)具有如下性质：,性质,f,(,x,).,即,X,的分布曲线在,Ox,轴上方.,性质2,即介于分布曲线与,Ox,轴之间面积总和为.,事实上，,性质3,即,X,落在区间,a,，,b,)内的概率等于随机变量,X,的密度函数,f,(,x,)在区间,a,，,b,)上的定积分值，或等于区间,a,，,b,)上分布曲线下的曲边梯形的面积.,事实上，,性质4,在,f,(,x,)的连续点处，有,这里分析一下,f,(,x,)的意义:,(2)常用的典型分布,1)均匀分布,若随机变量,X,的密度函数为,2)指数分布,若随机变量,X,的密度函数为,其中,k,0，则称,X,服从参数为,k,的指数分布，它的分布函数为,指数分布的实际背景是各种消耗性产品的“寿命”.正因如此，指数分布常用来描述各种“寿命问题”.,3)正态分布,若随机变量,X,的密度函数为,其中,a,为常数，且,，则称,X,服从参数为,a,，,2,的正态分布，记作,X,N,(,a,，,2,).它的分布函数为,y,=,f,(,x,)的图形如图5.7所示.由微积分学知道：,x,=,a,时,，f,(,x,)达到最大,分布曲线,y,=,f,(,x,)对称于直线,x,=,a,；,分布曲线,y,=,f,(,x,)两个拐点的横坐标为,x,=,a,；,分布曲线,y,f,(,x,)以,x,轴为水平渐近线；,若固定,，改变,a,之值，则分布曲线,y,f,(,x,)沿,x,轴平行移动，曲线的几何形状不改变；若固定,a,，而改变,之值，由,f,(,x,)的最大值可知，当,越大，,y,f,(,x,)的图形越平坦，当,越小，,y,f,(,x,)的图形越陡峭，如图5.8所示.,图5.7,图5.8,性质2,若,X,N,(,a,，,2,)，,Y,N,(，)，且其分布函数分别为,F,(,x,)和,(,x,)，则,图5.9,*,性质,若,X,N,(,a,，,2,),则,5.3 随机变量的数字特征,5.3.1 数学期望,(1)离散型随机变量的数学期望,定义5.10,设离散型随机变量,X,的概率函数为,其中,p,i,为,X,的概率函数.,例27 设,X,的分布列为,求,EX,，,EX,2,，,E,(,X,2,-,).,这里指出，随机变量,X,的数学期望,EX,可为一切实数，且它表达了,X,取值的“集中趋势”.,(3)数学期望的性质,设,a,，,b,，,c,为常数，,X,，,Y,为随机变量，且,EX,，,EY,均存在，则数学期望具有以下性质：,性质,Ec,=,c,，即常数的数学期望就是它本身.,性质,EcX,=,cEX,.,性质,E,(,X,Y,),EX,EY,.,推论,E,(,X,1,+,X,2,+,Xn,)=,EX,1,+,EX,2,+,EX,n,.,性质,E,(,aX,+,b,)=,aEX,+,b,.,性质,设,X,，Y独立，则E(,XY,)=,EX,EY,.,推论,设,X,1,，,X,2,，,X,n,相互独立，则,5.3.2 方差,(1)方差概念,定义5.12,设随机变量,X,的数学期望为,EX,，如果,存在，则称,E,(,X,-,EX,),2,为随机变量,X,的方差，记为,DX,，即,又称,为,X,的标准差或均方差，记为,(,X,).,(2)方差的性质,设,a,，,b,，,c,为常数，且,DX,，,DY,存在，方差具有以下性质:,性质,Dc,=.即常数的方差为零.,性质,D,cX,=,c,2,DX,.,性质,若,X,，,Y,相互独立，则,D,(,X,Y,)=,DX,+,DY,*,5.3.3 统计中常用的矩,(1)原点矩,定义5.13,设,X,是随机变量，若对于正整数,k,，|,X,|,k,的数学期望,E|X|,k,+(,k,=，)，则称,EX,k,为,X,的,k,阶原点矩，记为,v,k,，即,显然，数学期望就是一阶原点矩，即,EX,=,v,1,.,(2)中心矩,定义5.14,设,X,是随机变量，若对于,X,的离差的正整数,k,次幂|,X,-,EX,|,k,的数学期望,E,|,X,-,EX,|,k,+(,k,=1，2，)，则称,E,(,X,EX,),k,为,X,的,k,阶中心矩.记为,显然，方差就是二阶中心矩，即,DX,=,且一阶中心矩恒为零，即,E,(,X,-,EX,)=.,(3)相关矩(或协方差),由于随机变量,X,与,Y,各自的期望与方差仅仅反映它们作为一维随机变量自身的特征.对于二维随机变量(,X,，,Y,)，自然希望定义出能够反映各分量,X,与,Y,之间的联系的某种数字特征，这就引出了相关矩的概念.,定义5.15,设,X,、,Y,为定义在同一样本空间,上的两个随机变量，对二维随机向量(,X,，,Y,)，若,E,(,X,-,EX,)(,Y,-,EY,)存在，则称它为随机变量,X,与,Y,的相关矩(或协方差)，记为Cov(,X,，,Y,)，即,相关矩是二维随机变量的一个重要数字特征，它刻画了,X,与,Y,的取值之间的相互联系，用来描述随机变量之间的相关性.顺便指出：若,X,与,Y,相互独立,则Cov(,X,，,Y,)=.反之，不成立.又若,X,、,Y,为随机变量，则,(4)相关系数,定义5.16,设随机变量,X,与,Y,的相关矩Cov(,X,，,Y,)和各自的方差均存在，且,DX,，,DY,，则称,为,X,与,Y,的相关系数，记为,(,X,，,Y,)，即,(5)切比谢夫不等式,设随机变量,X,有数学期望,EX,和方差,DX,，则对任意的,，有,5.4 统计分析中的样本分布,5.4.1 几个基本概念,(1)总体与个体,在数理统计中，把研究对象的全体所构成的集合称为总体，把构成总体的每个单元称为个体(或样品).,(2)样本与容量,定义5.17 若按一定规则，从总体,X,中，随机抽取,n,个个体,X,1,，,X,2,，,X,n,，这,n,个个体,X,1,，,X,2,，,Xn,就称为总体,X,的一个容量为,n,的样本，简称样本.,定义5.18,在数理统计中，把满足相互独立且与总体,X,同分布的样本,X,1,，,X,2,，,X,n,，称为简单随机样本.,(3)统计量,定义5.19,设,X,1,，,X,2,，,X,n,是总体的样本，则样本的函数,称为统计量.,5.4.2 样本的数字特征,定义5.20,设,X,1,，,X,2,，,X,n,是总体,X,的样本，称统计量 为样本均值，记为,称统计量 为样本方差，记为,并称 为样本标准差.,在实际应用中，用得最多的还是一阶样本原点矩和二阶样本中心矩，亦即样本均值 和样本方差,S,2,.显然,5.4.3 抽样分布,(1),u,-,分布,定理5.2(样本均值的分布)设样本,X,1,，,X,2,，,X,n,来自正态总体,X,N,(,a,，,2,)，则统计量,推论 若,X,N,(,a,，,2,)，,X,1,，,X,2,，,X,n,为总体,X,的样本，且,为其样本均值.则统计量,服从标准正态分布，即,通常称它为,U,统计量，后面将用,U,统计量对总体进行推断.,U,统计量的分布称为,u,-分布.,(2),-,分布,定义,5.21,设样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,来自标准正态总体,X,N,(0,，,1),，,则统计量,称为自由度为,n,的,变量，其分布称自由度为,n,的,-,分布，记为,(,n,).,变量的分布曲线与,n,有关，如图5.10所示，当,n,越大时，它就越接近正态分布，当,n,30时，,-,分布就可用正态分布去近似.,-,统计量有以下性质：,设,X,1,X,2,X,n,为来自正态总体,X,N,(,a,)的样本,则,(3),t,-分布,定义5.22,设样本,X,1,，,X,2,，,X,n,来自正态总体,X,N,(,a,，,2,)，,，,S,2,分别为该样本的均值与方差，则统计量,称为自由度为(,n,-,)的,T,变量，其分布称为自由度为(,n,-,)的,t,-,分布，记为,T,t,(,n,-,).,5.5 参数估计与实例,5.5.1 点估计,定义5.23,设 为未知参数,的估计量，若,则称 为,的无偏估计量.,5.5.2 区间估计,(1)区间估计的意义,定义5.24,设总体,X,的分布中含有未知参数,，由,X,的样本,X,1,，,X,2,，,X,n,所确定的两个统计量,T,1,和,T,2,，如果对于给定的正数,()有,则称区间(,T,1,T,2,)是,的对应于置信概率为1,-,的置信区间，,T,1,和,T,2,分别叫做置信区间的置信下限和置信上限，100(1,-,)%称为置信度(或信度，或置信概率).,(2),EX,的区间估计,1)已知,DX,，求,EX,的置信区间,设总体,X,N,(,a,，,2,),，,其中,2,已知，,X,1,X,2,X,n,为来自总体,X,的样本，则统计量,由正态分布表,(,附录,表,),，对给定的 ，存在一个值,(,临界值,),，,使,这就是说，,EX,落在区间 内 的概率为,-,，区间,称为,EX,的置信区间，称为估计不准概率，,-,称为置信概率，称为在,条件下的临界值.,2)未知,DX,，求,EX,的置信区间,实际应用中，经常遇到的是方差未知的情况，这时自然想到用,S,2,来代替未知方差,DX,，设,X,1,X,2,X,n,为来自正态总体的样本，则统计量,对给定的,，查,t,-分布表(附录表)得临界值 ，使,于是得,EX,的置信区间为,(3)方差,DX,的区间估计,1)未知期望,EX,，求,DX,的置信区间,设,X,1,，,X,2,，,X,n,为来自总体,X,N,(,a,，,2,)的样本，,a,，,2,均未知，为了确定方差,2,的置信区间，可用样本方差,S,2,去作总体方差,2,的估计，采用统计量 .,对给定的 ，查 -分布表(附录表4)得临界值 ，使得,于是，得方差,DX,=,2,的置信区间为,或,2)已知期望,EX,=,a,，求,DX,的置信区间,此时,DX,=,2,的(,-,)的置信区间为,*,5.6 假设检验与实例,5.6.1 假设检验的基本思想方法,假设检验的基本思想是根据“小概率原理”而采用某种带有概率性质的反证法.,5.6.2 正态总体均值,a,的假设检验,(1)已知方差 ，检验假设,H,0,：,a,a,0,设,X,1,，,X,2,，,X,n,为来自正态总体,X,N,(,a,，)的样本，若,H,0,：,a,=,a,0,(,H,0,表示假设符号，,a,0,是已知常数)为真，则样本均值,于是统计量,对于给定的显著性水平,，由附录表可得临界值 ，并使得,显然 是一小概率事件.,当样本,X,1,，,X,2,，,X,n,取观测值,x,1,，,x,2,，,x,n,时，统计量,U,的值为,U,0,，且:,若 时，这说明小概率事件在一次具体试验中出现了，因此应该拒绝假设,H,0,：,a,=,a,0,；,若,时，则应该接受假设,H,0,：,a,=,a,0,.,上述检验法称为,u,检验法,.,当拒绝假设,H,0,时，常称总体期望,a,与,a,0,有显著差异；而接受假设,H,0,时，常称,总体期望,a,与,a,0,无显著差异.现将,u,检验法步骤归结如下：,1)提出检验假设,H,0,：,a,=,a,0,；,2)选取统计量,3)给定显著水平,，由 确定临界值 ；,4)计算统计量,U,的实现值,U,0,；,5)做出判断，当 时，则拒绝假设,H,0,；当 时，则接受假设,H,0,.,(2)未知方差,2,时，检验假设,H,0,：,a,=,a,0,设样本,X,1,，,X,2,，,X,n,来自正态总体,X,N,(,a,，,2,)，要检验假设,H,0,：,a,=,a,0,(其中,a,，,2,均为未知参数).,这里由于方差,2,未知，上面,u,检验法不能适用，为了得到一个不含未知参数,2,的统计量，自然想到用方差的无偏估计量,S,2,来代替,2,，于是选统计量,若,H,0,：,a,=,a,0,为真时，,当给定,，由附录表，可得临界值 ，并使,计算,T,的实现值为,T,0,，,若 ，就拒绝,H,0,；,若 ，就接受,H,0,.,这种检验叫,t,检验法.,5.6.3 正态总体方差,2,的假设检验,设样本,X,1,，,X,2,，,X,n,来自正态总体,X,N,(,a,，,2,)，这里,2,为未知参数，现在要检验假设,(1)已知期望,a,时，检验假设,当,H,0,为真时，统计量,若给定显著性水平 ，则可由附录表4，查得临界值 与 使得,这种检验方法叫,2,检验法.,(2)未知期望,a,时，检验假设,当,H,0,为真时，统计量,若给定显著性水平 ，则可由附录表，查得临界值,使得,如图5.15所示.,当由样本算得统计量,2,的值 ，,若 ，则拒绝,H,0,；,若 ，则接受,H,0,.,5.7 线性回归与实例,5.7.1 回归分析的意义,(1)两种不同类型的变量关系,图5.15,类型：确定关系,这类关系的特点是：对给定的变量,x,，另一变量,y,有确定的对应值.如平面区域圆的面积：,S,（圆面积）=,r,2,(半径)，电学中的欧姆定律：,U,(电压)=,I,(电流强度),R,(电阻)等，这些都是我们所熟知的函数关系.,类型：相关关系,这类关系的特点是：变量具有某种不确定性的关系.如人的身高与体重的关系，一般来说，人高一些，体重大一些，但同样高度的人，体重往往不尽相同.即不能由“身高”去确定“体重”.又如，农作物的收获量与气候、降雨、肥量等因素有关，但是同样的气候、雨量、肥量条件，其收获量未必完全相同.又再如，某商品的需求量与价格有关，一般而言，价高需求量小，价低需求量大，但同一价格的商品，需求量往往也有所不同.这些变量之间的关系无法用一个确切的数学表达式把它们表示出来，但确实它们之间又存在着密切关系.这种变量关系从本质上来说，是随机变量之间的关系，在统计分析中，把它们称为相关关系或统计关系.,(2)回归分析的主要任务,回归分析的任务就是根据变量,x,与,y,的样本点(,x,i,y,i,)，寻求并检验变量之间相关关系的回归函数，从而运用这个函数（经验公式）达到预测或控制的目的.,5.7.2 一元线性回归方程的建立,(1)一元回归直线,若已知变量,x,与,y,之间存在某种相关关系，为了研究它们的具体关系，其中最简单的方法是通过样本观测值(,x,i,，,y,i,)(,i,=，,n,)做出散点图，看散点图中的散点是否大致分布在一条直线上，如散点几乎分布在一条直线上，就用一直线方程,y,=,a,+,bx,来近似地描述变量,y,与,x,的相关关系，这就是线性回归直线.,(2)回归直线方程的建立,设,x,与,y,是两个具有相关关系的变量，采用独立试验的方法，对一个容量为,n,的样本观测值：(,x,1,，,y,1,)，(,x,2,，,y,2,)，(,x,n,，,y,n,)，如何求出其回归直线方程，即如何确定,=,a+bx,中的,a,与,b,？,所求的回归直线方程，自然希望它尽可能地靠近每一个样本点(,x,i,，,y,i,)，显然这样的直线有一个显著的特点：“对于所有,x,i,，观测值,y,i,与回归值,的偏离达到最小.”,当,x,=,x,i,时，,y,的观测值为,y,i,，而其回归值为 =,a,+,bx,i,，所以在,x,i,处观测值,y,i,与回归值 的离差为,如图5.19所示.,为避免其离差的相互抵消，采用离差平方和,来刻画(,x,i,，,y,i,)与直线,y,=,a,+,bx,的偏离程度，一般所说的回归直线就是使,Q,为最小的直线.使,Q,(,a,，,b,)达到最小值的,a,与,b,的估计值,与 ，就是所需要的回归直线的截距与斜率，因此，求回归直线问题便转化为求,Q,取最小值的,a,与,b,的问题.,根据微积分学求极值的原理，当,Q,(,a,，,b,)可微时，有,这是关于,a,，,b,的二元线性方程组，解之得,显然，(5.51)式中的(，)就是使,Q,(,a,，,b,)达到最小值的(,a,，,b,)值，于是所求的线性回归方程就是,为便于记忆求回归系数 的公式，引入以下记号,此时,5.7.3 相关程度的检验,(1)相关系数,定义5.25 称统计量,为样本相关系数.,(2)相关系数的显著性检验,人们根据统计量,r,的概率性质，编制出了,r,的临界值表，即附录表6，表中的数据就刻画了|,r,|与的接近程度，具体检验步骤如下：,1)提出假设,H,0,：,b,=0.,2)给出显著性水平,，查自由度为(,n,-,)的相关系数表(即附录表6)得临界值,r,(,n,-,2).,3)计算相关系数,r,的实现值,r,0,.,4)比较,的大小,若,则,x,与,y,线性相关显著，即 有意义；若,则,x,与,y,线性相关不显著，或,x,与,y,不存在线性关系，即 无意义.其直观意义，见图5.20.,5.7.4 线性回归分析的应用,(1)回归预测,图5.20,如果回归直线配制较好，就可以用它来作变量的预测，对任一给定的,x,0,相应的,y,0,一般是以回归直线上的对应值 为中心的服从正态分布的随机变量.设这个随机变量,y,的方差为,2,，则,此式表明，当,x,=,x,0,时，对应的,y,值以0.95的概率落入区间,这个区间称为,y,的0.95预测区间，称为,y,的点预测值.,y,的方差往往是未知的，但可以证明，它的方差近似为,其中,用,S,y,代替,，则对给定的,x,0,，概率为0.95的,y,0,的预测区间为,一般为方便起见，近似地取1.96为2，则上述区间近似为,由于,x,取值是变的，因此,y,的预测区间上、下限是平行于回归直线的两条直线:,如图5.21所示,(2)回归控制,如果希望,y,落在区间(,y,1,，,y,2,)内，则,x,取值区间可由图5.21中直线,L,1,L,2,对应的关系所确定，设,解出,x,1,，,x,2,，则,当 时，控制区间为(,x,1,，,x,2,);,当 时，控制区间为(,x,2,，,x,1,).,但必须注意：只有当(,y,2,-,y,1,)4,S,y,时，所求控制区间才有意义.,图5.21,5.7.5 线性回归直线的简便求法,(1)平均值法,用平均值法来求线性回归直线方程 =,a,+,bx,中的系数,a,和,b,.其具体做法是：,第一步,将,n,组数据(,x,i,，,y,i,)分别代入回归方程 =,a,+,bx,；,第二步,把这,n,个方程均分为两组（分的组数等于欲求未知数的个数）；,第三步,把每组内的方程分别相加，得到一个二元一次联立方程组；,第四步,解以上二元一次联立方程组，得系数,a,和,b,，即得所求线性回归直线方程 =,a,+,bx,.,(2)紧绳法,这种方法是将组数据所成的散点描在坐标纸上.如若画出的点群（即散点图）形成一直线形带，就在这点群中间画一条直线，使得该直线两边的点子差不多相等并尽可能靠拢.这条直线可以被近似地当作回归直线.利用它在坐标纸上就可直接进行预报.,