复杂载荷简化对梁内力和变形的影响_李银山.pdf

第 卷 第 期 年 月：复杂载荷简化对梁内力和变形的影响李银山，薛春霞，韩 蕾，李尚志，叶红玲（河北工业大学 机械工程学院，天津；海南大学 土木建筑工程学院，海口；山东工程职业技术大学 建筑工程学院，济南；北京航空航天大学 数学科学学院，北京；北京工业大学 材料与制造学部，北京）摘 要：为求解简支梁在复杂载荷作用下的内力与变形问题，提出了一种快速求解简支梁弯曲问题解析解的连续分段独立一体化积分法。该方法利用函数的泰勒级数展开法，分别选取前四项，将复杂分布载荷简化成均布载荷、线性分布载荷、抛物线分布载荷和三次多项式分布载荷。首先将梁进行连续分段离散化，按等步长分成 等分，利用最小二乘法回归成 次多项式；根据挠度的四阶挠曲线微分方程，采用连续分段独立一体化积分法，得到相应的内力与变形；并用 语言开发出相应的求解程序，实现了对复杂载荷作用下简支梁弯曲问题解析解的计算机求解。此方法计算简单实用，为工程应用提供了新方案。关键词：分段独立积分；泰勒级数展开；弯曲变形；最小二乘法；误差分析中图分类号：文献标志码：文章编号：（），（，；，；，；，；，）：，（），：；收稿日期：基金项目：海南省自然科学基金项目（）；海南大学科研基金项目（）作者简介：李银山（），男，山西平遥人，博士，教授，从事分岔、混沌、非线性动力学与控制。：；：通信作者：韩 蕾（），女，山东济南人，副教授，从事建筑结构优化设计。：；：第 卷 引 言钢筋混凝土简支板桥是小跨度桥梁最常用的结构形式之一，在国内外被广泛地使用于中小城市的公路主干线上，在城市交通中发挥着重要作用。因此简支梁力学模型是教学中最常使用的力学简化模型之一。针对梁的弯曲变形，研究者提出了多种方法。如奇异函数法可以很简洁地获得整根阶梯形梁的挠度方程，并推广应用于多层框架结构。但应用函数表达的挠度形式复杂。林金木提出了一种新方法推导出梁在任意荷载下的挠度曲线表达式。李彤等对三铰拱桥结构的静力分析和影响线进行了研究。积分法是基本的计算方法，其优越性在于可用解析方法得到挠度方程和转角方程，求解平面弯曲梁的挠度和转角，可用载荷方程积分法，需要对挠度的挠曲线近似微分方程进行 次积分运算并结合边界条件才能得到挠度。对于简单的线性分布载荷表达式，可由载荷方程积分法获得弯曲变形的精确解，但是，对于表达式复杂的非线性分布载荷，由于函数表达式的不可积，很难得到它的精确解。李银山提出的连续分段独立一体化积分法是一种快速求解结构弯曲变形问题的解析方法，求解了复杂载荷作用下变刚度超静定梁弯曲变形的解析解。本文利用连续分段独立一体化积分法求解复杂载荷作用下简支梁的弯曲变形解析解。针对复杂的非线性分布载荷表达式，首先利用函数的泰勒级数展开法，分别选取前 项，将复杂分布载荷简化成均布载荷、线性分布载荷、抛物线分布载荷和三次多项式分布载荷。再将梁进行连续分段离散化，按等步长分成 等分，并利用最小二乘法回归成 次多项式，分别求解梁的内力和变形，并进行相对误差计算和其对各多项式系数灵敏度分析。问题的提出图 所示为承受复杂载荷的简支梁，设长为、抗弯刚度为 的简支梁，承受分布载荷（），集中载荷 和集中力偶。作用在梁上的分布载荷（）（）（）（）求解梁的内力与变形。式中：为距离原点 的位置；为最大值。图 承受复杂载荷的简支梁 复杂分布力最大值，（）简支梁的挠曲线微分方程为（）（）（）式中：为挠度；为梁的弯曲刚度。边界条件为：（），（）（），（）（）为了便于编程计算，引入变量：，（）并定义：，（）同时，将方程式（）无量纲化，并将式（）代入可得：（）（），（）（）（）边界条件为：（），（）（），（）（）由于任意函数（）可以展开为 的泰勒级数，可得（）（）（）将式（）离散化，按等步长将梁分成 等分，利用最小二乘法回归成 次多项式。次多项式系数，原函数式（）离散化等分数 与分布载荷相对误差对照表见表 和表 所示。相对误差为，（）表 分布载荷函数离散化等分数、多项式系数对照表 第 期李银山，等：复杂载荷简化对梁内力和变形的影响表 分布载荷函数离散化等分数与相对误差，对照表 复杂分布载荷的简化（以 为例）将复杂分布载荷简化成均布载荷工程中经常将分布载荷简化成均布载荷，如图 所示。在式（）中的展开式只取常数项（），即：（）（）（）从而分布力最大值：，。图 均布荷载与原分布荷载 将梁分成两段 ，简支梁的挠曲线微分方程为：，（）其边界条件和连续光滑条件为：（），（）（）（），（）（）（）（），（）（）（），（）|（）用连续分段独立一体化积分法求解，得到：（）剪力函数|，|，|（）（）弯矩函数|，|，|（）（）转角函数|，|，|（）（）挠度函数|，|，|（）时，对应简支梁的内力和变形，如图 所示。（）剪力（）弯矩（）转角（）挠度图 时简支梁的内力和变形图 由此，得到的最大剪力、最大弯矩、最大转角及最大挠度分别为：，.，.|（）.将复杂分布载荷简化成线性分布载荷工程中经常将分布载荷简化成线性分布载荷如图第 卷 所示，即在式（）中的展开式中只取一次函数（），即（）（）（）利用最小二乘法解得：.，.。可得分布力最大值：.，（）图 线性分布荷载与原分布荷载 用同样方法得到 时，对应简支梁的内力图和变形图如图 所示。（）剪力图（）弯矩图（）转角图（）挠度图图 时简支梁的内力图和变形图 得到最大剪力、最大弯矩、最大转角及最大挠度分别为：，.，.|（）阶数相对误差：.，.|（）.将复杂分布载荷简化成抛物线分布载荷工程中经常将复杂分布载荷简化成抛物线分布载荷，如图 所示。在式（）中的展开式中只取二次函数（），即（）（）（）利用最小二乘法解得：.，.，.。可得分布力最大值：.，（）图 抛物线分布荷载与原分布荷载 用同样方法得到 时，对应简支梁的内力图和变形图如图 所示。（）剪力图（）弯矩图（）转角图（）挠度图图 时简支梁的内力图和变形图 第 期李银山，等：复杂载荷简化对梁内力和变形的影响 相应最大剪力、最大弯矩、最大转角及最大挠度分别为：，.，.|（）阶数相对误差：.，.|（）.将复杂分布载荷简化成三次多项式分布载荷如图 所示，即在式（）中的展开式中只取 次函数（），则（）（）（）利用最小二乘法解得：.，.，.，.。图 三次分布荷载与原分布荷载 用同样方法得到 时，对应简支梁的内力图和变形图如图 所示。（）剪力图（）弯矩图（）转角图（）挠度图图 时简支梁的内力图和变形图 相应最大剪力、最大弯矩、最大转角及最大挠度分别为：，.，.|（）阶数相对误差：.，.|（）结果的误差和灵敏度分析定义、，、，简支梁内力与变形计算结果如表 和表 所示。第 卷表 简支梁内力与变形计算结果（）表 简支梁内力与变形的阶数相对误差 如果把剪力、弯矩、转角和挠度统一表示为，的函数 （，）（）则函数的误差可表示为全微分，即（）从而可得简支梁内力与变形的误差对各多项式系数灵敏度分析如表 所示（）。表 简支梁内力与变形的误差对应各多项式系数灵敏度（），结 语本文针对复杂载荷作用下简支梁的弯曲变形问题，利用函数的泰勒级数展开法，分别选取前四项，将复杂分布载荷简化成均布载荷、线性分布载荷、抛物线分布载荷和三次多项式分布载荷。利用求解弯曲变形问题的分段独立一体化积分法，通过 求解程序，快速得到其解析解，并进行误差的灵敏度分析。结果表明：按等步长将梁分成 等分，利用最小二乘法回归成 次多项式的分布载荷，简支梁内力与变形的计算结果满足收敛要求，阶数相对误差最小，满足工程应用。本文提出的方法与传统积分法相比，数学模型建立方法简单，求解数学模型只需要分段独立积分，采用计算机求解计算速度快，计算结果满足工程需求，可以指导桥梁等结构工程设计。参考文献（）：，：殷昭云 用有限差分法求解静定梁和静不定梁的挠度 机械设计，（）：李学军，朱萍玉，刘义伦 复杂载荷下变刚度静不定梁程序化求解 工程力学，（）：，（）：，（）：徐 彬，梁启智 框架结构分析的奇异函数法 力学与实践，（）：林金木 梁及刚架变形的一种新解法 土木工程学报，（）：李 彤，李银山 用计算机对三铰拱桥结构静力分析 实验室研究与探索，（）：李 彤，李银山 计算机绘制三铰拱桥结构的影响线 实验室研究与探索，（）：盖 尔，古德诺 材料力学 王一军译 北京：机械工业出版社，：葛仁余，吕良伟，朱浩杰，等 复杂载荷作用下梁的弯曲变形微分求积法求解 力学与实践，（）：李银山 材料力学 北京：机械工业出版社，：李银山，韦炳威，李 彤，等 复杂载荷下变刚度超静定梁快速解析求解 工程力学，（增刊）：龚冬保 泰勒公式在解题中的妙用 从 年的几道数学考研题说起 高等数学研究，（）：田 华 巧用泰勒级数展开式求解一类概率问题 高等数学研究，（）：欢迎订阅中文核心期刊、中国科技核心期刊实验室研究与探索杂志！