小波分析课件第一章基础知识.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 小波分析的数学基础,一、信号与滤波,信号,信号的分类,1.2 信号分析与处理,目的,信号的分析,信号处理,1.2.1 信号处理的硬件系统,1.2.2 信号处理的数学方法,一、时域,数字信号处理的数学方法分为时域、频域和时频域三个方面。,在时域中对信号进行加工处理不涉及数学变换，主要是对时域信号本身进行分析或利用数理统计的方法来获得信号中的某些特征信息。,二、频域,傅立叶变换,方法：,缺陷：,（1）只适于分析平稳信号，对非平稳信号无能为力。,（2）为了得到一个时域信号的频域特征，必须使用信号在时域中的全部信息，甚至将来信息。,（3）频谱对时域内的信息变化很敏感。,（4）工程中要求对于高频信息，时间间隔应相对变小；而对于低频信息，时间间隔应相对变宽。傅立叶变换对此毫无作为。,三、短时傅立叶变换,于1946年提出，也称为加窗傅立叶变换。,基本思想：采用中心位于时间,的时间窗,g(t-),在时域信号上滑动，在时间窗,g(t-),限定的范围内进行傅立叶变换。,在一定程度上改善了傅立叶变换无时间局部化能力的不足。,短时傅立叶缺陷：,（1）在短时傅立叶变换的计算中，选定了时间窗，时间和频率的分辨率就保持不变。,（2）同样不适于分析非平稳信号，所以它不适于分析非平稳信号，可用于分析平稳信号和准平稳信号。,四、小波变换,小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但是其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的视频局域化分析方法，即在高频范围内时间分辨率高；在低频范围内频率分辨率高。,被称为数学显微镜。这种特性使小波变换具有对信号的自适应性。,小波变换的概念,把一称为基本小波的函数 做位移,b,后，再在不同尺度,a,下与待分析信号,x(t),做内积：,等效的频域表示是：,举例：,小波变换的特点和作用,（1）具有多分辨率的特点，可以由粗到细地逐步观察信号。,（2）可把小波变换看成用基本频率为,的带通滤波器在不同尺度,a,下对信号做滤波。如果 的傅立叶变换是 ，则 的傅立叶变换为 ，因此这组滤波器具有品质因素恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。,（3）适当地选择基本小波，使 在时域上为有限支撑，在频域上也比较集中。,（1）傅立叶变换的实质是把能量有限的信号,f(t),分解到以,e,it,为正交基的空间上；小波变换的实质是把能量有限的信号,f(t),分解到,W,-j,(j=1,2,J),和,V,-j,所构成的空间上。,（2）傅立叶变换用到的基本函数只有,sin(t)、cos(t),和,exp(it)，,具有唯一性；小波分析所用到的小波函数则不是唯一的。,（3）在频域中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，但在时域中，傅立叶变换没有局部化的能力。,（4）在小波分析中，尺度a越大相当于傅立叶变换中的,的值越小。,（5）在短时傅立叶变换中，变换系数G,f,(,),主要依赖于信号在时间窗内的情况，一旦时间窗函数确定，分辨率也固定了。而在小波变换中，变换系数WT,x,(a,),的时间宽度是随尺度a变换而变化的，因此具有局部分析能力。,（6）若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在于：短时傅立叶变换的带宽与中心频率无关；相反，小波带通滤波器的带宽 则正比于中心频率。即：,数学记号：,R：表示实直线，即R=(-，)；,Z：表示整数的集合，即Z=,-1,0,1,；,C：表示复数的集合；,R,n,：n,维欧氏空间，是所有实向量组成的集合；,C,n,：是所有复向量组成的集合；,1.3 小波分析的数学基础,（1）距离空间,定义：设X是任一集合，如果X中任意两个元素x与y，都对应一个实数（x，y），而且满足：,非负性：（x，y）0，当且仅当x=y时，（x，y）=0；,对称性：（x，y）=（y，x）,三角不等式：对于任意的x，y，zX，有（x，y）（x，z）+（z，y），则称（x，y）为x与y之间的距离，而称X为以（x，y）为距离的距离空间。,1.3.1 函数空间与基,常用的距离空间,n维欧氏空间。,设R,n,表示n维向量x=(x,1,x,2,x,n,),的全体所构成的集合，称为n维欧氏空间，其中x,i,(i=1,2,n),都是实数。,连续函数空间Ca,b。,令：Ca,b=x(t)|x(t)是a,b上的连续函数，,则称Ca,b为 a,b上的连续函数空间。,平方可积函数空间。,令L,2,(R)=x(t)|,R,|x(t)|,2,dt，,则称L,2,(R),为平方可积函数空间。,平方可积离散序列空间l,2,。,令l,2,=x=(x,1,x,2,x,n,)|x,i,|,2,。,（2）线性空间,设,X,为一非空集合，若在,X,中规定了线性运算，即元素的加法和元素的数乘运算，并满足相应的加法或数乘的结合律及分配律，则称,X,为一,线性空间,或,向量空间,。对于线性空间的任一向量我们用范数来定义其长度。,（3）线性赋范空间,设,X,为一线性空间，若对于任意,xX,有一确定的非负实数|,x|,与它对应，且满足：,一个线性赋范空间如果是完备的，则称为巴拿赫空间。,（4）巴拿赫空间,完备？,（5）希尔伯特空间,设,X,为复数域,C,上的线性空间，若从,XX,到,C,中定义一个函数，,使对任意,x，y，zX，,满足：,满足上述条件，函数为,X,中的内积，定义了内积的空间,X，,称为,内积空间,。在内积空间中，定义范数,.,为：,x=,1/2,，,而定义距离,(x,y)=x-y=,1/2,，,则内积空间必为线性赋范空间。完备的内积空间称为,希尔伯特空间,。,2.基、正交基和双正交基,（1）,基,定义：由函数序列组成的空间,称X为由序列e,k,(t),组成的线性空间，即Xspan(e,k,),也即对任意g(t)X，可以表述为：,（2）,正交,x，y,为内积空间,X,的两个元素，若=0，,则称,x，y,为正交，即,xy,表示。,1）,标准正交系,若内积空间,X,中的元素列,e,k,满足,则称,e,k,为,X,中的标准正交系。,2）,完全的标准正交系,设X为内积空间，e,k,为X中的一个标准正交系，若xX，xe,n,（n=1，2，），,则必有x=（表示零元素），即X中不存在非零元素，使它与所有的e,k,（t）,正交，则称e,k,为X中的完全的标准正交系。,（1）,框架,设H为一Hilbert空间，为H中的一个函数序列，若对于任意fH，存在0AB为X中的内积，定义了内积的空间X，称为内积空间。,（2）傅立叶变换用到的基本函数只有sin(t)、cos(t)和exp(it)，具有唯一性；,令l2=x=(x1,x2,xn,)|xi|2为X中的内积，定义了内积的空间X，称为内积空间。,xp(t)=x(t)p(t),设x(t)为连续信号，p(t)为采样函数，(t)为单位冲激信号，则抽样后的信号xp(t)为,一个线性赋范空间如果是完备的，则称为巴拿赫空间。,完备的内积空间称为希尔伯特空间。,1 信号处理的硬件系统,（4）在小波分析中，尺度a越大相当于傅立叶变换中的的值越小。,令L2(R)=x(t)|R|x(t)|2dt，则称L2(R)为平方可积函数空间。,利用采样函数采样,从数学角度分析采样的过程。,令l2=x=(x1,x2,xn,)|xi|2。,从数学角度分析采样的过程。,（4）在小波分析中，尺度a越大相当于傅立叶变换中的的值越小。,采样间隔的倒数称为采样频率，用fs表示。,相反，小波带通滤波器的带宽 则正比于中心频率。,（2）傅立叶变换用到的基本函数只有sin(t)、cos(t)和exp(it)，具有唯一性；,（2）为了得到一个时域信号的频域特征，必须使用信号在时域中的全部信息，甚至将来信息。,设X为一线性空间，若对于任意xX有一确定的非负实数|x|与它对应，且满足：,满足上述条件，函数为X中的内积，定义了内积的空间X，称为内积空间。,其频率响应H()是h(k)的傅立叶变换。,设x(t)为连续信号，p(t)为采样函数，(t)为单位冲激信号，则抽样后的信号xp(t)为,1 信号处理的硬件系统,（1）傅立叶变换的实质是把能量有限的信号f(t)分解到以eit为正交基的空间上；,设X为复数域C上的线性空间，若从XX到C中定义一个函数.,设,x(t),为连续信号，,p(t),为采样函数，,(t),为单位冲激信号，则抽样后的信号,x,p,(t),为,x,p,(t)=x(t)p(t),式中,，,采样过程如上图。,p(t),本身就是一个冲激串，即,采样定理,对于一个带限信号，|,m,m,为信号的最高频率，欲使采样后的信号能被不失真地恢复到采样前地连续信号的条件是：,s,2,m,即采样频率不小于信号最高频率的2倍。,1.5 理想滤波器,数字滤波器框图,通带,：滤波器允许通过的频带。,阻带,：不允许通过的频带。,截至频率,：通带和阻带交接处的频率。,对于连续时间信号，理想低通滤波器的频率响应为：,对于高通滤波器的频率响应为：,连续时间信号理想滤波器的频率响应,滤波器在时域中表示为一数列h(k)，称为滤波器的,单位脉冲响应,，也称滤波器的系数。,其频率响应H()是h(k)的傅立叶变换。,数字滤波在数学上是利用卷积运算来实现的，如果数字滤波器的系数为h(k),那么数字信号x(k)通过滤波器后的输出y(k)为：,实际低通滤波器,