函数的插值与拟合法.pptx

,第四章 函数插值与拟正当,4.1,引言,4.2,插值多项式结构,4.3,分段低次插值,4.4,最小二乘法,第1页,一、插值问题提出：,在许多实际问题中，f(x)往往有两种情况，一是f(x)是,表格函数；二是f(x)是解析函数，但表示式复杂，不易计算，而我们往往要研究函数性质。为此，我们想结构一个新函数来迫近原来函数。插值就是求函数近似表示式一个方法。,4.1 引言,详细地说，给出f(x)在n+1个点上函数值。,问题是依据该表格结构一个新函数,第2页,一、插值多项式：,所谓插值多项式就是结构一个代数多项式来近似f(x)。,即已知f(x)在n+1个点上函数值，求一个n次多项式 ,使,该处：,插值条件：,插值区间：,几何意义：,第3页,记,即有,所以，解存在且惟一，这说明由式(4-2)表示 存在且惟一，证毕。,证,问题：由 确定一个次数不超出,n,次代数插值多项式 满足 存在且惟一。,二、插值多项式唯一性,注：唯一，但表示形式能够不唯一。,第4页,4.2,插值多项式结构,一、,基本插值多项式,适合以下表函数,1.定义,插值多项式 叫做以 为节点基本插值多项式。,因为我们想一下子结构一个插值多项式比较困难，所以先结构最简单。,由定义可知,第5页,2.结构,由上，有n个互不相同零点，,Lagrange基本插值多项式,注：1.n+1个节点n+1个基本插值多项式。,2.仅与节点相关，与f(x)无关。,第6页,二、Lagrange插值多项式,抛物插值,(n=2),线性插值,(n=1),注：1.是 线性组合。,2.与节点排列次序无关。,3.与节点及其值相关，而与f(x)无关。,第7页,例：已知列表函数,X -1 0 1 2,Y 1 1 1 -5,并计算f(0.5)计算值。,解：,第8页,若是线性插值，取,若是线性插值，取,第9页,三、Lagrange插值多项式余项,证:,(,作辅助函数）,第10页,注,（1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差预计式,第11页,（2）插值节点选取应尽可能靠近插值点，以使 尽可能小，以减小误差。,推论,例 4.1,给定函数表,试分别用线性插值和抛物插值求ln 1.46近似值并预计误差。,x,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,ln,x,0.182322,0.262364,0.336472,0.405465,0.470004,0.530628,第12页,作线性插值 得,作抛物插值 得,解,第13页,4.2.2,牛顿均差插值多项式,一、均差，均差表,第14页,节点,函数值 一阶均差 二阶均差 三阶均差,四阶均差 五阶均差,第15页,一、均差，均差表,第16页,其中：,第17页,注：,推论,：若f(x)是一个次数不超出n次多项式，则它插,值多项式就是它自己。,例1：已知,x,0.40,0.55,0.65,0.80,0.90,1.05,y,0.41075,0.57815,0.69615,0.88811,1.02652,1.25386,第18页,(2)与0.596最靠近三个,0 0.40 0.41075,1 0.55 0.57815 1.1160,2 0.65 0.69615 1.1860 0.2800,3 0.80 0.88811 1.2757 0.3583 0.197,4 0.90 1.02652 1.3848 0.4336 0.214 0.034,5 1.05 1.25386 1.5156 0.5260 0.231 0.034 0,i 一阶 二阶 三阶 四阶 五阶,解,:(1),第19页,例 2,给定表格函数,试求均差,首先由定义得,x,0,1,2,3,4,5,6,7,8,f,(,x,),10,7,-3,-19,-39,-59,-71,-59,9,解,第20页,均差性质：,这性质又称为,均差关于自变量对称,第21页,例 4.3,试用列表法对例4.2表格函数求,f,1,3,5,7,列表计算得,x,i,f,(,x,i,),一阶均差,二阶均差,三阶均差,1,3,5,7,7,-19,-59,-59,-13,-20,0,-1.75,5,1.125,所以,f,1,3,5,7=1.125,解,第22页,第23页,第24页,N,n,(,x,)称为,牛顿均差插值多项式,。,证,第25页,另外，我们可利用插值多项式进行“反插”计算。,第26页,例 4,给定表格函数,x,1,2,3,4,5,f,(,x,),0.5,0.175,1.31,-1.495,10.36,（1）试用二次牛顿均差插值法求,f,(2.8)近似值；,（2）设,f,(,x,)=-1.166 已知，试用（1）中结构插值多项,式求,x,近似值。,解,第27页,4.3 分段低次插值（略）,4.4 最小二乘法,4.4.1,最小二乘法提出,x,y,已知,第28页,第29页,二、用最小二乘法求数据曲线拟合,x,y,解,第30页,第31页,它称为,法方程组,（或,正规方程组,）。,第32页,解,（1）描图,二次曲线,(2)建立关于 正规方程组。,例1：数据,x 1 3 4 5 6 7 8 9 10,y 2 7 8 9 10 11 11 9 0,试求一曲线，最好地拟合这组数据。,第33页,解得,第34页,例 5,试对以下数据进行多项式拟合,x,i,1,2,3,4,5,6,7,8,y,i,1.1,3.8,8.7,15.6,24.6,37.4,49.6,64.2,解,第35页,第36页,第37页,x,-2,0,1,2,y,1.9,0,5.1,13.8,例 4.6,用最小二乘法求形如,y=ax,+,bx,2,多项式，使与以下数据拟合（得数保留三位小数）,解,第38页,例 4.7,给定数据,试求形如,y=a,+,bx,2,拟合多项式（得数保留三位小数）。,解,x,-5,0,1,2,y,52.6,3.4,5.5,10.5,第39页,4.4.3,最小二乘法应用例,4.4.3.1 数据指数拟合,例 4.8,试对下表数据进行指数拟合,x,i,1,2,3,4,5,6,y,i,15.4,20.4,26.8,37.2,48.8,63.3,解,x,i,1,2,3,4,5,6,Z,i,=,ln,y,i,2.7344,3.0155,3.2884,3.6163,3.8877,4.1479,第40页,4.4.3.2 超定方程组最小二乘解,例 4.9,试求以下超定方程组最小二乘解。,解,第41页,