高中全程复习配套平面向量的基本定理及向量坐标运算数学理福建专用.ppt

*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,高中全程复习配套课件平面向量的基本定理及向量坐标运算数学理福建专用,三年,8,考 高考指数,:,1.,了解平面向量的基本定理及其意义；,2.,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；,3.,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；,4.,理解用坐标表示的平面向量共线的条件,.,1.,平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点,.,2.,题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主,.,1.,平面向量基本定理,已知：,e,1,e,2,是同一个平面内的两个,_.,条件：对于这一平面内的任一向量,a,_,实数,1,2,满足,a,=_.,结论：不共线的向量,e,1,e,2,叫做表示这一平面内所有向量的,_.,不共线向量,有且只有一对,1,e,1,+,2,e,2,一组基底,【,即时应用,】,判断下列关于基底的说法是否正确,(,请在括号内画“”或“,”).,(1),在,ABC,中，可以作为基底,.(),(2),在,ABCD,中，可以作为基底，但 不能作为基,底,.(),(3),能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的,.(),(4),零向量不能作为基底,.(),【,解析,】,由基底的定义可知,(1)(2)(4),正确；,(3),只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，故,(3),错误,.,答案：,(1)(2)(3)(4),2.,平面向量的坐标表示,(1),向量的夹角,定义：已知如图，两个,_,a,和,b,，作,则向量,a,与,b,的夹角是,_.,范围：向量,a,与,b,的夹角的范围是,_.,当,0,时,a,与,b_,.,当,180,时,a,与,b_,.,当,=90,时,a,与,b_,.,非零向量,或,AOB,0180,同向,反向,垂直,(2),平面向量的正交分解,向量正交分解是把一个向量分解为两个,_.,(3),平面向量的坐标表示,在直角坐标系中，分别取与,x,轴、,y,轴方向相同的两个单位向量,i,j,作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量,a,可,表示成,a,=x,i,+y,j,，由于,a,与数对,(x,y),是一一对应的，因此向量,a,的坐标是,_,，记作,a,=(x,y),，其中,a,在,x,轴上的坐标是,x,，,a,在,y,轴上的坐标是,y,互相垂直的向量,(x,y),(4),规定,相等的向量坐标,_,，坐标,_,的向量是相等的向量；,向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系,相同,相同,【,即时应用,】,(1),思考：在,ABC,中，向量 与 的夹角为,ABC,，是否正,确？,提示：不正确,.,求两向量的夹角时，两向量起点应相同,.,向量,与 的夹角为,-ABC.,(2),已知,A(2,，,0),，,a,=(x+3,，,x-3y-5),，若,a,=,，,O,为原点，则,x=_,y=_.,【,解析,】,a,=(2,，,0).,，解得,答案：,-1 -2,3.,平面向量坐标运算,向量的,加、减,法,实数与,向量的,积,向量的,坐标,【,即时应用,】,(1),已知,a,=(1,，,1),，,b,=(1,，,-1),，则,a+b,=_.,(2),已知点,A(-1,，,-5),和向量,a,=(2,3).,若,=3,a,，则点,B,的坐标为,_.,(3),设,a,=(-1,2),b,=(1,-1),c,=(3,-2),且,c,=p,a,+q,b,则实数,p,、,q,的值分别为,_,、,_.,【,解析,】(1),(2),设,B(x,y),，则,=(x,y)-(-1,-5)=3(2,3),(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).,(3)(3,，,-2)=p(-1,，,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),答案：,(1)()(2)(5,，,4)(3)1 4,4.,平面向量共线的坐标表示,设,a,=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),则,ab,_.,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,【,即时应用,】,(1),已知,a,=(-1,3),b,=(x,-1),且,a,、,b,共线，则,x=_.,(2),设,a,=(1,1),b,=(-1,0),若向量,a+b,与向量,c,=(2,1),共线，则,=_.,可得 解得,A3(1,1),A4(1,0),则满足,用平面向量基本定理解决问题的一般思路,(2)若 且A、B、C三点共线，求m的值.,坐标运算时要牢记公式，细心计算.,(2)若 且A、B、C三点共线，求m的值.,当=90时,a与b_.,(2)在ABCD中，可以作为基底，但 不能作为基,解得m=.,，解得,(2)知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错解或无法解题.,则5+5=4+7,=.,答案：(1)()(2)(5，4)(3)1 4,【解析】设P(x,y),则 =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3).,当180时,a与b_.,【,解析,】(1),ab,(-1),2,-3x=0,x=.,(2),a+b,=(1,1)+(-1,0)=(-1,),又,(,a+b,)c,(-1)1-2=0,=-1.,答案：,(1)(2)-1,平面向量基本定理及其应用,【,方法点睛,】,用平面向量基本定理解决问题的一般思路,先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决,.,在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理,.,【,例,1】,如图所示，在平行四边形,ABCD,中，,M,，,N,分别为,DC,，,BC,的中点，已知,试用,c,d,表示,【,解题指南,】,直接用,c,d,表示 有难度，可换一个角度，由,表示 进而求,【,规范解答,】,方法一,:,设,则 ,将代入得,代入,得,方法二,:,设,因为,M,，,N,分别为,CD,，,BC,的中点，,所以,因而 ,即,【,反思,感悟,】1.,以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同,表示也不同,.,2.,利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算,.,【,变式训练,】,已知梯形,ABCD,，如图所示，,M,、,N,分别为,AD,、,BC,的中点,.,设,试用,e,1,e,2,表示,【,解析,】,又,又由 得,平面向量的坐标运算,【,方法点睛,】,1.,向量的几种运算体系,(1),向量有三种运算体系，即几何表示下的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算,.,(2),几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算,.,2.,两向量相等的充要条件,两向量,a,=(x,1,y,1,),，,b,=(x,2,y,2,),相等的充要条件是它们的对应坐标,分别相等，即 利用向量相等可列出方程组求其中的未,知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问题,.,【例2】1.(泉州模拟)向量a=(1,2),b=(-1,4),则2a-b,等于(),(A)(3，0)(B)(1，8),(C)(3，-6)(D)(0，3),2.已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，,(1)求 ；,(2)若 求m,n.,【,解题指南,】1.,由向量的坐标运算法则求解即可,.,2.(1),利用 为点,B,的坐标减去点,A,的坐标求解,.,(2),利用向量相等列出关于,m,n,的方程组求解,.,【,规范解答,】1.,选,a-b,=2(1,2)-(-1,4),=(2,4)-(-1,4),=(3,0),2.(1)=(5,，,4)-(2,，,3)=(3,，,1).,(2)=(7,，,10)-(2,，,3)=(5,，,7),，,=(7,，,10)-(5,，,4)=(2,，,6),，,=m(5,7)+n(2,6)=(5m+2n,7m+6n).,=(3,，,1),，,【,互动探究,】,本例中第,2,题条件不变，问题变为：,“若,(,R,),试求,为何值时，点,P,在一、三象限的角平分线上,.”,又该如何求解？,【,解析,】,设,P(x,y),则,=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3).,=(5,4)-(2,3)+,(7,10)-(2,3),=(3+5,1+7).,若点,P,在一、三象限的角平分线上,.,则,5+5=4+7,=.,【,反思,感悟,】,求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，以及求向量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算和坐标形式的性质与规律,.,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则,.,【,变式备选,】,已知,A(1,，,-2),、,B(2,，,1),、,C(3,，,2),和,D(-2,，,3),，以,为一组基底来表示,【,解析,】,由题知,=(-4,，,2),，,=(-5,1),=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,，,8).,又 为平面内不共线的向量，,故根据平面向量基本定理，一定存在实数,m,、,n,，使得,(-12,，,8)=m(1,，,3)+n(2,，,4),，,也就是,(-12,，,8)=(m+2n,，,3m+4n),，,可得 解得,平面向量共线的坐标表示,【,方法点睛,】,利用两向量共线解题的技巧,(1),一般地，在求与一个已知向量,a,共线的向量时，可设所求向量为,a,(R),，然后结合其他条件列出关于,的方程，求出,的值后代入,a,即可得到所求的向量,.,(2),如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若,a,=(x,1,y,1,),b,=(x,2,y,2,),则,ab,的充要条件是,x,1,y,2,=x,2,y,1,”,解题比较方便,.,【,提醒,】,利用向量共线的充要条件解题时，易忽视条件中“非零向量”的限制，解题时要注意零向量的特殊性、方向的任意性，避免造成不必要的错误,.,【,例,3】,已知,a,=(1,0),b,=(2,1),(1),当,k,为何值时，,k,a-b,与,a+,2,b,共线,.,(2),若 且,A,、,B,、,C,三点共线，求,m,的值,.,【,解题指南,】(1),利用向量共线的充要条件列出关于,k,的方程求,解即可,.,(2),可引入参数,使 求,m,，或利用 的坐标形式求,m.,【,规范解答,】(1)k,a-b,=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).,a+,2,b,=(1,0)+2(2,1)=(5,2).,k,a-b,与,a+,2,b,共线，,2(k-2)-(-1)5=0,即,2k-4+5=0,得,k=-.,(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量.,A、B、C三点共线，,x=_,y=_.,(A)0 (B)1 (C)2 (D)4,M，N分别为DC，BC的中点，已知,=m(5,7)+n(2,6)=(5m+2n,7m+6n).,与 同向的单位向量为,向的单位向量是_.,【反思感悟】向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.,【解析】由基底的定义可知(1)(2)(4)正确；,(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，故(3)错误.,利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.,答案：(1)(2)-1,(2)在ABCD中，可以作为基底，但 不能作为基,理解用坐标表示的平面向量共线的条件.,定义：已知如图，两个_a和b，作,答案：(1)(2)(3)(4),【解析】a=(2，0).,(2),方法一,:A,、,B,、,C,三点共线，,.,即,2,a,+3,b,=(,a,+m,b,),解得,m=.,方法二：,=2,a,+3,b,=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),A,、,B,、,C,三点共线，,8m-3(2m+1)=0,即,2m-3=0,m=.,【,反思,感悟,】,向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数,.,当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解,.,在利用,ab,求参数值时，可以引入参数利用,a=b,列方程组求解，如,a,、,b,均为坐标形式，可直接列方程求解,.,【,变式训练,】,已知向量,若点,A,、,B,、,C,能构成三角形，则实数,m,满足的条件是,_.,【,解析,】,因为 所以,由于点,A,、,B,、,C,能构成三角形，所以,AB,与,BC,不共线，,而当 共线时，有 解得,m=,故当点,A,、,B,、,C,能构成三角形时实数,m,满足的条件是,m .,答案：,m,【,变式备选,】,向量,a,=(x,1),b,=(9,x),若,a,与,b,方向相反，则,x=_.,【,解析,】,因为,ab,所以,x,2,=9,，所以,x=3.,又因为,a,与,b,方向相反，所以,x=-3.,答案：,-3,【易错误区】忽视向量平行的充要条件导致错误,【典例】(湖南高考)设向量a,b满足|a|=，b=(2,1),且a与b的方向相反，则a的坐标为_.,【解题指南】设a=b(0),利用|a|=列出关于的方程求解即可.,【,规范解答,】,a,与,b,方向相反，可设,a=b,(0),a,=(2,1)=(2,).,由 ，解得,=-2,或,=2(,舍,),，故,a,=(-4,-2).,答案：,(-4,，,-2),【,阅卷人点拨,】,通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,误,区,警,示,在解答本题时有两点容易出错,:,(1),误认为“,a,与,b,的方向相反,a,b,”,致使设,a,=,b,出现增解,(4,，,2).,(2),知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错解或无法解题,.,备,考,建,议,解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下几点易错，在备考时要高度关注,:,(1),遗漏零向量，零向量与任一向量平行,.,(2),混淆向量共线与向量垂直的充要条件,.,1.(上海高考)设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点，,则使 成立的点M的个数为(),(A)0 (B)1 (C)2 (D)4,【解析】选B.方法一：取特殊值，令A1(0,0),A2(0,1),A3(1,1),A4(1,0),则满足,的条件的点有且仅有1个，即为正方形A1A2A3A4的中心，故选B.,方法二：设,M(x,y),A,i,=(x,i,y,i,)(i=1,2,3,4),则,由,得,点,M,只能有一个，故选,B.,2.(北京高考)已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线，则k=_.,【解析】a-2b=(,1)-2(0,-1)=(,3),又a-2b与c共线，,(a-2b)c,-3k=0,解得k=1.,答案：1,3.(泉州模拟)已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与 同,向的单位向量是_.,【解析】=(3，-4)，,与 同向的单位向量为,答案：,谢谢观看！,