复双曲空间中测地管道上的Sasakian磁流.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(9),2697-2703 Published Online September 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.139277 文章引用文章引用:王江丽,石青松.复双曲空间中测地管道上的 Sasakian 磁流J.理论数学,2023,13(9):2697-2703.DOI:10.12677/pm.2023.139277 复双曲空间中测地管道上的复双曲空间中测地管道上的Sasakian磁流磁流 王江丽王江丽，石青松石青松 贵州大学数学与统计学院，贵州 贵阳 收稿日期：2023年8月14日；录用日期：2023年9月15日；发布日期：2023年9月26日 摘摘 要要 在复双曲空间中的测地管道上，有由结构张量诱导的在复双曲空间中的测地管道上，有由结构张量诱导的Sasakian磁场。带电粒子在磁场。带电粒子在Sasakian磁场中运动会磁场中运动会产生具有零结构扭转的轨道。本文研究了它们在测地管道上单位切丛上的磁流，并证明了它们是彼此光产生具有零结构扭转的轨道。本文研究了它们在测地管道上单位切丛上的磁流，并证明了它们是彼此光滑一致的。滑一致的。关键词关键词 Sasakian磁场，轨道，结构扭转，复双曲空间磁场，轨道，结构扭转，复双曲空间 The Sasakian Magnetic Flow on the Geodesic Pipelinesin the Complex Hyperbolic Space Jiangli Wang,Qingsong Shi School of Mathematics and Statistics,Guizhou University,Guiyang Guizhou Received:Aug.14th,2023;accepted:Sep.15th,2023;published:Sep.26th,2023 Abstract In the geodesic pipeline in the complex hyperbolic space,there is a Sasakian magnetic field in-duced by the structural tensor,and the charged particles move in the Sasakian magnetic field to produce an orbit with zero structural torsion.In this paper,we study their magnetic flows on the geodesic pipeline and show that they are smooth and consistent with each other.Keywords Sasakian Magnetic Field,Orbit,Structural Torsion,Complex Hyperbolic Space 王江丽，石青松 DOI:10.12677/pm.2023.139277 2698 理论数学 Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 在复双曲空间中的每个测地管道上都有无数个由环境空间上的复结构诱导的几乎接触度量结构，利用这种结构诱导的正则闭 2-形，可以定义这个测地管道上的磁场，称为 Sasakian 磁场或接触磁场。正如测地线给出的测地流一样，带电粒子在磁场作用下的轨道中获得了单位切丛上的磁流。即磁场的轨道在单位切丛上诱导动力系统，为了描述这个动力系统的一些几何性质，本文考虑了具有零结构扭转的轨道并进一步将其限制在复双曲空间中的测地管道上研究了两个磁流之间的关系。在文献1中 T Adachi 研究了单位带电粒子在 Khler 磁场作用下形成轨道的性质，得出了 Khler 磁流的性质依赖于磁力的大小。由于 Khler 流形是实偶数维的，所以找出一些实奇数维流形上的自然磁场并阐明它们的一些性质是一项有趣的研究。鉴于此本文选择了 Khler 流形的实超曲面和一个由 Khler 形式在环境空间上诱导的 Sasakian 磁场。为了研究奇数维流形上的磁场，在文献2中 Ikawa 选择了一类齐次几乎 Sasakian 流形，并对其接触度量结构诱导的磁场进行了开创性的研究。在文献3中 Maeda 和 T Adachi 研究 A 形超曲面上的所有测地线并对其闭合性进行了研究。在文献4中 T Adachi 等人研究了非平坦复空间形的 A 型实超曲面上Sasakian 磁场的轨道，得到了轨道为圆形的情况。它们研究的对象都是一般的轨道，本文是在 Khler 流形的实超曲面上针对具有零结构扭转的轨道进行研究并且进一步研究了两种磁流之间的关系。本文主要是以复双曲空间中的测地管道作为载体去研究具有零结构扭转的轨道，因为通过复双曲空间中的测地管道可以实现 Sasakian 空间形，所以本文的想法是按照复空间形中研究 Khler 磁场轨道的方法在管道上考察 Sasakian 磁场的轨道，由于复双曲空间中的测地管道是具有恒定结构扭转的流形，它可以看作是Sasakian空间形的一类特殊流形，所以借助此类流形去研究具有零结构扭转的轨道具有十分重要的意义。通过本文的研究不仅可以提供关于复空间形上阶为 4 的 Killing 螺旋的模空间的信息而且进一步完善了奇数维流形的理论体系，同时也为下一步研究四元 Khler 流形提供了新的思路。2.Sasakian 磁场磁场 定义 1(5)：(),M J是具有复结构的 Khler 流形，M 是 Khler 流形的实超曲面，在 M 上对任意的切向量,pv wT MpM，由复结构J诱导的接触度量结构(),满足()2vvv=+，()0=，()1=，()(),vwv wvw=时，此流形称为 contact 度量流形，这里的,分别是张量场，向量场，一阶形式和黎曼度量。进一步，当接触度量结构满足()(),vwv ww v=时，contact 度量流形称为 Sasakian 流形。在 Sasakian 流形上有自然的闭二形F，满足式子(),Fu vvv=，其中,pu vT M，在pM。引理 1：Khler 流形中的实超曲面上的正则 2 形式F是闭 2 形 证明：通过直接计算有()()()()()()()()(),XXXXXXFY ZX F Y ZFY ZF YZX YZYZYZYZZAX YYAX Z=Open AccessOpen Access王江丽，石青松 DOI:10.12677/pm.2023.139277 2699 理论数学 ()()()()()()()(),0XYZdFX Y ZFY ZFX ZFX Y=证毕 所以由引理 1 说明了 Khler 流形中的实超曲面上的正则 2 形式是磁场，所以定义kFkF=为 Sasakian磁场，在 Sasakian 流形上，以弧长为参数的曲线满足k=时称为 Sasakian 磁场kF的轨道，这与Khler 磁场的轨道方程很类似，即如果满足式子kJ=则称为 Khler 磁场JkB的轨道(6)，有1J=且()Jk=可知 Khler 磁场的轨道受力均匀，Sasakian 磁场kF的轨道满足式子()21=，可知 Sasakian 磁场kF的轨道不一定是圆，因为由式子21,k=可知kF的力不一定是均匀的。所以研究实超曲面上正则磁场的轨道并不容易。为了测量 Sasakian 流形中实超曲面上kF作用在其轨迹上的力，定义的结构扭转为,=，角度1cos称为的接触角，当1=时，它是测地线，0=时，称轨道是具有零结构扭转的轨道，注意到沿着的结构扭转通常不是常数，所有由,v wvw=可求得其微分如下()1,2kAAAA=+=。显然通常而言沿轨道的结构扭转不是常数。因此为了研究零结构扭转轨道的性质，下面引进引理 2。引理 2(7)：kF是 Khler 流形的测地管道上的 Sasakian 磁场，则所有轨道都具有恒定的结构扭转，当且仅当形状算子 A 和结构张量可同时对角化。由引理 2 可知为了研究复双曲空间中给定测地管道上的两个磁流之间的关系，因此借助测地管道为载体进一步研究其上两个磁流的关系。因为测地管道可被看作是 Sasakian 空间形的一种特殊的流形，其上的形状算子和特征向量可以同时对角化。所以对于测地管道上 Sasakian 磁场的任何轨道其结构扭转都为常数。为了研究复双曲空间中测地管道上的具有零结构扭转的轨道，现在给出一些基本符号(8)。21111,11nnnHzCz zzCz+=，用单位圆11SC=作用在211nH+上即()01,nzzzzz=用nCH表示211nH+的商空间2111nHS+，称为 n 维复双曲空间，取复空间1nC+上的埃尔米特形,，定义为0011,nnz wz wz wz w=+，这里()()10101,nnnzzzzww wwC+=定义 anti-de Sitter 空间的映射为()211:4nnHCH+，anti-de Sitter空间在z处的切空间定义为()2111,Re,0nnzT Hz uzCz u+=现在将其分解为与映射有关的水平和垂直的子空间即211nzT H+=其中()211,0nzz uT Hz u+=，()211,1nzzazT HaR+=，()4nCH中的管道()BT r=它的逆映射定义为()()1BT r=切空间定义为zT B，定义切丛0T BvTB v=的水平抬升为0T BvTB v=。3.测地管道测地管道 半径为 r 的围绕全测地线()1;nMc C周围的管道()T r称为测地管道，它是 A1型其中 r满足rc时，在()nCPc中围绕在()1nCPc的管道与测地球一致，A 型超曲面要么是 A1型要么是 A0型否则为 A2型，而 A1或 A0型又称作-截面曲率为常数 K 的单连通完备 Sasakian 空间形，A 型超曲面是 Hopf 超曲面，其形状算子与特征张量可同时对角化，所以由引理 2 可知测地管道是研究 Sasakian 磁场最自然的超曲面，在测地管道上 Sasakian 磁场中所有的轨道都具有恒定的结构扭转，所以研究结构扭转是一个非常重要的特征(8)。测地管道上带电粒子在 Sasakian 磁场作用下会形成无数条轨道，为了研究它们之间的关系引进引理3。王江丽，石青松 DOI:10.12677/pm.2023.139277 2700 理论数学 引理 3(9)：i是复双曲空间形中测地管道上的正则磁场ikF的轨道，两个轨道i彼此一致当且仅当以下条件成立。121=，120=且12kk=，1201=且1K，它是闭合曲线当且仅当()()32kpqKpq=+当3K=，它是无界的 3K 时，可知道具有零结构扭转轨道的表达式为()()()()()2222exp14 cosh2exp14 cosh2tAkkrtBkkrtC=+取()1 0nzC+=，()()1 0,nz vzC+=且()()1,nzNz uzC+=，向量1,nA B CC+形式为 王江丽，石青松 DOI:10.12677/pm.2023.139277 2701 理论数学 ()()()()()222222222coshcoshcosh4coshsinh212cosh4coshcoshcosh4coshsinh212cosh4sinhsinh coshrAkrkrrzruvkrrBkrkrrzruvkrCrzrr u=+=+=当2 coshkr时，则具有零结构扭转的轨道流0ktF与具有零结构扭转的测地流0t彼此光滑共轭，即存在微分同胚kf，使得 22010cosh4ktkkkrtFff=。2)当磁力2 coshkr时，首先注意到在()4nUCH上的具有零结构扭转的测地流t可以用矩阵表示为()0tzzddA tuu =，其中 王江丽，石青松 DOI:10.12677/pm.2023.139277 2702 理论数学 ()()()0cossincoshcosh21;sincoscoshcoshttIIrrA tMatnCttIIrr=+这里zu 表示()zu的转置，()1,IMat nC+表示单位矩阵，这里()()()21,kAtMatnC+定义两个函数()()22221414cos,sin22coshcoshtkttktrr=+=+，()()()222cosh2cosh4kIOkiIIrAtttOIIkiIkrt=+这里()1,OMat nC+表示零矩阵，因为磁场 Sasakian 的具有零结构扭转的轨道流0ktF可以表示为()()02eiktktkkzzzFddAtdAtuuu =，nI表示nn阶单位矩阵 设矩阵()()()()()11122122kknnkkknnpIpIP tpIpI=其中()()()()11122122,kkkkPPPP向量取值如下()()()()()()()()22211222122222221222222224cosh4cosh,24cosh4cosh,cosh4cosh4cosh4cosh,cosh4cosh4cosh4cosh.kkkkPikrkrPikrkrPkrkrkrkrPkrkrkrkr=+=+=+=+得到()1kkkkkkkiOPAtPOi+=。所以有()()1220cosh42kkkQAtQAkrt=+，10kkQPP=由于()0A t对应于复双曲空间中 Legendre 测地流t且kQ作用于水平子束上且与1S-fiber 作用可交换，所以它在()4nUCH上诱导了一个微分同胚映射kf使得 22010cosh4ktkkkrtFff=。同理，当磁力2 coshkr时，也存在一个微分同胚映射kf使得 22104coshkkkrtff。6.总结总结 本文通过建立轨道在 Khler 磁场与 Sasakian 磁场下运动所获得的磁流之间的对应关系，根据研究带电粒子在 Khler 磁场运动下得到的轨道性质，从而想到研究带电粒子在 Sasakian 磁场运动下得到的轨道性质并进一步建立了轨道流与测地流之间的合同关系。方法是将轨道流表示为复欧氏空间的子集的矩阵，王江丽，石青松 DOI:10.12677/pm.2023.139277 2703 理论数学 利用矩阵的性质来刻画轨道流与测地流的合同关系，通过本文的研究不仅可以提供关于复空间形上阶为4 的 Killing 螺旋的模空间的信息而且进一步完善了奇数维流形的理论体系，同时也为下一步研究四元Khler 流形提供了新的思路。参考文献参考文献 1 Adachi,T.(1995)Khler Magnetic Flows on a Manifold of Constant Holomorphicsectional Curvature.Tokyo Journal of Mathematics,18,473-483.https:/doi.org/10.3836/tjm/1270043477 2 Ikawa,O.(2004)Motion of Electric Charged Particles in Homogeneous Khler Manifolds and Homogeneous Sasakian Manifolds.Far East Journal of Mathematical Sciences,14,283-302.3 Adachi,T.and Maeda,S.(2020)Length Spectrum of Complete Simply Connected Sasakian Space Forms.Differential Geometry and Its Applications,70,Article 10162513.https:/doi.org/10.1016/j.difgeo.2020.101625 4 Bao,T.and Adachi,T.(2009)Circlular Trajectories on Real Hypersurfaces in a Nonflat Complex Space.Journal of 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