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,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,理数,课标版,第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理,1/21,两个计数原理,教材研读,分类加法计数原理,分步乘法计数原理,条件,完成一件事有两类方案.在第1类方案中有m种不一样方法,在第2类方案中有n种不一样方法,完成一件事需要两个步骤.做第1步有m种不一样方法,做第2步有n种不一样方法,结论,完成这件事共有N=m+n种不一样方法,完成这件事共有N=mn种不一样方法,2/21,判断下面结论是否正确.(请在括号中打“”或“,”),(1)在分类加法计数原理中,两类不一样方案中方法能够相同.,(,),(2)在分类加法计数原理中,每类方案中方法都能直接完成这件事.,(),(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤方法是各不相,同.,(),(4)在分步乘法计数原理中,事件是分两步完成,其中任何一个单独,步骤都能完成这件事.,(,),3/21,1.一个袋子里放有6个球,另一个袋子里放有8个球,每个球各不相同,从,两个袋子里各取一个球,则不一样取法种数为(),A.182B.14C.48D.91,答案,C由分步乘法计数原理得不一样取法种数为6,8=48.,2.书架第1层放有4本不一样语文书,第2层放有5本不一样数学书,第3,层放有6本不一样体育书.从第1,2,3层各取1本书,则不一样取法种数为,(),A.3B.15C.21D.120,答案,D由分步乘法计数原理知,从第1,2,3层各取1本书,不一样取法,种数为4,5,6=120.故选D.,4/21,3.用0,1,9十个数字能够组成有重复数字三位数个数为(),A.243B.252C.261D.279,答案,B由分步乘法计数原理知,用0,1,9十个数字组成三位数(可,有重复数字)个数为9,10,10=900,组成没有重复数字三位数个,数为9,9,8=648,则组成有重复数字三位数个数为900-648=252,故,选B.,5/21,4.某位同学逛书店,发觉有三本喜欢书,决定最少买其中一本,则购置,方案有,种.,答案,7,解析,最少买其中一本意思是买一本或买两本或买三本,故分三类.,第一类:买一本有3种;第二类:买两本有3种;第三类:买三本有1种.共有3+,3+1=7种购置方案.,6/21,5.如图,从,A,城到,B,城有3条路,从,B,城到,D,城有4条路,从,A,城到,C,城有4条路,从,C,城到,D,城有5条路,则某旅客从,A,城到,D,城共有,条不一样路线.,答案,32,解析,不一样路线共有3,4+4,5=32(条).,7/21,考点一分类加法计数原理,典例,1,(1),高三一班有学生,50,人,男生,30,人,女生,20,人,;,高三二班有学生,60,人,男生,30,人,女生,30,人,;,高三三班有学生,55,人,男生,35,人,女生,20,人,.,从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有,种,不一样选法,;,从高三一班、二班男生或高三三班女生中选一名学生任学生会体育,部长,有,种不一样选法,.,(2),满足,a,b,-1,0,1,2,且关于,x,方程,ax,2,+2,x,+,b,=0,有实数解有序数对,(,a,b,),个数为,.,考点突破,8/21,答案,(1)16580(2)13,解析,(1)有三类方法:,第一类,从高三一班任选一名学生共有50种选法;,第二类,从高三二班任选一名学生共有,60,种选法,;,第三类,从高三三班任选一名学生共有,55,种选法,依据分类加法计数原理,任选一名学生任学生会主席共有,50+60+55=16,5(,种,),不一样选法,.,有三类方法,:,第一类,从高三一班男生中任选一名共有,30,种选法,;,第二类,从高三二班男生中任选一名共有,30,种选法,;,第三类,从高三三班女生中任选一名共有,20,种选法,.,综上知,共有,30+30+20=80(,种,),不一样选法,.,9/21,(2)已知,a,b,-1,0,1,2,当,a,=0时,x,=-,为实根,则,b,可取-1,0,1,2,有4种可能.,当,a,0时,方程有实根,所以,=4-4,ab,0,所以,ab,1.,(*),当,a,=-1时,满足(*)式,b,可取-1,0,1,2,有4种可能.,当,a,=1时,b,可取-1,0,1,有3种可能.,当,a,=2时,b,可取-1,0,有2种可能.,所以由分类加法计数原理知,有序数对(,a,b,)共有4+4+3+2=13个.,10/21,方法技巧,使用分类加法计数原理遵照标准,首先,依据题目特点恰当选择一个分类标准;其次,分类时应注意完成这,件事情任何一个方法必须属于某一类,且只能属于某一类(即标准明,确,不重不漏).,1-1,在全部两位数中,个位数字大于十位数字两位数共有,(),A.50个B.45个C.36个D.35个,答案,C由题意知,十位上数字能够是1,2,3,4,5,6,7,8,共8类,在每一,类中满足题目要求两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由,分类加法计数原理知,符合题意两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个.,11/21,1-2,若1-1中条件变为“个位数字小于十位数字”,则这么两位数,个数为,.,答案,45,解析,依据题意,将个位上数字按0,1,2,3,4,5,6,7,8情况分成9类,在,每一类中满足题目条件两位数分别有9个,8个,7个,6个,5个,4个,3个,2,个,1个,由分类加法计数原理知,符合条件两位数共有9+8+7+6+5+4+3,+2+1=45个.,12/21,考点二分步乘法计数原理,典例2,(1)(课标全国,5,5分)如图,小明从街道E处出发,先到F,处与小红会合,再一起到位于G处老年公寓参加志愿者活动,则小明到,老年公寓能够选择最短路径条数为,(),A.24B.18C.12D.9,13/21,(2),某体育彩票要求,:,从,01,至,36,共,36,个号中选出,7,个号为一注,每注,2,元,.,某,人想从,01,至,10,中选,3,个连续号,从,11,至,20,中选,2,个连续号,从,21,至,30,中选,1,个号,从,31,至,36,中选,1,个号组成一注,若这人把满足这种特殊要求,号买全,最少要花,(),A.3 360元B.6 720元C.4 320元D.8 640元,(3)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加,一项,每个项目都有些人报名,则共有,种不一样报名方法.,答案,(1)B(2)D(3)120,解析,(1)分两步,第一步,从EF,有6条能够选择最短路径;第二步,从,FG,有3条能够选择最短路径.由分步乘法计数原理可知有6,3=18,条能够选择最短路径.故选B.,14/21,(2),从,01,至,10,中选,3,个连续号共有,8,种选法,;,从,11,至,20,中选,2,个连续号,共有,9,种选法,;,从,21,至,30,中选,1,个号有,10,种选法,;,从,31,至,36,中选一个号有,6,种选法,.,由分步乘法计数原理知共有,8,9,10,6=4 320,种选法,最少需花,4,320,2=8 640元.,(3)每项限报一人,且每人至多参加一项,每个项目都有些人报名,所以可由,项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4,种选法,依据分步乘法计数原理,可得不一样报名方法共有6,5,4=120种.,15/21,易错警示,(1)要按事件发生过程合理分步,即考虑分步先后次序.,(2)每个步骤相互依存,缺一不可,只有各个步骤都完成,才算完成整个事,件.,(3)对完成各步方法数要准确确定.,变式2-1,若将本例(3)中条件“每项限报一人,且每人至多参加一项,每个项目都有些人报名”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有,多少种不一样报名方法?,解析,每人都能够从三个项目中选报一项,每人各有3种不一样报名方,法,依据分步乘法计数原理,可得不一样报名方法共有3,6,=729种.,16/21,变式2-2,若将本例(3)条件中“每人至多参加一项”改为“每人参,加项目数不限”,其它不变,则有多少种不一样报名方法?,解析,每人参加项目数不限,所以每一个项目都能够从六人中任选一,人,依据分步乘法计数原理,可得不一样报名方法共有6,3,=216种.,17/21,考点三两个计数原理综合应用,典例3,(1)(四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字五位,数,其中比40 000大偶数共有,(),A.144个B.120个C.96个D.72个,(2)如图,用6种不一样颜色把图中,A,B,C,D,四块区域分开,若相邻区域不,能涂同一个颜色,则不一样涂法共有,(),A.400种B.460种C.480种D.496种,18/21,答案,(1)B(2)C,解析,(1)数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大偶数分为,以4开头与以5开头偶数.其中以4开头偶数又分以0结尾与以2结尾,有2,=48个;同理,以5开头偶数有3,=72个.故共有48+72=120个,故,选B.,(2)完成此事可能使用4种颜色,也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时:,从,A,开始,有6种方法,B,有5种,C,有4种,D,有3种,完成此事共有6,5,4,3=360,种方法;当使用3种颜色时:,A,D,使用同一个颜色,从,A,D,开始,有6种方法,B,有5种,C,有4种,完成此事共有6,5,4=120种方法.由分类加法计数原理,可知:不一样涂法共有360+120=480(种).,19/21,方法技巧,(1)在综合应用两个计数原理处理问题时,普通是先分类再分步,但在分,步时可能又会用到分类加法计数原理.,(2)对于较复杂两个计数原理综合应用问题,可恰当地画出示意图,或列出表格,使问题形象化、直观化.,3-1,假如一个三位正整数“,a,1,a,2,a,3,”满足,a,1,a,3,则称这么三位,数为凸数(如120,343,275等),那么全部凸数个数为,(),A.240B.204C.729D.920,答案,A若,a,2,=2,则凸数为120与121,共1,2=2个.若,a,2,=3,则凸数有2,3=,6个.若,a,2,=4,则凸数有3,4=12个,若,a,2,=9,则凸数有8,9=72个.全部,凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240个.,20/21,3-2,假如一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面组成一个,“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定直线与含有四个,顶点平面组成“正交线面对”个数是(),A.48B.18C.24D.36,答案,D分类讨论:第1类,对于每一条棱,都能够与两个面组成“正交,线面对”,这么“正交线面对”有2,12=24(个);第2类,对于每一条面,对角线,都能够与一个对角面组成“正交线面对”,这么“正交线面,对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).,21/21,
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