计算方法常微分方程的差分方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计算方法,1,3 常微分方程的差分方法,问题的提出,一阶方程的典型解法,2,思想核心是如何确定 。,3 Runge-Kutta方法,若则称为稳定的。,二阶Runge-Kutta格式,三阶Runge-Kutta方法取xn、xn+p、xn+q，0p q1。,改进的Adams格式(预报-校正系统)用显式和隐式的Adams格式匹配构造,事后估计式,故而：事后误差估计公式：,局部截断误差：在yn=y(xn)为准确的前提下，yn+1-yn的误差。,Euler格式收敛。,描述这种算法，只要给出从已知信息yn，yn-1，yn-2，计算yn+1的递推公式差分格式。,梯形格式离散化两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。,存在常数L，使对于任何一对点(x，y1)、(x，y2)，均有不等式,=1，p=1/2，变形的Euler公式中点公式；,存在常数L，使对于任何一对点(x，y1)、(x，y2)，均有不等式,3.0 问题的提出,数值微分微分的定义,差商公式三种典型的差商公式,3,典型的微分方程(一阶方程的初值问题),理论解(解析方法)的局限性,数值解法的重要性无理论解、仅有离散点。,4,差分方法是一类重要的数值解法,寻求一系列,离散节点,x,1,x,2,x,n,上的,近似解,y,1,，,y,2,，,y,n,，。,h,=,x,n,+1,-,x,n,称为,步长,。,初值问题差分方法的特点：,步进式,求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这种算法，只要给出从已知信息,y,n,，,y,n,-1,，,y,n,-2,，计算,y,n,+1,的递推公式,差分格式。,求解的核心消除导数，离散化方法,5,3.1,Euler方法,Euler格式,微分的,离散化,差商代替导数 在点,x,n,列出一阶方程,6,显式,图形,7,例题,取,h,=0.1,8,=1，p=1/2，变形的Euler公式中点公式；,两步Euler格式中心差商公式,取 取合理的，使上述格式具有二阶精度 二阶Adams格式,若则称为稳定的。,差商公式三种典型的差商公式,若则称为稳定的。,一阶方程组 令xn=x0+nh，n=1，2，以yn、zn表示节点xn上的近似解。,两步Euler格式中心差商公式,3 Runge-Kutta方法,欧拉方法的误差分析,局部截断误差：在,y,n,=,y,(,x,n,)为准确的前提下，,y,n,+1,-,y,n,的误差。如果其局部截断误差为O(,h,p,+1,)，称该数值方法的精度是,p,阶的。,Euler格式的精度：一阶方法。,9,隐式Euler方法,向后差商公式,。,10,隐式,计算比较困难,一阶方法,11,两步Euler格式,中心差商公式,12,两步,二阶方法,13,3.2 改进的Euler方法,微分方程转化为积分方程,选取不同的数值积分公式不同的离散方法(差分格式),14,矩形格式,离散化,梯形格式,离散化两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。,15,改进的思路：先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 (预报值)，代替右侧的,y,n,+1,直接计算，得到校正值,y,n,+1,。,改进的Euler公式,16,或如下平均化形式,17,例题,18,精度分析,思考题数值积分公式其他形式(,思想,)的适用性,19,3.3 Runge-Kutta方法,高精度(,构造！,),思想,核心,是如何确定 。,改进的Euler公式,20,的构造,21,二阶Runge-Kutta方法 取,x,n,和,x,n+p,=,x,n,+ph,，0,p,1。合理的确定,、,p,，以提高精度。,22,假定,y,n,=,f,(,x,n,),从而有,而,有：,p=,1/2。,二阶Runge-Kutta格式,23,=,1/2，,p=,1，改进的Euler公式；,=,1，,p=,1/2，变形的Euler公式,中点公式,；,24,三阶Runge-Kutta方法取,x,n,、,x,n+p,、x,n+q,，0,p,q,1。一般格式一种典型格式,25,四阶Runge-Kutta方法典型格式,26,例题,h,=0.2。,解：,27,变步长Runge-Kutta方法 考察经典的四阶Runge-Kutta格式，设从节点,x,n,出发，先以,h,为步长求出一个近似值 ，显然：。将步长折半，取,h,/2为步长从,x,n,跨两步到,x,n,+1,，再求得一个近似值 ，从而有：,28,故而：事后误差估计公式：,误差控制,29,初步总结与第2章的继承性。,Exercises,习题3的第10、12题。,30,3.4 Adams方法,Adams格式 基本思想：利用,x,n,，,x,n,-1,，,x,n,-2,上的斜率值减少计算,y,n,+1,的计算量或提高精度。,31,取 取合理的,，使上述格式具有二阶精度 ,二阶Adams格式,32,假设则：而 显然：,=-1/2。,33,二阶Adams格式,34,三阶,四阶,35,隐式格式二阶隐式Adams格式,36,三阶隐式Adams格式,四阶隐式Adams格式,37,改进的Adams格式(预报-校正系统)用显式和隐式的Adams格式匹配构造,38,四阶,39,假设 ,则：而 显然：,40,校正后的误差,从而有：,41,事后估计式,42,令,p,n,和,c,n,分别代表第,n,步的预报值和校正值，和,可作为,p,n,+1,和,c,n,+1,的改进值。在,c,n,+1,未确定前，可用,p,n,-,c,n,来代替,p,n,+1,-,c,n,+1,进行计算。,43,改进后的公式,44,Exercises,习题3的第13题。,45,收敛性与稳定性,差分方法的基本思想:通过离散化，将微分方程转化为差分方程(代数方程)。,合理性检验 解的收敛性。当,h,=0时，,y,n,是否会收敛到,y,(,x,n,)?,46,收敛性问题,若 ，则称该方法收敛。,47,Euler方法的收敛性 Euler格式：,看看,48,令,y,n,=,y,(,x,n,)，则近似值：,局部截断误差,从而存在定数,C,，使,49,而：式中，,L,是,f,关于,y,的Lipschitz常数。,存在常数,L,，使对于任何一对点(,x,，,y,1,)、(,x,，,y,2,)，均有不等式,成立，,L,称为Lipschitz常数。,50,令 ，,从而有：,反复递推有：设,x,n,-,x,0,=,nh,T,(,T,为常数)，则从而,51,显然，如果初值准确，则有,h,0,e,n,0.Euler格式收敛。,52,稳定性 每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题扰动。若则称为稳定的。,53,稳定性问题的讨论Euler格式和隐式Euler格式,54,Euler格式,设在节点值,y,n,上有一扰动值,n，,它的传播使节点值,y,n,+1,上产生大小为,n,+1,的扰动值。假设Euler方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：,55,扰动值满足原来的差分方程，如果原差分方程的解是不增长的，即有这时就能保证Euler方法的稳定性。从而需要,Euler格式条件稳定,56,隐式Euler方法,由于,0，从而有 与 恒成立。,隐式Euler格式是恒稳定(无条件稳定)的,57,方程组与高阶方程的情况,对方程,y,=,f,，将,y,、,f,理解为向量。,一阶方程组 令,x,n,=,x,0,+,nh,，,n,=1，2，以,y,n,、,z,n,表示节点,x,n,上的近似解。,58,改进的Euler格式：,预报校正,59,四阶Runge-Kutta格式,60,高阶微分方程(或方程组)的初值问题，归结为一阶方程组求解。,对如下二阶方程 引入,z,=,y,，则可化为一阶方程的初值问题,61,四阶Runge-Kutta格式,62,边值问题,考察如下边值问题 取 设将求解区间,a,b,划分为,N,等分，步长,h,=(,b-a,)/,N,，节点,x,n,=,x,0,+,nh,(,n,=0,1,N,)，用差商代替导数，可将边值问题离散化，导出如下差分方程组。,63,可整理得到关于,y,n,的下列方程组,64,总结,65,谢谢！,66,