第二矩阵及其运算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 矩阵及其运算,矩阵概念,矩阵运算,特殊矩阵,逆矩阵,分块矩阵,初等矩阵,矩阵的秩,矩阵的基本概念,一.历史,“,矩阵,(matrix)”这个,词首先是英国数学家,西尔维斯特使用的.,他为了将数字的矩形,阵列区别于,行 列 式,(,determinant)而发明,了这个述语.,James Joseph,Sylvester,(,1814.9.3,1897.3.15,),英国数学家凯莱,被公认为是矩阵,论的创立者.,他首先把矩阵作为,一个独立的数学概,念,并发表了一系,列关于这个题目的,文章.,Arthur,Cayley,(,1821.8.16,1895.1.26,),例,1,.某厂家向A,B,C三个商场发送四款产品.,200 180 190,100 120 100,150 160 140,180 150 150,20 50 30 25,16 20 16 16,甲 乙 丙 丁,单价,重量,二.实例,例,2,.四个城市间的单向航线如图所示.,1 4,2 3,若用,a,ij,表示从,i,市到,j,市航线的条数,则上图信息可表示为,a,11,a,12,a,13,a,14,a,21,a,22,a,23,a,24,a,31,a,32,a,33,a,34,a,41,a,42,a,43,a,44,即,0 1 1 1,1 0 0 0,0 1 0 0,1 0 1 0,4.,同型,(,same-sized,),:行数相等,列数也相等,5.两个矩阵,相等,(equal),20 50 30,16 20 16,与,a,b,c,1 2 3,同型,20 50 30,16 20 16,与,不,同型,20,16,50,20,30,16,A,=,a,ij,m,n,与,B,=,b,ij,m,n,相等:,对,1,i,m,1,j,n,a,ij,=,b,ij,都成立,记为,A,=,B,.,大前提:,同型,定义1,设有两个 矩阵 和,，那么矩阵 与矩阵 的和记作,规定为,只有当两个矩阵是同型矩阵时，,这两个矩阵才能进行加法运算,1.矩阵的加法,一、矩阵运算,运算规律,（设 ，都是 矩阵）,其中 ，称为矩阵 的负矩阵.,（1）,（2）,（3）,由此可规定矩阵的减法为,定义2,数 与矩阵 的乘积记作 或,2.,数与矩阵相乘,规定为,运算规律,(设 ，都是 矩阵，是数),（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,当且仅当 或,规定:矩阵 与矩阵 的乘积是一个,矩阵,3.矩阵的乘法,定义3,设 ，,其中,并把此乘积记作,矩阵的第 行第 列的元 就是 的第 行与,的第 列的乘积,注意：,只有当第一个矩阵（左矩阵）的列,数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，,乘积 才是有意义的；并且 的行数等,于第一个矩阵 的行数，的列数等于第,二个矩阵 的列数,例1,求,解,显然,求 ，并问 是否有意义？,解,显然 无意义,例2,例3,求,解,显然,总之，一般说来，,不过，在有些情况下，也可能有,例如：,即矩阵的乘法不满足交换律,不难验证：,一般地，如果矩阵 ，的乘积与次序无关,即 ，称矩阵 ，,可交换,结合律和分配律：,（1）,（2）,（3）,上式称为从变量 ，到变,量 ，的,线性变换,.,的线性函数，即,例4,设变量 均可表示成变量,其中 为常数,令,利用矩阵的乘法，则上述线性变换可写成矩阵形式:,利用矩阵的乘法和矩阵乘法的结合律，可以方便地连续施行线性变换,例5,已知两个线性变换,求,到,的线性变换.,解,上述两个线性变换的系数矩阵分别为,记,则上述两个线性变换可分别写成为:,于是,即,即,这就是由,到,的线性变换.,由于矩阵的乘法适合结合律，,所以方阵的幂满足：,设 是 阶方阵，定义,显然，就是 个 连乘,4.方阵的幂,其中 为正整数,只有 是方阵时，它的幂才有意义,（1）,（2）,由于矩阵的乘法不满足交换律，所以对于,同阶方阵 和 ，一般说来,但是，如果方阵,与,可交换，即,则,仍为一个 阶方阵，,称 为方阵 的多项式,n,阶单位矩阵,设,为 次多项式，为 阶方阵，则,其中,例6,设,求,解,因为,用数学归纳法，设,则,故,称为 阶,单位矩阵,简记作,形如,的 阶方阵,记作,二.特殊矩阵,单位矩阵,特点：,从左上角到右下角的直线（即,主对角线,）上,的元素都是1，其他元素都是0，即单位矩阵,的第,行第,列的元素,结论：,的 阶方阵称为,对角矩阵,形如,记作,特点,：,主对角线上以外的元素全是零,对角矩阵,性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,其中,为正整数.,特别地，主对角线上元素都相等的对角矩阵,称为,数量矩阵,即,记作,设 为任一 阶方阵，为任一 阶数量矩阵,即 阶数量矩阵与任一 阶方阵 相乘可交换,则,当 时，数量矩阵即为,单位矩阵,例1,设,计算,（n为正整数）,解,其中,显然,因数量矩阵,与,可交换，所以利用二项式,定理得到,形如,的矩阵称为,上三角矩阵,特点,：主对角线的左下方的元素全为零,3.三角,矩阵,其中*表示主对角线上方的元素，即两个同阶的上三角矩阵的乘积仍为上,三角矩阵,直接验证可知,类似地，我们同样可以定义下三角矩阵，,也就是：主对角线右上方的元素全为零,矩阵，它具有与上三角矩阵类似性质,例如：,性质,：,（1）,（2）,（3）,（4）,4.转置矩阵,证,性质（1）（3）是显然的，这里仅给出（4）的证明.,设,记,于是按矩阵乘法的定义，有,而,的第,行为,的第,列为,所以,即,亦即,由（4），根据数学归纳法可证,因此,那么 称为,对称矩阵,；,则称 为,反对称矩阵,设 为 阶方阵，,如果,特点,：,对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,即有,反对称矩阵有,该矩阵主对角线上的元素全为0.,如果,对称矩阵和反对称矩阵,反对称矩阵,对称矩阵,形式：,例2,是对称矩阵.,证明,因 是 阶矩阵，且,故 是 阶对称矩阵,同理，是 阶对称矩阵,是一个,矩阵，,则 和 都,设,例3,设列矩阵,满足,为,阶单位矩阵，,证明,是对称矩阵，且,证,首先请注意,是一阶方阵，即一个数，,所以 是对称矩阵.,是,阶方阵,而,基本性质,：,（1）若,都是对称矩阵，则,对称矩阵（其中 为任意常数）.,都是,（2）若,都是对称矩阵，则,为对称矩阵的,充要条件是,定理,设 ，是两个 阶方阵，则,推论,设 均为 阶方阵，则,6.方阵乘积的行列式,称为矩阵 的,伴随矩阵,试证,（2）当 时，,例4,阶方阵 的各个元素的代数,余子式 所构成的如下的矩阵,（1）,证,（1）设 ，则,于是,类似地，,（2）由（1）且根据本节定理1可知,由于 ，故,在数的乘法中，如果常数 ，则,存在 的逆 ：，使,这使得求解一元线性方程 变得非常简单,对 阶方阵 ，是否也存在着“逆”,即是否存在一个 阶方阵 使,三.逆矩阵,如果有一个 阶,方阵,定义,对于 阶方阵,则称 是,可逆,的，并把矩阵 称为 的,逆矩阵,如果方阵 可逆，则它的逆矩阵是唯一的,使,注意,：在定义中，、的地位是平等的,即如果（1）成立，则 也可逆，并且,例1,设,且,求,解,因为,所以,定理,方阵 可逆的充分必要条件是,且当 可逆时，,其中 为矩阵的伴随矩阵.,注：,当 时，称 为,非奇异矩阵,，,否则称为,奇异矩阵,可逆矩阵就是非奇异矩阵同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法,伴随矩阵法,因为 可逆，即存在 ，,故,所以,由本章第二节例知，,因为,故有,所以，按逆矩阵的定义，即有,证,必要性,.,使,充分性,.,例2,设 ，试问：,满足,什么条件时，方阵 可逆？,可逆.,这时,解,当,时，,当 可逆时，求,则,（1）,若 阶方阵 可逆，则 也可逆,且,（2）,若 可逆，数 ，则 可逆,且,推论,若 阶方阵 、满足,运算规律,（3）,若 、为同阶方阵且均可逆，,则,亦可逆，且,（4）若 可逆，则 也可逆，且,（5）,若 可逆，且 ，则,例3,求方阵 的逆矩阵,解,所以 存在，且,而,类似可得,从而,例4,设 为4阶方阵，,求 的值.,解,因为 ，所以 可逆，且,所以,例5,设 均为 阶可逆矩阵，证明,证,（1）由 可知，,（1）,（2）,为可逆矩阵.,又,所以,（2）由,从而,可得,将矩阵 用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的,子块,，以子块为元素的形式上的矩阵称为,分块矩阵,1.概念,例如：对于矩阵,分成子块的分法很多,上面只举出了两种分块形式,四、分块矩阵,即 、为 的子块，而 形式上成为以这些子块为元素的,分块矩阵,.,可记为,对上述第一种分法,（1）,加法,：,设同型矩阵 与 有相同的分块法,2.分块矩阵的运算,与,也是,同型阵,则,（2）数乘,用数 乘一个分块矩阵时，等于用 去乘矩阵的每一个块，即,设 为 矩阵，为 矩阵，分块成,其中 ，的列数分别,等于 ,的行数,（3）分块矩阵的,乘法,其中,则,（4）分块矩阵的转置,设矩阵,A,可写成分块矩阵,则矩阵 的转量阵 为,（5）分块对角矩阵,设 为 阶方阵，若 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其它子块都是零矩阵，且非零子块都是方阵，即,其中 都是方阵，则称为,分块对角矩阵,设,其中 ，是同阶的子方块,等于多少呢？,例1,设矩阵,求 及,解,令,则,所以,由于,例2,设 阶方阵 与 阶方阵 都是可逆矩阵，,求,解,令,有,于是,解此得,所以,上式可以作为公式应用.,如 等,矩阵按行分块和按列分块,矩阵 有 行，称为矩阵 的 个行向量将第 行记作,这里列向量（列矩阵）常用小写黑体字母表示,而行向量（行矩阵）则用列向量的转置表示,如 等,注：,则矩阵 可记为,同理也可以按列分块，此时,对于线性方程组,此方程组可记作,若将系数矩阵按行分成 块，则线性方程组,这就相当于把每个线性方程记作,可记成,对于矩阵 与矩阵 的,乘积 ，若把 按行分成 块，,把 按列分成 块，便有,其中,另外，若记,则,初等矩阵,初等矩阵,定义,由,n,阶单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为,n,阶,初等矩阵,三种初等变换对应着三种初等矩阵,（1）,对调 阶单位矩阵 的第 两行（或两列），得到的初等矩阵记为,（2）,用数 乘 的第 行（或第 列）得到的矩阵，记为,（3）,用数 乘 的第 行加到第 行上（或以 乘 的第 列加到第 列上）得到的矩阵，记为,由于,所以,定理1（初等变换和初等矩阵的关系）,设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在矩阵 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在矩阵 的右边乘以相应的 阶初等矩阵，即,证,将矩阵 表示成按行分块的分块矩阵,其中,于是,其结果相当于矩阵 进行一次第一种初等行,变换，即交换矩阵的第 两行.,其结果相当于矩阵 进行一次第二种初等行,又,变换，即用数 乘矩阵 的第 行各元素.,又,其结果相当于矩阵 进行一次第三种初等行,变换，即用数 乘矩阵 的第 行加到第 元素.,利用初等变换求逆矩阵,定理2,对于任一 矩阵 ，一定存在有限个 阶初等矩阵 和 阶初等方阵 使,标准形,定理3,阶矩阵 可逆的,充要条件,是,存在有限个 阶初等矩阵,即,使得,可逆矩阵 一定与单位矩阵等价,证,必要性,由定理2，对 阶矩阵,存在 阶初等矩阵,若 ，则 的对角线上必有零元素,使,下面证明：如果矩阵 可逆，则,在（1）的两端取行列式，并利用方阵的行,列式性质，有,于是，,仍可逆，故 可逆.,中必至少有一个是零，这与,均为可逆矩阵相矛盾.,充分性,：设,因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积,故,定理4,设 为可逆矩阵，,则存在有限个初等矩阵,推论,矩阵 与 等价的,充要条件,使,是存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵,使,例1,设,求,解,所以,矩阵的初等行变换还可用于求解矩阵方程,显然,而,且,可写成有限个初等方阵的乘积，即,其中 为可逆矩阵,从而,当把 变成 时，就变成,例2,解矩阵方程,因此，若对矩阵 施行初等行变换,解,故,矩阵的秩,矩阵的秩,定义1,在矩阵 中任选 行 列,其交叉处的 个元素,按原来的位置构成的 阶行列式,称为,矩阵 的 阶子式,其中不为零的子式称为,非零子式,矩阵的 阶子式共有 个,例1,选取第一行和第三行，第二列和第三列，其交叉处的元素按原来位置构成的二阶行列式,就是矩阵 的一个二阶子式,定义2,如果在矩阵 中有一个 阶非零子,式 ，且所有的 阶子式（如果存在的,话）全等于零，那么 称为矩阵 的,最高,阶非零子式,，数 称为矩阵 的秩，,记作 ，即,规定零矩阵的秩为 ,在矩阵 中,当所有的 阶子式全,等于零时，由行列式的性质3可知，所有,高于 阶的子式（如果存在的话）也,全等于零，因此 的秩 就是 中,不等于零的子式的最高阶数,例2,证明,（1）,（2）,阶方阵 可逆的,充要条件,为,（3）,若删去矩阵 的一行（列）得到矩阵,则,证,（1）,由于行列式转置后值不变,所以 中非零子式的最高阶数,与 中非零子式的最高阶数相等,即,（2）,阶方阵 可逆的充要条件,是,（3）,由于矩阵 的非零子式必是矩阵 的,补充,：,由（2）知,，,可逆矩阵的秩等于其,阶数，故可逆矩阵又称,满秩矩阵,不可逆,的方阵（奇异矩阵）又称为,降秩矩阵,由矩阵秩的定义得,一个非零子式，故,例3,求矩阵的秩,的子式的最高阶数是3,解,它共有4个3阶子式,容易算出，它们的值都为零,又 中的二阶子式,故,用初等变换求矩阵的秩,即若 ，则,由此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成,行阶梯形矩阵,，行阶梯形矩阵,中,非零行的行数,即是该矩阵的秩,定理,矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，,例4,设,且 ，求 及,解,用初等行变换将矩阵 化为行阶梯形矩阵 ，则 即为 的行阶梯形,矩阵，故可从 中同时求出,因此,从矩阵 的行阶梯形矩阵可知,本例中的 与 所对应的线性方程组,是无解的,