专训3-构造三角形中位线的方法.doc

专训3　构造三角形中位线的方法
名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出一个三角形两边的中点时，可以直接连接中点，构造三角形的中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，构造三角形的中位线．
连接两点构造三角形的中位线
1．如图，已知点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．
(1)求证：PM＝PN；
(2)求∠MPN的度数．
(第1题)

利用角平分线和垂直构造三角形的中位线
2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．
(第2题)

3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，连接DE，求DE的长．
(第3题)

倍长法构造三角形的中位线
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点．求证：ME＝CF.
(第4题)

已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线
5．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．
(第5题)

已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N.求证：AN＝AC.
(第6题)

答案
1．(1)证明：如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM DC，PNAE.∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°.∴∠ABE＝∠DBC.
∴△ABE≌△DBC.∴AE＝DC.
∴PM＝PN.
(2)解：如图，设PM交AE于F，PN交DC于G，AE交DC于H，由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.
∴∠AHD＝∠ABD＝60°.
∴∠FHG＝120°.
∵PN∥AE，PM∥DC，
∴四边形PFHG为平行四边形．
∴∠MPN＝120°.
(第1题)

2．解：如图，延长BD，CA交于N.
(第2题)

∵AD为△ABC的外角平分线，
∴∠NAD＝∠BAD.
又∵AD⊥BD，
∴∠ADN＝∠ADB＝90°.
在△AND和△ABD中，

∴△AND≌△ABD(ASA)．
∴DN＝DB，AN＝AB.
∵M为BC的中点，
∴DM是△BCN的中位线．
∴DM＝NC＝(AN＋AC)＝(AB＋AC)＝15.
3．解：如图，延长BD交AC于点F.

　(第3题)
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠FAD.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADB≌△ADF(ASA)．
∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
∵AC＝10，
∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.
∵E为BC的中点，BD＝FD，
∴DE是△BCF的中位线．
∴DE＝CF＝×4＝2.
4．证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝AN.
(第4题)

∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BF＝BN.
∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°.
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABN.
在△BCF和△BAN中，

∴△BCF≌△BAN.
∴CF＝AN.∴ME＝CF.
5．解：如图．连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN.
∵M是AD的中点，P是BD的中点，
∴PM是△ABD的中位线．
∴PM＝AB＝5.
同理可得PN＝CD＝4.
在△PMN中，
∵PM－PN<MN<PM＋PN，
∴1<MN<9.
(第5题)

6．证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.
∵AB＝AC，
AD⊥BC，
∴D为BC的中点．
又∵H为NC的中点，
∴DH为△BNC的中位线．
∴DH∥BN.
∵HE∥AD，
∴四边形PDHE是平行四边形．
∴HE＝PD.
又∵P为AD的中点，
∴AP＝PD.∴AP＝HE.
易证△APN≌△HEN，∴AN＝NH.
又∵NH＝HC，
∴AN＝NH＝HC.∴AN＝AC.

(第6题)

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