高中全程复习配套复合函数的导数数学归纳法的原理及简单应用苏教数学理.ppt

*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,高中全程复习配套课件复合函数的导数数学归纳法的原理及简单应用苏教数学理,三年,1,考 高考指数,:,内 容,要 求,A,B,C,简单的复合函数的导数,数学归纳法的原理,数学归纳法的简单应用,1.,复合函数的导数,(1),复合函数的概念,对于函数,y=f(,(x),令,u=,(x),，若,y=f(u),是中间变量,u,的函,数,u=,(x),是自变量,x,的函数，则函数,y=f(,(x),是自变量,x,的,_.,(2),形如,f(ax+b),的复合函数的求导公式,一般地，若,y=f(u),，,u=ax+b,则,y,x,=_,即,y,x,=,_.,复合函数,y,u,u,x,y,u,a,【,即时应用,】,(1)y=cos(x+,)(0,0).,由已知，得,g(x)0,对一切,x(0,+),恒成立,.,2x+a0,即,a-(2x+),对一切,x(0,+),恒成立,.,-(2x+)-2 ,a-2 .,a,的取值范围为,-2,，,+).,(2)h(x)=2,ln(2x)+x,2,-3x,2,-kx=2ln(2x)-x,2,-kx.,由已知得,h(m)=2ln(2m)-m,2,-km=0,h(n)=2ln(2n)-n,2,-kn=0.,2ln =(n,2,+kn)-(m,2,+km),即,2ln =(n+m)(n-m)+k(n-m).,假设结论不成立，即,h(x,0,)=0,则,k=-2x,0,.,又,2x,0,=m+n,2ln =(n+m)(n-m)+(-2x,0,)(n-m),=(n+m)(n-m)+(-m-n)(n-m),=(n-m).,令,=t(1,，,+),，则有,.,令,(t),在,(1,，,+),上是增函数,当,t1,时，,(t)(1)=0,即,lnt-0.,当,t1,时，,lnt=,不可能成立，,假设不成立,.,h(x),在,(x,0,h(x,0,),处的切线不平行于,x,轴,.,【解析】因为 则M(30）,2ln =(n2+kn)-(m2+km),且a1+a2+ak=2k+1-ak,【解析】(1)g(x)=ln(2x)+x2+ax,g(x),验证当n取_(例如n0=1,2等)时结论正确,右边,右边,由已知，得g(x)0对一切x(0,+)恒成立.,(2)假设当n=k时，猜想成立，即,大，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证,n=k+2时，等式成立.,(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系(简称分解复合关系)；,(2)设u=x2,则yx=yuux=(eu)2x=2x,假设_，证明当n=k+1时，结,在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.,得 =0.,即一般不等式为：(nN*).,(2)凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和为,【解析】(1)g(x)=ln(2x)+x2+ax,g(x),即2ln =(n+m)(n-m)+k(n-m).,(2)设h(x)=2f(x)-3x2-kx(kR),若h(x)存在两个零点m,n且2x0=m+n,证明：函数h(x)在(x0,h(x0)处的切线不可能平行于x轴.,假设n=k(kN*)时结论成立，即xk3，则,【证明】(1)当n=1时，左边=1-=，,(3)当n=k+1时，左边=,即当n=k+1时，猜想也正确.,一般地，若y=f(u)，u=ax+b,则yx=_,即yx=,【例1】(南京模拟)已知函数f(x)=aln(x+1)+x2-,(n2)，求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的,下面用数学归纳法证明猜想正确.,【解析】因为a1=1，a2=，,假设结论不成立，即h(x0)=0,则,右边,用数学归纳法证明等式,【,方法点睛,】,用数学归纳法证明等式的规则,(1),数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据,.,(2),证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值,n,0,是多少,同时第二步由,n=k,到,n=k+1,时要充分利用假设，不利用,n=k,时的假设去证明，就不是数学归纳法,.,【,提醒,】,用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值,n,0,是多少,.,【例2】(烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由.,【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得a、b、c的值，而后用数学归纳法证明.,【,规范解答,】,假设存在,a,、,b,、,c,使得所给等式成立,.,令,n=1,2,3,代入等式得 解得,以下用数学归纳法证明等式,(n,2,-1,2,)+2(n,2,-2,2,)+n(n,2,-,n,2,)=n,4,-n,2,对一切正整数,n,都成立,.,(1),当,n=1,时，由以上可知等式成立,;,(2),假设当,n=k,时，等式成立，即,(k,2,-1,2,)+2(k,2,-2,2,)+k(k,2,-k,2,)=,k,4,-k,2,则当,n=k+1,时，,(k+1),2,-1,2,+2,(k+1),2,-2,2,+k,(k+1),2,-k,2,+(k+1),(k+1),2,-(k+1),2,=(k,2,-1,2,)+2(k,2,-2,2,)+k(k,2,-k,2,)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1),由,(1)(2),知，等式对一切正整数,n,都成立,.,【,反思,感悟,】1.,对于开放式的与,n,有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用,n,的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明,.,2.,在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“,n=k+1,时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明,.,【,变式训练,】,已知,nN,*,，证明：,【,证明,】(1),当,n=1,时，左边,=1-=,，,右边,=,，等式成立,;,(2),假设当,n=k(kN,*,),时等式成立，即有,:,那么当,n=k+1,时，,左边,=,右边,所以当,n=k+1,时等式也成立,.,综合,(1)(2),知对一切,nN,*,，等式都成立,.,【,变式备选,】,用数学归纳法证明：对任意的正偶数,n,，均有,【,证明,】(1),当,n=2,时，,左边,=,右边,.,等式成立,.,(2),假设当,n=k(k,为正偶数,),时，等式成立,即,当,n=k+2,时，,左边,=,右边,.,n=k+2,时，等式成立,.,由,(1)(2),知等式对任意正偶数,n,都成立,.,用数学归纳法证明不等式问题,【,方法点睛,】,应用数学归纳法证明不等式应注意的问题,(1),对于与正整数,n,有关的不等式，应用其他办法不容易证时，可考虑应用数学归纳法,.,(2),用数学归纳法证明不等式的关键是由,n=k,成立，推证,n=k+1,时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差,(,求商,),比较法、放缩法等证明,.,【,例,3】,由下列不等式：,你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明,.,【,解题指南,】,由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明，证明时由,n=k,到,n=k+1,时可采用放缩法,.,【,规范解答,】,根据给出的几个不等式可以猜想第,n,个不等式，,即一般不等式为：,(nN,*,).,用数学归纳法证明如下：,(1),当,n=1,时，猜想成立；,(2),假设当,n=k,时，猜想成立，即,则当,n=k+1,时，,即当,n=k+1,时，猜想,也正确，所以由,(1)(2),可知对任意的,nN,*,，不等式都成立,.,【,反思,感悟,】(1),本例在由,n=k,到,n=k+1,这一步变化中，不等,式左边增加了 即增加了,2,k,项,.,(2),当,n=k+1,时的证明中采用了放缩法，即将已知式子分母变,大，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证,明，此种方法是证明不等式的常用方法，应用时要注意是放大,还是缩小,.,【,变式训练,】,设 求证：,【,解题指南,】,用数学归纳法证明不等式，严格按照“两步一结,论”的方法步骤进行推理论证,.,【,证明,】(1),当,n=1,时，有,1,2,，,故不等式成立,.,(2),假设当,n=k,时，有 成立,.,则当,n=k+1,时，,所以,所以当,n=k+1,时，原不等式也成立,.,由,(1)(2),可知对,nN,*,原不等式都成立,.,【,变式备选,】,已知数列,x,n,满足,x,1,=4,(nN,*,).,(1),求证：,x,n,3,；,(2),求证：,x,n+1,x,n,；,(3),求数列,x,n,的通项公式,.,【,解析,】(1),用数学归纳法证明,.,当,n=1,时，,x,1,=4,3.,所以结论成立,.,假设,n=k(kN,*,),时结论成立，即,x,k,3,，则,所以,x,k+1,3.,即,n=k+1,时，结论成立,.,由可知对任意的正整数,n,，都有,x,n,3.,所以,x,n+1,x,n,.,则数列,a,n,是首项为,1,，公比为,2,的等比数列，所以,a,n,=2,n-1,.,由,归纳,猜想,证明类问题,【,方法点睛,】,归纳,猜想,证明类问题的解题步骤,(1),利用数学归纳法可以探索与正整数,n,有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳,猜想,证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式,.,(2)“,归纳,猜想,证明”的基本步骤是“试验,归纳,猜想,证明”,.,高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题,.,【例4】(南京模拟)已知数列an满足Sn+an=2n+1.,(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；,(2)用数学归纳法证明所得的结论.,【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，从而猜想an.,(2)应用数学归纳法证明时，要利用n=k的假设去推证n=k+1时成立.,【,规范解答,】(1),将,n=1,2,3,分别代入可得,(2),由,(1),得,n=1,时，命题成立；,假设,n=k(kN,*,，且,k1),时，命题成立，即,那么当,n=k+1,时，,a,1,+a,2,+a,k,+a,k+1,+a,k+1,=2(k+1)+1,且,a,1,+a,2,+a,k,=2k+1-a,k,2k+1-a,k,+2a,k+1,=2(k+1)+1=2k+3,即当,n=k+1,时，命题也成立,.,根据、得,对一切,nN,*,都成立,.,【,互动探究,】,若本例中,S,n,+a,n,=2n+1,变为,S,n,+a,n,=2n,，其余不变，又将如何求解,?,【,解析,】(1),将,n=1,2,3,分别代入已知可得,猜想,(2),当,n=1,时，,a,1,=1,猜想显然成立,;,假设当,n=k(k1,且,kN,*,),时，猜想成立,即,那么,当,n=k+1,时，,当,n=k+1,时猜想也成立,.,综合知，当,nN*,时猜想成立,.,【,反思,感悟,】“,归纳,猜想,证明”是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求,a,n,S,n,时更是应用频繁,.,【,变式备选,】,数列,a,n,中，,a,1,=1,a,2,=,且,(n2),，求,a,3,a,4,猜想,a,n,的表达式，并用数学归纳法证明你的,猜想,.,【,解析,】,因为,a,1,=1,，,a,2,=,，,同理可求得,归纳猜想，,下面用数学归纳法证明猜想正确,.,(1),当,n=1,时，易知猜想正确,.,(2),假设当,n=k(kN,*,),时，猜想正确，即,那么当,n=k+1,时，,即当,n=k+1,时，猜想也正确,.,由,(1)(2),可知，猜想对任意正整数都正确,.,谢谢观看！,