专升本高等数学课件《内部资料》.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,高校专升本,高等数学辅导,主讲,:,教授,第1页,高等数学主要内容,A,三大约念,一,.,函数,极限,连续,;,二,.,导数,微分,偏导数,全微分,三,.,积分,专升本,第2页,B,四大运算,一,.,求,Lim 1.,2.,洛必达法则,二,.,求,三,.,求,四,.,解微分方程,第3页,C.,三大应用,一,.,导数应用,1.,函数单调性、极值，曲线凹凸性、拐点，,作图,.,2.,应用题,.,求,Max,Min.,3.,利用中值定理证实等式或不等式,.,二,.,定积分应用,.,1.,几何应用,2.,物理应用,三,.,微分方程简单应用,第4页,D.,向量代数与空间解几介绍,1,.,空间直角坐标系,2.,向量代数初步,3.,平面,4.,空间直线,5.,曲面与空间曲线,6.,二次曲面,第5页,多做练习,方可,熟能生巧,善于归纳,才能,灵活应变,第6页,第一章函数,极限,连续,一,.,函数,(,一,),函数概念,1.,函数定义,2.,函数关系两要素,:,(1),对应关系,f;(2),定义域,D(f),例,求,第7页,（,08,）,以下函数中，定义域为,函数是（）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,（,A,）,（模,C,）,第8页,(,二,),函数特征,1.,单调性,2.,奇偶性,3.,周期性,4.,有界性,第9页,例,偶函数,奇函数,周期函数,（,10,）,第10页,（,08,）,是（,D,）,（,A,）,（,B,）,（,C,）单调增函数,（,D,）,奇函数,偶函数,非单调函数,（,07,）,均为奇函数，,则以下为偶函数是 （）,（,A,）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,第11页,（,07,）,eg,第12页,(,三,),反函数,1.,反函数定义,.,特点,2.,举例,（,05,）,第13页,(,四）复合函数,1.,定义,2.,分解标准,-,分解到每一步都是基本初等函 数和,差,积,商为止,.,3.,复合函数定义域求法,注意：并非任何两个函数都能够复合,第14页,（,03,）,（,07,）,（,08,）,第15页,(,五,),基本初等函数,惯用有六类,14,个,第16页,(,六）初等函数由基本初等函数（）经过,有限次和,差,积,商运算,，（）,有限次复合运算,，（）且,可用一个公式表示,函数,.,非,初等函数举例,:,第17页,二,.,极限,(,一,),极限定义,(,二,),性质,单调有界数列必有极限,.,夹逼定理,3.,4.,四则运算,(,有极限,;,有限个,),第18页,(,三,),求极限,1.,两个主要极限,(06),(03),(09),(10),第19页,2.,其它,举例,第20页,3.,罗必塔法则,第21页,三,.,无穷小,.,无穷大,1.,定义,2.,性质,第22页,例题,(,性质,),第23页,3.,无穷小阶比较,(,教材,P27),设,第24页,例题,(,阶比较,),(05),第25页,（,07,）,当,时，以下函数中能成为,等价无穷小是（,D,）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,（,A,）,（,09,）,当,时，以下四组函数中为等价,无穷小是 （,B,）,（,A,）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,第26页,4.,等价无穷小代换定理,(,教材,P27,）,定理,结论,第27页,例题,(,等价无穷小代换,),第28页,四,.,连续与间断,(,一,),连续,1,.,2,.,连续三要素,3.,左右连续,第29页,(,二,),间断点分类,第一类（都存在间断点）,(1),可去间断点,(2),可去间断点,(3),跳跃间断点,第二类（最少一个不存在间断点）,(4),无穷间断点,(5),振荡间断点,第30页,（,07,）,（模,A,）,eg,第31页,(,三,),闭区间上连续函数性质,定理,1,定理,2,定理,3(,介值定理）,（教材,P3132),定理,4,（根值定理）,第32页,（模,B,）,eg,第33页,（模,C,）,第34页,第二章导数与微分,一,.,导数概念,1.,定义,2.,几何意义,3.,左右导数,4.,可导与连续关系,第35页,（,10,）,第36页,二,.,求导数归纳,2.,四则运算,3.,反函数求导,例,1.,基本导数公式,第37页,（,04,）,(06),4.,复合函数求导,(10),第38页,(10),计算题,第39页,5.,隐函数求导,显函数,-,隐函数,-,（,09,）,第40页,对数求导法,(1),例,第41页,6.,参数方程求导,(1),(2),(3),(4),第42页,(6),（,09,）,(5),（,08,）,第43页,7.,高阶导数,例,第44页,例,(,高阶导数,),第45页,8.,分断函数求导,第46页,例题,(,分断函数求导,),讨论 在 连续性；,讨论 在 可导性；,求,第47页,9.,从定义求导,定义,第48页,例题,(,从定义求导,),(05),第49页,(10),则,2,（模,B,）,第50页,三,.,微分,(,一,),概念,1.,定义,2.,几何意义,3.,微分两个特征,4.,微分形式不变性,(,二,),计算,1.,公式,2.,四则运算,第51页,第三章 中值定理,.,导数应用,一,.,中值定理,(,一,)Rolle Th,若,则最少,使,第52页,注意,:(1),条件是充分条件,;(2),条件不成立,结论未必成立,.,例,不求,导数,验证 必有根,验证,对,正确性,Rolle Th,不求 导数,说明 有几个实根,并指出 根所在区间,.,第53页,(10),第54页,(,二,)Lagrange Th,若,则最少,使,第55页,推论,:,若在,则在,例题,(,Lagrange Th,),证实,:,第56页,例题,(,Lagrange Th,),验证 在 对,Lagrange Th,正确性,;,验证 在 对,Lagrange Th,正确性,;,证实,:,对,恒有,证实,:,当 恒有,第57页,(,三,)Cauchy Th,若,则最少,使,第58页,二,.,洛必达法则,定理,:,若,则,第59页,洛必达法则几个形式,第60页,例题,(,洛必达法则,),第61页,注意,(1),只有,才可考虑用,Th,(2),每次用,Th,后,必须化简,不能断定 不存在,.,只能说明,Th,失效,（,4,）还原例子,第62页,例题,(,洛必达法则,),（,03,）,第63页,三,.,单调性,.,极值,.,凹凸,.,拐点,.,作图,(,一,),单调性,Def1,Th1,第64页,例题,(,单调性,),第65页,(10),第66页,讨论单调性,极值步骤,1.,求,2.,求驻点与不可导点,3.,由两种点分,D(f),为若干区间,由,Th,判别单调性,极值,.,第67页,例题,(,单调性证实不等式,),第68页,(,二,),极值,Def2.,定义在,在,第69页,例题,(,极值,),求极值,求极值,求极值,第70页,极值判别法,在,可导,在 连续,.,Th2,第71页,极值判别法,Th3,第72页,极值存在必要条件,（费马定理）,Th4,极值点可从,驻点,与,不可导点,找,1.,可导函数极值点 驻点,2.,不可导点（临界点）也可能取得极值,第73页,举例,驻点取得极值,驻点不取得极值,不可导点不取得极值,不可导点取得极值,第74页,(,三,),最大值,.,最小值,1.,普通情况,只有一个,极大,(,小,),值,而无极小,(,大,),值,则,第75页,例题,(,最大值,.,最小值,),第76页,例题,(,最大值,.,最小值,),无盖圆柱形水池,体积定值,V,底造价是侧面造价,2,倍,.,问,:,半径,r=?,高度,h=?,用费最省,?,第77页,(,四,),凹凸,.,拐点,1.,凹凸定义,2.,凹凸判别,3.,拐点判别,4.,两种特殊情况,第78页,讨论曲线凹凸与拐点步骤,1.,求,2.,求使 与 不存在点,3.,由两种点分,D(f),为若干区间,由,Th,判别,曲线凹凸与拐点,.,（,10,）,第79页,eg,eg,第80页,(,五,),渐近线,.,作图,1.,水平,渐近线,2.,垂直渐近线,3.,作图步骤,(1),求,D(f),Z(f),(2),奇偶性、周期性,(3),单调性、极值,(4),凹凸性、拐点,第81页,例,3.,作图步骤,(5),渐近线,(6),特殊点,(7),描图,第82页,第四章 不定积分,4.1,概念,.,性质,4.2,换元积分法,4.3,分部积分法,4.4,几个特殊类型函数积分,第83页,4.1,概念,.,性质,一,.,原函数,Def1,若,说明,:1.,2.,则称,第84页,二,.,不定积分,不定积分几何意义,Def2,第85页,三,.,基本积分公式,P88,第86页,第87页,第88页,四,.,不定积分性质,1.,2.,3.,4.,第89页,例题,第90页,4.2,换元积分法,换元积分法,特点,Th,第91页,(,一,),凑微分举例,1.,形如,第92页,凑微分举例,2.,第93页,凑微分举例,3.,第94页,凑微分举例,4.,第95页,凑微分举例,5.,第96页,凑微分举例,6.,第97页,(,二,),特殊三角函数积分举例,第98页,换元积分法,Th,特点,第99页,类型,1.,三角置换,第100页,类型,2.,含,第101页,类型,3.,第102页,类型,3(,续,),第103页,4.3,分部积分法,重点,每年必考！,设,第104页,类型,一,.,二,.,三,.,(,分部,2,次,要移项,),第105页,例题,(,分部积分法,),第106页,例题,(,分部积分法,),第107页,第108页,4.4,几个特殊类型函数积分,一,.,有理函数积分,（了解）,1.,有理真分式分解,2.,待定系数,(1),比较法；（,2,）代入法,例,第109页,3,有理真分式积分,例,第110页,二,.,三角函数有理式积分,1.,万能置换,则,第111页,例题,(,万能置换,),第112页,2.,凑微分,第113页,三,.,简单无理函数积分,第114页,第五章 定积分,5.1,定积分概念,5.2,定积分性质,5.3,微积分基本公式,5.4,定积分换元积分法,5.5,定积分分部积分法,5.6,广义积分,第115页,5.1,定积分概念,一,.,引例,1.,曲边梯形面积,2.,变速直线运动旅程,二,.,定积分,Def,注,(1)2,个相关,;(2)3,个无关,;,(3),第116页,注,(4),充分条件,三,.,几何意义,第117页,5.2,定积分性质,第118页,5.2,定积分性质,第119页,例题,(,概念,.,性质,),1.,比较大小,.2.,估值,.,第120页,5.3,微积分基本公式,一,.,变上限积分,二,.,牛顿,-,莱布尼兹公式,第121页,第122页,第123页,5.4,定积分,换元积分法,第124页,注意：,1,换元法实质：,换元同时换限（切记）,2,碰到被积函数含有偶次根式，,注意,取算术根,第125页,第126页,第127页,结论,第128页,5.5,定积分分部积分法,第129页,第130页,5.6,广义积分（也称反常积分）,一,.,积分区间为无穷广义积分,二,.,被积函数含无穷间断点广义积分,第131页,第132页,第五章 定积分,5.7,定积分元素法,5.8,平面图形面积,5.9,体积,5.10,平面曲线弧长,5.11,定积分,物理应用,第133页,定积分几何应用,5.7 5.8 5.9 5.10,(,一,),一个量,Q,可用定积分计算条件,(1)Q,是,a,b,上定量,(2)Q,对,a,b,含有可加性,(3)x,x+dx,上部分量 可近似表为,简记为,第134页,(,二,),元素法步骤,(1),建立坐标系,确定积分变量,(2),求 上部分量 近似值,(3),定限积分求总量,第135页,定积分几何应用,一,.,平面图形面积,二,.,体积,三,.,平面曲线弧长,第136页,(,模,A)29,.,求由曲线 与直线 所围成平面图形面积；且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积。,(eg),.,求由曲线 与它过原点一条,切线及 轴所围成平面图形面积；,且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得,旋转体体积。,第137页,(03).(,1),求曲线 在点 切线方程；,（,2,）由曲线、切线及 轴所围成平面图形,面积；,（,3,）求上述平面图形绕 轴旋转一周所得,旋转体体积。,(eg),.,求正劈锥体积。,第138页,定积分物理应用,5.11,一,.,变力作功,二,.,液体静压力,第139页,第七章,.,向量代数与空间解几,（不考）,7.1,空间直角坐标系,.,一,.,空间直角坐标系,.,1.Def,第140页,八个挂限,点坐标符号,1(+,+,+)2(-,+,+)3(-,-,+)4(+,-,+),5(+,+,-)6(-,+,-)7(-,-,-)8(+,-,-),2.,空间中点坐标,第141页,二,.,空间两点间距离,设点,则,第142页,7.2,向量代数,一,.,向量概念,与 同方向单位向量,二,.,向量加法,平行四边形法则,三角形法则,三,.,数乘向量,第143页,7.2,向量代数,四,.,向量在坐标轴上投影,1.,两向量夹角,2.,向量在轴上投影,第144页,7.2,向量代数,五,.,向量分解,.,向量坐标,.,向量模,.,方向余弦,点,向径,坐标表示式,分量表示式,第145页,7.2,向量代数,五,.,向量分解,.,向量坐标,.,向量模,.,方向余弦,点,向量,坐标表示式,分量表示式,向量模,第146页,7.2,向量代数,五,.,向量分解,.,向量坐标,.,向量模,.,方向余弦,向量方向余弦,第147页,第148页,7.2,向量代数,六,.,两,向量数量积,1.Def,性质,第149页,7.2,向量代数,六,.,两,向量数量积,2.,公式,第150页,7.2,向量代数,六,.,两,向量数量积,3.,两,向量夹角,第151页,例题,(,数量积,),(1),第152页,例题,(,数量积,),(05),单位向量,满足,则,(3)(04),第153页,7.2,向量代数,六,.,两,向量向量积,1.Def,性质,第154页,六,.,两,向量向量积,性质,(3),基本单位向量性质,(4),第155页,7.2,向量代数,六,.,两,向量向量积,2.,公式,第156页,7.2,向量代数,六,.,两,向量向量积,3.,结论,第157页,例题,(,向量积,),(1),求与,垂直单位向量,(2),第158页,例题,(,向量积,),(3)(07),满足,则,(,答案,.6),第159页,7.3,曲面与方程,一,.,曲面与方程,1.Def,若,(1),纯粹性,(2),完备性,则称 为曲面,S,方程,曲面,S,是方程 图形,.,第160页,7.3,曲面与方程,2.,建立轨迹方程步骤,(1),设,M(x,y,z),为轨迹上任一点,依轨迹条件建立等式,(2),以,M,点坐标代入等式得方程,(3),化简方程,(4),证实,(,略,),第161页,7.3,曲面与方程,3.,曲面研究两个问题,(1),已知曲面作为点几何轨迹，,求其方程 ；,(2),已知曲面方程 ，,研究曲面性质。,第162页,7.3,曲面与方程,二,.,柱面,Def,动直线 平行 轴,动直线,沿,定曲线,平行移动,(,母线,)(,准线,),说明,:,三元方程,少一个字母,则表示柱面,第163页,柱面 准线 母线,母线,/Z,轴,母线,/X,轴,母线,/Y,轴,第164页,柱面,(,例题,),(1),圆,柱面,(2),抛物,柱面,(3),椭圆,柱面,(4),双曲,柱面,第165页,7.3,曲面与方程,三,.,旋转曲面,第166页,旋转曲面,(,例题,),(1),(2),第167页,7.4,平面与方程,一,.,点法式,第168页,7.4,平面与方程,二,.,普通式,讨论,第169页,7.4,平面与方程,三,.,截距式,四,.,两平面夹角,第170页,7.4,平面与方程,五,.,点到平面距离,第171页,平面与方程,(,例题,),(1),说明平面特点,(2),(3),(4),第172页,平面与方程,(,例题,),(5),求两平面,夹角,(6),求,P,到 距离,第173页,平面与方程,(,例题,),(7),求过 平面,(8),过三点,求,第174页,7.5,空间曲线,普通方程,注,:,空间曲线方程不唯一,第175页,7.5,空间曲线,例题,(1),(2),(3),与,第176页,7.6,空间直线,一,.,普通式方程,第177页,7.6,空间直线,二,.,点向式,(,对称式,),第178页,7.6,空间直线,三,.,参数式,第179页,7.6,空间直线,四,.,两直线夹角,第180页,7.6,空间直线,两直线关系,第181页,7.6,空间直线,五,.,直线与平面夹角,第182页,7.6,空间直线,五,.,直线与平面夹角,第183页,7.6,空间直线,直线与平面关系,第184页,例题,(,空间直线,),(1),求过,且过点 平面方程,(2),求过 直线,(3),求过点,且垂直,所在平面直线方程,第185页,例题,(,空间直线,),(4),直线,化为点向式,(5),求两直线夹角,第186页,例题,(,空间直线,),(6),求过点,与,都平行直线,第187页,7.7,二次曲面,一,.,椭球面,截痕法,第188页,7.7,二次曲面,二,.,双曲面,1.,单叶双曲面,2.,双叶双曲面,第189页,7.7,二次曲面,三,.,抛物面,1.,椭圆抛物面,2.,双曲抛物面,第190页,例题,(,二次曲面,),(1),指出图形名称,第191页,例题,(,二次曲面,),(2),指出截痕表示什么曲线,第192页,第六章,.,微分方程,（重点！大题单独考一题与综合题）,6.1,微分方程概念,引例,:,曲线上任一点 切线斜率为,且曲线过点,求曲线方程,.,基本概念,:,常微分方程 偏微分方程,微分方程通解 微分方程特解,微分方程初始条件,微分方程阶,第193页,6.1,微分方程概念,举例,第194页,例题,(,微分方程概念,),(1),验证函数是否为微分方程解,若是,则指出是通解或特解,.,第195页,例题,(,微分方程概念,),(2),物体在空气中冷却速度与物体和空气温差成正比,试以微分方程描述这物理现象,.(,设空气温度为,),第196页,线性,微分方程含义,第197页,6.2,可分离变量微分方程,形式,方法,-,分离变量法,第198页,例题,(,分离变量法,),第199页,6.3,齐次微分方程,形式,方法,(1),第200页,例题,(,齐次微分方程,),(1),(2),第201页,6.4,一阶线性微分方程,一,.,方法,-,分离变量法,通解,第202页,6.4,一阶线性微分方程,二,.,方法,-,常数变易法,通解,第203页,例题,(,一阶线性微分方程,),(1),(2),(3),第204页,例题,(,一阶线性微分方程,),(4),(5),(6),第205页,第206页,(7),（,07,）,以下方程为,一阶,线性,非齐次,微分方程是 （）,第207页,6.5,特殊高阶微分方程,（不考）,一,.,例,方法,-,降阶法,第208页,6.5,特殊高阶微分方程,二,.,第209页,6.5,特殊高阶微分方程,三,.,第210页,例题,(,特殊高阶微分方程,),(1),(2),(3),(4),第211页,6.6,二阶线性常系数齐次微分方程,（重点）,形式,方法,-,特征根法,第212页,6.6,二阶线性常系数齐次微分方程,Th1,Th2,第213页,6.6,二阶线性常系数齐次微分方程,特征方程,微分方程通解,第214页,例题,(),第215页,6.7,二阶线性常系数非齐次微分方程,形式,Th,第216页,6.7,二阶线性常系数非齐次微分方程,特解形式,一,.,第217页,6.7,二阶线性常系数非齐次微分方程,特解形式,二,.,第218页,6.7,二阶线性常系数非齐次微分方程,特解形式,三,.,第219页,例题,(),第220页,例题,(),第221页,例题,(),第222页,总归纳,补缺漏,第223页,总归纳,.,补缺漏,(1),(2),(3),第224页,总归纳,.,补缺漏,(4),(5)(03),(6),曲线,y=f(x),在,(a,b),单调减,且凹,.,则,第225页,总归纳,.,补缺漏,(7),(8),（研）,(9),断点个数为,下面,在,x=2,连续而不可导函数是,第226页,总归纳,.,补缺漏,(10),(11),(12),第227页,(13),在 处导数存在,最高阶数是,B,A.0;B.1;C.2;D.3,(14),(15),定,总归纳,.,补缺漏,第228页,总归纳,.,补缺漏,(16),极值点是,拐点是,(17),(18),第229页,总归纳,.,补缺漏,(19),(20),第230页,总归纳,.,补缺漏,(21),在 取得极大值,则必有,(22),第231页,(24),(23),(25),第232页,总归纳,.,补缺漏,(26),(27),第233页,总归纳,.,补缺漏,(29),(28),(30),第234页,总归纳,.,补缺漏,(31),(32),第235页,总归纳,.,补缺漏,(34),(33),第236页,总归纳,.,补缺漏,(35),(36),第237页,总归纳,.,补缺漏,(37),(38),第238页,(39),总归纳,.,补缺漏,第239页,(40),总归纳,.,补缺漏,第240页,(41),总归纳,.,补缺漏,第241页,预祝三月考试成功！,第242页,