第五章大数定律与中心极限定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五章,大数定律,和,中心极限定理,1,5.1 契比雪夫不等式,定理,:,设随机变量,X,具有期望,E,(,X,)及方,差,D,(,X,),则,0,有:,或,2,例1 已知,E,(,X,)=100,D,(,X,)=30,试估计,X,落在(70,130)内的概率,解:,P,70,X,130,=,P,|,X,100|,30,由契比雪夫不等式,得:,0.967,契比雪夫不等式给出了在随机变,量,X,的分布未知情况下,事件|,X,E,(,X,),|,0,有:,8,令,由契比雪夫大数定律得出结论,E,(,X,i,)=,p,D,(,X,i,)=,p,(1,p,),又,表明:,频率依概率收敛于概率,p,以严格的数学形式表达了频率的稳定性,9,例1 设随机变量,X,k,(,k,=1,2,.)相互独立,具有同一分布:,E,(,X,k,)=0,D,(,X,k,)=,2,且,E,(,X,k,4,)(,k,=1,2,.)存在,试证明:,0,证:,令,Y,k,=,X,k,2,(,k,=1,2,.),由已知,Y,k,(,k,=1,2,.)相互独立,E,(,Y,k,)=,E,(,X,k,2,),=D,(,X,k,)+,E,2,(,X,k,),=,2,10,D,(,Y,k,)=,E,(,Y,k,2,),E,2,(,Y,k,),=E,(,X,k,4,),4,由契比雪夫大数定律:,0,有,11,5.3 中心极限定理,在一定条件下,大量独立随机变量,的和的分布以正态分布为极限分布的,这一类定理称为,中心极限定理,12,的分布函数,F,n,(,x,)收敛到标准正态分布,函数.,独立同分布的中心极限定理,设随机变量,X,1,X,2,X,n,相互独立,服从同一分布,且具有期望和方差:,E,(,X,k,)=,D,(,X,k,)=,2,0 (,k,=1,2,),则随机变量,13,即,x,R,满足:,注意到:,14,例如,P,a,X,b,15,例3 某大型商场每天接待顾客10000人,设每位顾客的消费额(元)服从200,2000,上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独,立的,试求该商场的销售额(元)在平均销,售额上、下浮动不超过30000元的概率,解:,设第,k,位顾客的消费额为,X,k,(,k,=1,2,10000),商场日销售额为,X,则,所求为:,P,|,X,E,(,X,)|,30000,16,由已知,=10000,1100=1110,6,由独立同分布中心极限定理,有:,17,P,30000,X,1110,6,30000,2(0.58)1,0.44,18,棣莫夫-拉普拉斯定理,设随机变量,X,B,(,n,p,)(,n,=1,2,),则,x,R,有:,(,二项分布以正态分布为极限分布,),19,令,X,1,X,2,X,n,相互独立,均服从以,p,为参数的两点分布,则,由独立同分布中心极限定理得出结论,20,小结,1.会利用契比雪夫不等式作简单的估计,2.了解契比雪夫大数定律和贝努里大数,定律的意义和内容,3.掌握独立同分布的中心极限定理和棣,莫夫,拉普拉斯定理,会利用它们解决,一般实际应用问题,21,