数值分析第五章数值积分资料讲解.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电子工程学院,*,第八章,数值积分,近似计算,思路,利用,插值多项式,则积分易算。,问题的提出：,9/15/2026,1,电子工程学院,在,a,b,上取,a,x,0,x,1,x,n,b,，做,f,的,n,次插值多项式 ，即得到,A,k,由 决定，,与 无关。,节点,f,(,x,),插值型积分公式,9/15/2026,2,电子工程学院,误差,9/15/2026,3,电子工程学院,抛物型求积公式：,二次插值求积公式：,9/15/2026,5,电子工程学院,Simpson公式,9/15/2026,6,电子工程学院,定 义,若某个求积公式所对应的误差,R,f,满足：,R,P,k,=0 对,任意,k,n,阶,的多项式成立，且,R,P,n,+1,0 对,某个,n+,1 阶多项式成立，则称此求积公式的,代数精度,为,n,。,代数精度：,9/15/2026,7,电子工程学院,怎样验证代数精度：,9/15/2026,8,电子工程学院,注：,形如 的求积公式至少有,n,次代数精度,该,公式为,插值型,（即：）,9/15/2026,9,电子工程学院,思考：,代数精度是否是越高越好？,9/15/2026,10,电子工程学院,梯形公式的误差,9/15/2026,11,电子工程学院,定理证明,9/15/2026,12,电子工程学院,辛普森(Simpson)求积公式的误差：,9/15/2026,13,电子工程学院,思考：,结论是什么？,怎么办？,9/15/2026,14,电子工程学院,复合求积：,高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值,分段低次合成的 复合求积公式。,复合梯形公式：,在每个 上用梯形公式：,9/15/2026,15,电子工程学院,=,T,n,/*中值定理*/,怎么办？,9/15/2026,16,电子工程学院,4,4,4,4,4,=,S,n,注：为方便编程，可采用另一记法：令,n,=2,n,为偶数，这时 ，有,复合Simpson公式：,9/15/2026,17,电子工程学院,复化求积例：,9/15/2026,18,电子工程学院,复化求积例：,两种方法谁好？,9/15/2026,19,电子工程学院,给定精度,，如何取,n,?,通常采取将区间,不断对分,的方法，即取,n,=2,k,上例中2,k,68 ,k,=7,注意到区间再次对分时,可用来判断迭代是否停止。,9/15/2026,20,电子工程学院,5.2 高斯型,积分,构造具有,2,n,+1,次代数精度的求积公式,将节点,x,0,x,n,以及系数,A,0,A,n,都作为待定系数。令,f,(,x,)=1,x,x,2,x,2,n,+1,代入可求解，得到的公式具有,2,n,+1,次代数精度。这样的节点称为,Gauss 点,，公式称为,Gauss,型求积公式,。,9/15/2026,21,电子工程学院,例：,在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，,则有4个未知量,可以列出4个方程,：（在-1,1为例）,可解出：,数值积分公式,具有3阶代数精,度，比梯形公式,1阶代数精度高,9/15/2026,22,电子工程学院,推广：,加权Gauss积分公式,权函数,9/15/2026,23,电子工程学院,例：,求 的,2,点 Gauss,公式。,解：设 ，应有,3,次代数精度。,+,1,0,1,1,0,0,),(,),(,),(,x,f,A,x,f,A,dx,x,f,x,代入,f,(,x,)=1,x,x,2,x,3,不是线性方程组，不易求解。,9/15/2026,24,电子工程学院,x,0,x,n,为 Gauss 点,与任意次数不大于,n,的多项式,P,(,x,),（带权）正交,。,定理,求 Gauss,点,求,w,(,x,),9/15/2026,25,电子工程学院,证明：“,”,x,0,x,n,为 Gauss 点,则公式,至少有,2,n,+1,次代数精度。,对任意次数,不大于,n,的多项式,P,m,(,x,)，,P,m,(,x,),w,(,x,)的次数,不大于2,n,+1，,则代入公式应,精确成立,：,0,=0,“,”,要证明,x,0,x,n,为 Gauss 点，即要证公式对任意次数,不大于2,n,+1,的多项式,P,m,(,x,)精确成立，即证明：,设,0,9/15/2026,26,电子工程学院,正交多项式族,0,1,n,有性质：任意次数不大于,n,的多项式,P,(,x,)必与,n,+1,正交。,若取,w,(,x,)为其中的,n,+1,，则,n,+1,的根,就是 Gauss 点。,9/15/2026,27,电子工程学院,再解上例：,+,1,0,1,1,0,0,),(,),(,),(,x,f,A,x,f,A,dx,x,f,x,Step 1,：,构造正交多项式,2,设,c,b,x,x,x,a,x,x,x,+,+,=,+,=,=,2,2,1,0,),(,),(,1,),(,j,j,j,5,3,-,=,a,0,),(,1,0,=,+,dx,a,x,x,0,),(,1,0,=,j,j,=,+,+,-,=,=,+,+,=,1,0,2,1,1,0,2,1,0,0,),)(,5,3,(,0,),(,0,),(,0,),(,dx,c,b,x,x,x,x,dx,c,b,x,x,x,j,j,j,j,21,5,9,10,=,-,=,c,b,即：,9/15/2026,28,电子工程学院,Step 2,：,求,2,=0,的 2 个根，即为 Gauss 点,x,0,，,x,1,Step 3,：,代入,f,(,x,)=1,x,以求解,A,0,，,A,1,解线性方程组，简单。,结果与前一方法相同：,利用此公式计算 的值,9/15/2026,29,电子工程学院,Matlab 积分函数,函数名,功能,quad,采用Simpson计算积分。精度高，较常用,quad8,采用8样条Newton-Cotes公式计算积分。精度高，最常用,trapz,采用梯形法计算积分。精度差，速度快,cumtrapz,采用梯形法求一区间上的积分曲线。精度差，速度快,sum,等宽矩形法求定积分。精度很差，速度快，一般不用,cumsum,等宽矩形法求一区间上的积分曲线。精度很差，速度快，一般不用,9/15/2026,30,电子工程学院,q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,),q=quad8(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,),参数fun是被积函数,可以是表达式字符串、内联函数、M函数文件名，被积函数的自变量一般采用字母 x；a、b分别是积分的上、下限，都为确定的值；tol 是一二元向量，第一个元素控制相对误差，第二个元素控制绝对误差；trace若取非零值，将以动态图形展现积分的整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值为0；p1、p2是向被积函数传递的参数。,在调用函数时，前三个参数是必须的，其余参数可缺省。,9/15/2026,31,电子工程学院,Matlab 积分函数,符号积分：,int(f)对f表达式的缺省变量求积分,int(f,v)对f表达式的v变量求积分,int(f,v,a,b)对f表达式的v变量在（a,b),区间求定积分,9/15/2026,32,电子工程学院,5.3,积分方程的数值求解,怎么求解？,9/15/2026,33,电子工程学院,求解思路：,用数值积分代替积分,9/15/2026,34,电子工程学院,代入,未知,9/15/2026,35,电子工程学院,精度与未知数个数？,9/15/2026,36,电子工程学院,作业：,思考题：1（a,b,c,d）,习题：2（a，b），3（a,c）,9/15/2026,37,电子工程学院,