薛定谔方程的建立.ppt

,Southwest University of Science and Technology,Mianyang,Sichuan,西南科技大学,第,3,章 薛定谔方程的建立,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,薛定谔方程的建立,3.1,波粒二象性,光的波动性：光的干涉、衍射、偏振现象证明了光具有波动性,;,光的粒子性：光电效应、康普顿效应和黑体辐射说明了光具有粒子性。光的本质是什么？究竟是波还是粒子？光的,波粒二象性,：光同时具有波动和粒子二重性，就是说光既粒子也是波，是粒子和波动两重性矛盾的统一。光有时表现出其中的矛盾主要方面，或者是粒子或者是波。但波粒二象性更能本质地描述光的特性。,光的波粒二象性,描述粒子性的时，爱因斯坦用了一个简单的公式来描述光子：,式中，,E,为光子能量；,为光子的频率；,为圆频率；,h,为普朗克常数，此式称为爱因斯坦关系。通过这个关系式爱因斯坦把描述光的粒子性和波动性的两个特征量,能量和（圆）频率联系起来了。它很好地解释了光电效应和康普顿效应。,请回忆一下，光波波长和频率的关系：,其中,c,是光速，而光的静止质量为零，则,。,由上述爱因斯坦关系，得到光的波长与动量或波矢量大小之间的关系,德布罗意关系：与粒子相联系的物质波的波长,德布罗意物质波实验验证：戴维孙,-,革末实验和汤姆孙实验。,微观粒子的波粒二象性用爱因斯坦关系和德布罗意关系定量描述，它们把描述粒子性的能量、动量与描述波动性的频率、波长联系在一起，其中有一个重要的常数是普朗克常数,h,。,上述表达式仅对于光才适合吗？答案是否定的。德布罗意的物质波假设：一切实物粒子都具有波动性,微观粒子的波粒二象性,此式称为德布罗意关系。,3.2,波函数的态与叠加原理,（一）波函数及其统计解释,波函数：,概率波的数学表达形式,描述微观客体的运动状态。,描述微观粒子的函数一般用 表示，按照玻恩的统计解释：,表示时刻,t,在位置,r,出现的概率密度。若知道了体系的波函数，就可以知道体系的全部性质,。,本身则表示概率幅。,注意：波函数的数学形式一般说来是复数域中的函数，即复数函数。,概率密度：单位体积内粒子出现的概率,在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不变。对一个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随时间变化,即,:,此式被称为波函数的归一化条件。注意这里的积分体积微元,的具体形式会因坐标系的不同而不同，常用的三维空间坐标系,有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，请分别自行写出。,（二）波函数的统计解释,玻恩诠释,波函数 与 描述同一粒子的相对概率密度相等，即,因此，描述同一粒子之间的波函数之间允许相差一个常数因子。,一般地说，任一波函数的模方在全空间的积分值并非等于,1,，而是一个有限的数值,A,，即,显然,:,本征值常常是分立且不连续的（数学上，常由定解问题的有限边界值条件造成）。,表示反射波,总之，不论微观粒子的能量E是否大于势垒，当它受到势垒的散射时，将同时存在着反射和透射，并且各自按照一定的概率出现。,微观粒子的波粒二象性,根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解,粒子能量EU0的情况,粒子数守恒定律的物理意义：在一个定域的封闭区域中找到粒子的总概率在单位时间内的增量等于从该封闭表面流入该区域的粒子概率。,n-1个节点，当n时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。,关于H()变系数二阶常微分方程，级数法求解,找出其本征值和本征函数，从而确定体系力学量的各种可能的取值。,若把定域范围拓展到全空间，按照波函数有界性的要求，粒子在无穷远处的概率为零，由积分形式的概率守恒方程，有,有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，请分别自行写出。,此式称为德布罗意关系。,即使微观粒子的能量E小于势垒高度U0，被散射的粒子也有穿透势垒的可能性，并且穿透后的能量E不变。,其物理意义：空间某点及其附近的概率随时间的增加（或减少）等于外界流入到该点（或由该点流出）的粒子概率。,波函数标准条件：连续，单值，有限。,单值：任意时刻和任一确定位置粒子出现的概率是确定的。,有限,:,全空间找到粒子的概率为,1,，则任意时刻和任一位置的波函数（或概率幅）的数值为有限值，而且其模方可积。,连续：由粒子概率的连续方程（稍后给出）所决定，即描述粒子的波 函数处处连续。,另外，粒子处于连续变化或有限阶跃势场中的波函数，其一阶导数也连续。,这样，波函数 就是归一化的波函数。但它与 只差一,个常数因子，它们描述同一个粒子的概率波。,（二）态的叠加原理,用波函数 来描述微观粒子的量子态。当 给定,后，则粒子出现的概率率密度为 。,波函数的统计解释也是波粒二象性的一种体现。,经典波：遵从叠加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。,描述微观粒子的波是概率波，是否可叠加？意义是否与经典相同？,经典物理中，光波或声波遵守态叠加原理：二列经典波,1,与,2,线性相加，,=,a,1,+,b,2,相加后的,也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的叠加原理加以说明的。,量子力学中，如果,1,与,2,是体系的可能波函数（或状态函数，简称态），那么它们的线性叠加态,=,c,1,1,+,c,2,2,是否也是这个体系的一个可能状态？,若,1,与,2,为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线性叠加态,=,c,1,1,+c,2,2,，表示粒子既可能处于,1,态又可能处于,2,态，,处于这两个态的概率分别为 。,态的叠加原理,描述粒子状态的波函数和态的叠加原理是量子力学的一个基本假设。,自由粒子：不受外力场的作用，在空间中其动量和能量都不随时间变化的粒子。,（一）自由粒子薛定谔方程的建立,如何确定自由粒子的波函数呢？,回顾一下电磁学中平面电磁波的数学描述。即平面电磁波的数学表达式,更方便地写为以下指数形式,因为在求解电磁场方程组时涉及到对上述函数的一阶或二阶偏导数运算，最后的结果取其实部，由此为计算带来方便。,3.3,薛定谔方程的建立及其性质,试分析一下平面电磁波和自由粒子的波函数有何异同？,平面电磁波和自由粒子的能量和动量都不随时间和空间变化，二者在空间中的运动都是“自由的”。,它们分别需要一个代表波的数学函数来描述。,平面电磁波是一种纯粹的经典波，而微观粒子的波与粒子属性密切联系。在波函数的数学形式上应当有相似之处，但粒子的波函数应当包含其粒子性，即通过波粒二象性来联系,爱因斯坦关系与德布罗意关系。,薛定谔的创造性思维：利用爱因斯坦关系和德布罗意关系，把平面电磁波表达式中表述波属性的物理量波矢量与圆频率用动量和能量替换，便得到自由粒子的波函数,自由粒子薛定谔方程的建立,自由粒子能量与动量之间的关系,自由粒子薛定谔方程的建立,对自由粒子波函数分别求出关于时间一阶偏导数和空间的二阶偏导数，可以得到,由此可以得到,即,以上方程便是自由粒子波函数随时间演化的方程，称为自由粒子的薛定谔方程。,注意！以上过程并非薛定谔方程的推导，而是通过简单的微分运算建立起自由粒子波函数的时间与空间的演化关系，从而得到一个“抛物型”的拟线性偏微分方程。这是薛定谔的一个重要的思维突破。,若引进以下两个算符：,把上述算符替代能量与动量关系，并作用于波函数就可得到自由粒子的薛定谔方程。,其中有两个算符：梯度算符与拉普拉斯算符在直角坐标系下的表达式为,注意！自由粒子的波函数形式是薛定谔方程的一个解，但不是唯一解。因为按照态的叠加原理，任意一个波包可以通过傅里叶变化展开为平面波的叠加，即,此波函数也满足薛定谔方程。请自己证明。,（二）一般形式的薛定谔方程,按照一般经典粒子的能量公式，粒子除了动能外还应当有势能，即,对自由粒子的薛定谔方程进行推广，就可以得到如下一般形式下的薛定谔方程：,把单粒子的情况推广到多粒子体系，则多粒子体系的薛定谔方程为,势能,动能,电子之间排斥能,其中，电子之间的排斥势能可以进一步写为,自此，有了多粒子体系的薛定谔方程，加上初始条件和边界条件，原则上可以求解出波函数和体系的能量。但能得到精确解析解的问题非常少，大多数问题需要借助计算机求解。后续的章节针对一些简单的体系或常见的量子力学问题开展进一步的学习和研究。,关于薛定谔方程的讨论,如果已知粒子质量,m,及势函数,V,的具体形式,则可以写出具体的薛定谔方程。这是一个二阶偏微分方程，若给定初始条件和边界条件即可求解。,薛定谔方程是建立，不是导出，薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，是否正确，由实验检验。,薛定谔方程的适用范围：非相对论情况。,（三）定域的概率守恒,描述微观粒子的波函数,，粒子在空间某点出现的概率密度为,在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭现象所以在随时间演化的过程中粒子数保持不变。,粒子在一定空间区域内出现的概率怎样随时间变化？,薛定谔方程为,由 ，得,取其复共轭得,对上式在封闭空间,内积分，根据,Gauss,定理，得到,引人两个量：,概率密度,概率流密度矢量,j,的物理意义：粒子在单位时间内沿,S,曲面法向流过单位面积的概率。,粒子数守恒定律的物理意义：在一个定域的封闭区域中找到粒子的总概率在单位时间内的增量等于从该封闭表面流入该区域的粒子概率。积分号前的负号表示粒子的流入，反之正号表示粒子的流出。,引进两个重要的物理量：概率密度和概率流密度,其中，,Im,表示取复数的虚部，则得,此式即为定域粒子的概率守恒方程的积分形式，又称粒子数守恒定律。,粒子数守恒定律的微分形式,粒子数守恒律的积分中再次使用,Gauss,定理，把面积分化成体积分，得到,此式即粒子数守恒定律的微分形式。,其物理意义：空间某点及其附近的概率随时间的增加（或减少）等于外界流入到该点（或由该点流出）的粒子概率。,若把定域范围拓展到全空间，按照波函数有界性的要求，粒子在无穷远处的概率为零，由积分形式的概率守恒方程，有,表示全空间找到粒子的概率为,1,，即常数，不会随时间变化，粒子既不会产生或湮灭。,解：由定义：概率密度,概率流密度,（四）能量本征方程和本征态,在很多实际问题中，作用在粒子上的力场是不随时间改变的，即力场是势能,V,(,r,t,)=,V,(,r,),。在这种情况下，可以用分离变量法来求解方程，波函数有较简单的形式,代入薛定谔方程得,请思考：为什么这个常数设成能量,E,，,而不是其它的物理量,?,上述一阶常微分方程的解,C,为任一常数，把,它,包含在 中，得到薛定谔方程的特解为,把,C,包含在 中是完全可以的，最后要归一化。,定态波函数,波函数为一个空间坐标的函数与一个时间函数的乘积，整个波函数随时间的改变由因子 决定。,定态：量子力学体系的波函数用 所描写的状态称为定态，处于定态时，体系中粒子的概率密度、概率流密度和力学量的平均值均不随时间变化。,粒子处于定态，,概率密度不随时间而改变，空间概率分布是稳定不变的。,算符：表示某种运算的符号；,本征方程：具有形式 的方程；,本征值：,满足本征方程的常数；,本征函数,:,满足本征方程的函数。,量子力学中的许多问题都是求解体系的力学量算符的本征方程。找出其本征值和本征函数，从而确定体系力学量的各种可能的取值。本征值常常是分立且不连续的（数学上，常由定解问题的有限边界值条件造成）。,算符的本征方程,请思考：在数学中，哪个地方学过本征方程的概念？它们之间有何区别？,不随时间变化的经典哈密顿算符,哈密顿算符,能量本征方程：,不含时间变量,t,，称为定态薛定谔方程，实际上是哈密顿算符的本征方程。能量,E,是体系的能量本征值。波函数 称为体系的能量本征函数。,能量本征方程,即,3.4,一维定态薛定谔方程,在一维势场,V,(,x,),中粒子运动满足定态薛定谔方程为,这是一个（可能是变系数的？）二阶常微分方程，给出势函数,V,(,x,),的具体表达形式，解这个常微分方程就可以得到能量本征值和本征函数。,用薛定谔方程处理问题的步骤,根据具体问题列出定态薛定谔方程,求出薛定谔方程的通解,波函数,根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解,根据波函数应满足的归一化条件写出定态波函数,对量子力学处理的结果进行分析与讨论,（一）一维无限深势阱,在许多情况中，如金属中的电子，原子中的电子，原子核中的质子和中子等粒子的运动都有一个共同特点，即粒子的运动都被限制在一个很小的空间范围以内，或者说，粒子处于束缚态。,物理模型,假设微观粒子被关在一个具有理想反射壁的方匣里，在匣内不受其它外力的作用，则粒子将不能穿过匣壁而在匣内自由运动。为了讨论方便，考虑一维运动情况，势函数表示为：,a,表示势阱的宽度，,V,(,x,),表示势阱的深度，在阱内势能等于零，在阱外势能为无穷大。,在阱内,在阱外,波函数连续性决定的边界条件为,波函数有界的要求粒子无法穿过无限深的势阱，阱外的解,求解过程,n,取零无物理意义,粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列离散值，即它的能量是量子化的。每一个值对应于一个能级，这些能量值称为能量本征值，而,n,称为量子数。,粒子最低能量 称为基态能量。粒子最小能量的存在意味着物质世界不可能有绝对静止状态。,相邻两能级的间隔：,1.,能级和能级差,结果讨论与分析,相邻能级间的差值，随量子数,n,的增加而增加，随粒子质量,m,和势阱宽度,a,的增大而减小。,对宏观物体，由于其质量很大，运动范围也大，,E,很小，故其能量可看作是连续变化的。,对微观粒子，若在宏观范围内 运动则,E,很小，其能量量子化不显著；如果是在原子尺寸大小的范围内运动，则,E,很大，能量量子化就很明显。,当,n,E,n,/,E,2/,n,0,能级分布可视为连续的。,2.,波函数,归一化因子,一维无限深方势阱中运动粒子的归一化波函数,3.,粒子在势阱中的概率密度,不同量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的概率不同。,n,-1,个节点，当,n,时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。,例：在核内的质子和中子可粗略地当成是处于无限深势阱中,而不能逸出，它们在核中的运动也可以认为是自由的。按一,维无限深方势阱估算，质子从第一激发态到基态转变时，放,出的能量是多少,MeV,？核的线度按,1.010,-14,m,计。,解：质子基态能量为,第一激发态的能量为,从第一激发态转变到基态所放出的能量为,实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几个,MeV,的量级,。,（二）势垒的贯穿,量子隧道效应,物理模型,势能突增的空间区域形象化地称为势垒。,例如，金属表面以外的区域对于内部电子,所形成的突增势能就是一个势垒。,势垒对粒子的作用一般表现为散射作用。对于一维情况，粒子被势垒散射后，或者穿过势垒，或者被反射。,解决势垒问题的中心思想就是找到粒子穿透和反射的概率。是以粒子的动量和能量作为已知量为前提的。,薛定谔方程及其求解过程,粒子能量,E,U,0,的情况,当粒子的能量,E,大于势垒高度,U,0,时，经典力学给出，粒子将无一例外的越过势垒而不被反射，但是，运用量子力学理论，通过与上述完全类似的推导，可以得出粒子也有被反射的可能性。总之，不论微观粒子的能量,E,是否大于势垒，当它受到势垒的散射时，将同时存在着反射和透射，并且各自按照一定的概率出现。,这正像光在不同介质分界面上必定同时产生反射和透射一样。这反映了微观粒子的波动性。,任意形状的势垒,U,(,x,),右图所示为一任意形状的势垒，可以把这个势垒看作是许多方形势垒组成的，每个方形势垒宽为,d,x,高为,U,(,x,),。整个势垒的穿透系数就是无限小方形势垒穿透系数的乘积。能量为,E,的粒子在,x,=,a,处射入势垒,U,(,x,),，在,x,=,b,处射出，即,U,(,a,)=,U,(,b,)=,E,。,上述推导不够严格，但与更严格的方法推导的结果一致。,隧道效应应用,宾尼,（,G Binnig,）,罗赫尔,（,H.Rohrer,）,瑞士苏黎世,IBM,公司的两位科学家宾尼和罗赫尔研制成了,STM,，可以很精确地观察材料表面结构，成了研究表面物理和其他实验研究的重要显微工具，二人与电子显微镜的发明者鲁斯卡分享了,1986,年诺贝尔物理学奖。,1990,年，,IBM,公司的科学家展示了一项令世人瞠目结舌的成果，他们在金属镍表面用,35,个惰性气体氙原子组成“,IBM”,三个英文字母。纳米技术正式诞生。,这是中国科学院化学所的科技人员利用纳米加工技术在石墨表面通过搬迁碳原子而绘制出的世界上最小的中国地图。,（三）一维谐振子,两原子间的势能可近似用线性谐振子表示。自然界的任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。,简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究无论在理论上还是在应用上都是很重要的。,这种现象称为隧道效应。,本征值常常是分立且不连续的（数学上，常由定解问题的有限边界值条件造成）。,不同量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的概率不同。,根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解,请回忆一下，光波波长和频率的关系：,两个特解 。,粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列离散值，即它的能量是量子化的。,在这种情况下，可以用分离变量法来求解方程，波函数有较简单的形式,当粒子的能量E大于势垒高度U0时，经典力学给出，粒子将无一例外的越过势垒而不被反射，但是，运用量子力学理论，通过与上述完全类似的推导，可以得出粒子也有被反射的可能性。,薛定谔方程为,本身则表示概率幅。,例：在核内的质子和中子可粗略地当成是处于无限深势阱中,波函数具有确定的奇、偶性称为体系具有确定的宇称。,即使微观粒子的能量E小于势垒高度U0，被散射的粒子也有穿透势垒的可能性，并且穿透后的能量E不变。,势能突增的空间区域形象化地称为势垒。,把上述算符替代能量与动量关系，并作用于波函数就可得到自由粒子的薛定谔方程。,粒子能量EU0的情况,（二）势垒的贯穿量子隧道效应,后续的章节针对一些简单的体系或常见的量子力学问题开展进一步的学习和研究。,经典弹簧振子,经典力学中，劲度系数为,K,的弹簧放在光滑的水平桌面上，一端固定不动，另一端系着一个质量为,m,的物体，就构成了一维简谐,振子。,选择平衡位置为水平,x,轴的零点，其弹性回复力为,相应的势能为,在,处，动能为零，谐振子能量 ，谐振子,运动仅限于 区域运动，且能量,E,可以取任何值。,谐振子简谐运动坐标与时间的关系式,圆频率为,量子力学中谐振子,1,）问题求解,：,哈密顿算符,定态薛定谔方程,变系数的二阶常微分方程，为了求解方便，引入两个无量纲的参量,定态薛定谔变为,讨论方程在 近似解，,略去,这个方程的解为,谐振子势是一个无限深势阱，只存在束缚态，,在无穷远处，,必须趋于零，舍 。方程的解为,关于,H,(,),变系数二阶常微分方程，级数法求解,方程的解为一个无穷级数，在 时渐进解为,带回,不能满足束缚态边界条件，级数必须中断，要求其解是一个多项式，条件是,这样方程就得到一个多项式解,讨论,（,a,）能级：,能级差：,简谐振子的能量本征值，即简谐振子的能量是量子化的，只能取离散值。,能量间距都是相同的；,n,=0,时，基态能量不为零，意味着简谐振子不可能静止不动。与经典物理学完全不同。零点能的存在已经为光被晶体散射的实验所证实。,能级差在解释双原子分子的振动光谱、固体的比热等问题中都有重要的应用。,普朗克在解释黑体辐射问题时，虽然假设振子能量为 ，这与量子力学结果 有 的偏差，但是由于普朗克假设可以得到谐振子的能量改变为 的整数倍，与量子力学的结果是一致的，因此普朗克理论能够很好地解释黑体辐射能谱。,(b),简谐振子能量为,E,n,的本征函数,基态,第一激发态,第二激发态,当体系处于基态时，能量值 ，基态谐振子在空间概率分布如下。,微观振子概率除在,x=,0,处取最大值外，相当大的范围内都不为零。经典振子最小能量为零，静止于平衡位置，除,x,=0,外，其余各处都为零。虚线：,n,=1,2,（）经典振子的概率密度。在反转点，概率最大之外，概率为零。微观振子，概率有起伏，最大值次数,n,+1,。,n,=10,，谐振子的概率分布曲线。激发态的量子数,n,越大，其概率密度分布的振荡越剧烈，将振荡平滑后就越接近于经典的概率密度分布。,（,c,）宇称,描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数,n,奇数，奇函数；,n,偶数，偶函数。,波函数具有确定的奇、偶性称为体系具有确定的宇称。,奇函数对应的是奇宇称，偶函数对应的是偶宇称。,如果体系的势能在空间反演下不变，,即势函数是偶函数，体系波函数具有确定的宇称。,本章小结,