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有理数知识点基础复习有理数知识点基础复习有理数知识点基础复习有理数知识点基础复习考点考点 1 1、正数和负数、正数和负数 正数：大于零的数正数：大于零的数 负数：小于零的数（在正数前面加上负号负数：小于零的数（在正数前面加上负号“”的数）的数）注意：注意：00 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点对于正数和负数，不能简单理解为带对于正数和负数，不能简单理解为带“+”“+”号的数是正数，带号的数是正数，带“”号的数是号的数是负数负数例 1、向北走 200 米与向南走 100 米，若规定向北走为正，则向北走 200 米可记作 ，向南走 100 米，原地不动记作 例 2、七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为 90 分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作10 分，4分，0 分，4 分，10 分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？例 3、观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第 15 个、第 101个、第 2010 个的数是什么？1）、1、2、+3、4、5、+6、7、8、2）、1、3、5、7、21412181易错点：1、误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数 例：a 一定是正数吗？2、对于“0”的含义理解不准确例：下列说法错误的是（）A、0 是自然数 B、0 是整数 C、0 是偶数 D、海拔 0 米表示没有海拔考点考点 2 2、有理数、有理数1 1、有理数的分类、有理数的分类按定义分：按定义分：负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0按性质符号分：有理数按性质符号分：有理数负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0注意：注意：1 1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。理数了。2 2、0 0 是整数不是分数是整数不是分数例 1、把下列各数填在相应的集合内：，-3，2，-1，-0.58，0，-3.14，0.618，1041913整数集合：分数集合：非负数集合：例 2、下列说法正确的是（）A 有理数分为正数和负数 B 有理数-a 一定表示负数C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D 有理数包括整数和分数2 2、数轴（重点）、数轴（重点）定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线数轴的含义：数轴的含义：（1 1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2 2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3 3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。度大小的确定都是根据实际需要规定的。（4 4）同一数轴的单位长度必须一致）同一数轴的单位长度必须一致例 1、图中哪 一个表示数轴？并说出理由。例 2、请画出一条数轴，在并且在数轴上标出下面的有理数：3，-2，-3.5，0，+2，0.5.23例 3、如图所示，在数轴上，点 A,B,C,D 依次表示 1.5，-2，2，-2.5。说出个点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度？1.5CAB-2.5D-3-2-13210 例 4、如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点表示的数为（A）A、30 B、50 C、60 D、80例 5、如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为_例 6、文具店、书店和玩具店一次坐落在一条笔直的东西走向的大街上，文具店位于书店西边 20m 处，玩具店位于书店东边 100m 处。小明从书店沿街向东走了 40m，接着又向东走了 60m，你知道此时小明的位置在哪吗？例 7、有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示，求的值ccbbaa3、相反数（重点）定义：只有符号不同符号不同的两个数叫做相反数相反数。（在数轴上分别位置原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。）相反数的表示方法及多重符号的化简：（1）0a,00a,00,0则当则当则当aaaa例 1、有理数的相反数是（）31（A）（B）（C）3 （D）33131例 2、a 的相反数是 ，-a 的相反数是 ，0 的相反数是 例 3、若 a 和 b 互为相反数，则 a+b=例 4、如果0ba，那么a，b两个实数一定是 （）A.都等于 0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数例 5、如果a与 1 互为相反数，则|2|a等于（）A2B2C1D14 4、绝对值（难点）、绝对值（难点）绝对值的定义：绝对值的定义：数轴上表示 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记为 a，读作：a 的绝对值因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数（0 的绝对值是 0）ab0c绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身 2）一个负数的绝对值是它的相反数 3）0 的绝对值是 0 绝对值的计算规律：（1）互为相反数的两个数的绝对值相等（2）若，则 a=b 或 a=-b；ba（3）若0,0,0baba则例 1、如果|-a|=-a，下列成立的是（）A.a0 D.a0例 2、的绝对值是 8。例 3、若，则 b=，若 ，若，则 a 011 baa则,06aa例 4、若，则等于（）5,3babaA、2 B、8 C、2 或 8 D、81 或例 5、已知0122bab7、求 a,b 的值8、求的值200820082ab求 2008200812211111bababaab例 6、计算：991100131412131121例 7、（2）27213521354543例 8、根据，解答下列问题0a（1）当 x 为何值时,有最小值？最小值是多少？2x（2）当 x 为何值时,有最大值？最大值是多少？43 x例 9、已知某零件的标准直径是 10mm，超过规定直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足规定直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了 5 件样品，检查的结果如下表：序号12345直径长度（mm）+0.1-0.15+0.2-0.05+0.25（1）试指出哪件样品的大小最符合要求；（2）如果规定偏差的绝对值在 0.18mm 之内是正品，偏差的绝对值在 0，18mm0.22mm 之间是次品，偏差绝对值查过 0.22mm 是废品，那么上述 5 件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？易错点：1、画数轴时，缺少要素2、误认为，则 a0;若，则 a0，n|n|，用“”把、连接起来。mmnn考点考点 3 3、有理数的加减（重难点）、有理数的加减（重难点）1 1、有理数加法、有理数加法（1）同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得零；（4）一个数与零相加，仍得这个数。例例 1 1、如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（）。（1）都是正数（2）一个是正数，一个是零（3）两个数异号，且正数的绝对值较大D.以上三种情况都有可能例例 2 2、简单计算、简单计算（1）；（2）；（3）；（4）134.52 4.56.7 25175121313（5）（-51）+（+37）；（6）（+15）+（-15）；（7）（+4.25）+；114（8）（9）15+0 ；（10）-4.7+0；（11）0+0114233 例例 3 3、复杂有理数计算、复杂有理数计算（1）（+26）+（-14）+（-16）+（+18）（2）1125.5233 )75()65()72(61)3(67314213)4(51162.391.573527.61321.576767 例 4、已知与互为相反数，求的值。132x122yxy例 5、小明在一条南北方向的公路上散步，他从 A 地出发，每 10 分钟记录自己的散步情况（向南为正方向，单位：米），1 小时后停下来时记录如下：-1008，1100，-976，1010，-827，946此时他在 A 地的什么方向，距离 A 地多远？小明散步共走了多少米？例 6、a 与 b 互为相反数，b 与 c 相乘的积是最大的负整数，d 与 e 的和等于-2，则edbcbabc的值是多少？2 2、有理数减法、有理数减法有理数减法法则中，字母 a,b 表示任意有理数；0 减去任何数得这个数的相反数。有理数的减法可转化为有理数的加法进行计算，不要将减法法则与加法法则中异号两书相加混淆。计算有理数的减法时，要把减号变为加好，把减数变为它的相反数，即必须同时改变两个符号：意识运算符号由“-”变为“+”；而是减数的性质符号由正变为负或由负变为正。例 1、下列说法正确的是（）A.两数相减，被减数一定大于减数B.0 减去一个数仍得这个数C.互为相反的两个数差为 0D.减去一个正数，差一定小于被减数例 2、计算：A、（2）（3）（4）6153127.2218)5.28(5.28)1312(0例 3、列出算式并计算下列各题：（1）的相反数的差；的绝对值的相反数与323-31（2）潜水员从海平面以下 24m 处上升到海平面以下 15m 处，此潜水员上升了多少米？例 4、已知 a0,b0,且试判断 a-b 的符号。,ba 3 3、有理数加减的综合运用、有理数加减的综合运用例 1、计算：（1）（2）)94(48.0)32(501813414215874（3）1-2-3+4+5-6-7+8+9-11+12+.+2005-2006-2007+2008+2009-2010.（4）201020091200920081.431321211例 2、以地面为基准，A 处高+2.5 米，B 处高为-17.8 米，C 处高-32.44m，问：.A 处比 B 出高多少？.B 处和 C 处哪个高？高多少？.A 处和 C 处哪个低？低多少？例 3、小亮做这样一道题：“计算”，其中表示被污染看不清的一个数，他3翻开答案知道该题的结果是 6，那么 表示的数是多少？例 4、-a,-b 在数轴上的位置如图，-b -a 0化简：.ababa考点考点 4 4 有理数的乘除、乘方有理数的乘除、乘方4.有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负；任何数与零相乘，都得零；几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。2、有理数除法两数相除，同号得正，异号得负零除以任何一个不为零的数，都得零；除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数）3、有理数的乘方负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数4、有理数运算律有理数运算律加法的交换律 a+b=b+a；加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；存在数 0，使 0+a=a+0=a；对任意有理数 a，存在一个加法逆元，记作-a，使 a+(-a)=(-a)+a=0；乘法的交换律 ab=ba；乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；分配律 a(b+c)=ab+ac；存在乘法的单位元 10，使得对任意有理数a，1a=a；对于不为 0 的有理数 a，存在乘法逆元 1/a，使 a(1/a)=(1/a)a=1。0a0 文字解释：一个数乘 0 还于 0。注注意意：先乘方、开方，后乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方是三级运算。例 1、计算（1）（2）2003225)1()21()2(4123234931232（3）（4）2321.0254.001.01.21181132131132（5）（6）222)23(23323228324123223(7)（8）14332149252222.353543622考点考点 5 5、近似数、有效数字与科学计数法、近似数、有效数字与科学计数法 近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数。有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字开始，草最末一个数字止，都是这个近似数的有效数字。科学计数法：把一个数记作 a10n形式（其中 1 a 10，n 为整数。）题型题型 1 1 近似值近似值例 1 光的速度大约是 300 000 000m/s，用科学计数法表示为（）。A.m/s B.m/s C.m/s D.m/s9103810371039103.0例 2 用科学计数法表示下列各数（3）（1）7230；（2）100 000；(3)-102 600;（4）15 亿。例 3 据国家环保总局通报，北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市，预计今年年底，北京市污水处理能力可以达到每天吨，其表示的原数是（）。61082.1A.182000 B.182000 000 C.18200 D.1820 000例 4 地球绕太阳每小时转动的路程约是km，用科学计数法表示地球一个月5101.1（以每月 30 天，每天 24 小时计算）转动通过的路程越是_km.例 5 某城市有 50 万户居民，平均每户有两个水龙头，估计其中有 1%的水龙头漏水，每个漏水水龙头 1 秒钟漏一滴水，10 滴水约重 1 克，试问该城市一年要漏掉多少吨水？（一年按 365 天计）例 6、指出下列问题中出现的数，哪些是精确数，哪些是近似数？（1）某中学七年级有 200 名学生；（2）小兰的身高为 1.6 米；（3）数学课本共有 178 页；（4）某十字路口每天的车流量大约有 10000 辆；（5）我们居住的地球的平均半径约为 6400 千米。题型题型 2 2：精确度精确度例 1、由四舍五入法得到的近似数 3.05，它是精确到（）A、十位 B、个位 C、十分位 D、百分位例 22、一根竹竿长约 1.56 m，那么它实际长度的范围是多少？例 2、下列说法正确的是（）A、近似数 25.0 的精确度与近似数 25 的一样 B、近似数 0.230 与近似数 0.023 的有效数字一样C、近似数 505 与近似数 0.505 的有效数字一样 D、近似数 4 千万与近似数 4000万的精确度一样例 3 、几位同学用最小刻度是厘米的尺子，分别对一张桌子的边长进行测量，其结果分别如下：122.2 cm，122.2 cm，122.3 cm，132.2 cm，122.35 cm，其中四位同学对桌子的边长进行计算，你认为下列哪一个计算结果较合理（）A、132.2 cm B、122.2 cm C、122.35 cm D、122.3 cm题型题型 3 3：求近似数求近似数例 4、用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值：（1）1.999（精确到 0.01）；（2）0.03049（保留 2 个有效数字）；（3）67294（精确到万位）；（4）5864（保留 2 个有效数字）