换元积分详解.pptx

,高等数学电子教案,第二节 换元积分法,一、第一类换元法,通常一个函数导数是轻易求出,不过要求一个,函数原函数是很困难.直到现在只能求出绝少部分,原函数.为了求解原函数，现在介绍几个惯用积分,方法.第一换元积分法也称为凑元法。,第1页,定理1 设,u,=,(,x,),在区间,a,b,上可导,g,(,u,)在,.,上有,原函数,G,(,u,),则不定积分存在,且,证实:用复合函数求导法则，验证,第2页,第一换元积分法(凑元法)关键是把f(x)dx凑成,g(x),(x)dx怎样凑?这是一个技巧性很强工作，,要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些,三角函数恒等变换,分子分母有理化,分子加减某,项等方法.但不一样方法得到积分结果往往不相同,我们可经过求导可知道它们是否同一被积函数.,“凑”方法：通常把较复杂函数看成,g,(,(,x,),第3页,例1,例2,积分，,对于形如,当,m,n,中有一个为奇数时，总能够用这个方法处理.,第4页,例3,例4,例5,第5页,(1)关于自变量是线性形式,比如,(2)被积函数可写成,常见凑元法有以下几个情况:,形式，比如,第6页,(3)被积函数可写成,f,(,x,n,),x,n,-1,形式,比如,(4)被积函数可写成,g,(,x,n,),x,2,n,-1,形式,比如,(5)被积函数可写成,f,(sin,x,)cosx或,f,(cos,x,)sin,x,形式,比如,第7页,(6)被积函数可写成,(7)利用三角函数公式,惯用三角形式:,倍角公式,积化和差公式,形式,比如,第8页,另外，惯用三角公式还有sec,2,x,=1+tg,2,x,等,比如,第9页,第10页,例6,第11页,例7,例8,第12页,例9,例10,第13页,例11,例12,例13,第14页,例14,例15,第15页,例16,第16页,二、第二换元法,定理 设,x,=,(,t,)是单调,可导函数,而且,(,t,)0,又设,f,(t),(,t,)含有原函数,(,t,),则有换元公式,成立，其中,是,x,=,(,t,)反函数.,第17页,证实:,第18页,公式成立是有条件.,1)等号右边不定积分或原函数要存在,且轻易积分.,2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是确保反函数,存在.,惯用变量代换有以下四种类型：,第19页,利用三角函数进行代换,能够使被积函数简单,当被积函数含有平方和或平方差二次根式时,依据恰,当三角恒等式作三角代换.比如对,1、三角代换,第20页,例1 求,解:,第21页,例2 求,解:,第22页,第23页,例3 求,第24页,把,x,a,及,x,-,a,结合起来,我们得到,第25页,从上面例子可看出:,可作代换,x,=,a,sin,t,化去根式;,，,假如被积函数含有,，,可作代换,x,=,a,tan,t,化去根式;,假如被积函数含有,假如被积函数含有,，,可作代换,x,=,a,sec,t,化去根式;,但详细解题时要分析被积函数详细情况,选取尽可能简,捷代换.,比如,第26页,当被积函数是三角有理式时,作“万能”代换,将被积,函数有理化.,第27页,例4 求,第28页,还有一部分采取反三角函数代换，比如,t,x,1,第29页,例5 求,2、根式代换,目标是将无理数变成有理数,便于积分,第30页,例6,求,3、倒数代换,第31页,第32页,，应用双曲代换,例7 求,4、双曲代换,当被积函数含有根号,第33页,时有类似结果,综合得到,第34页,下面积分在今后计算中常会碰到,我们可把它们作,为积分公式处理.,第35页,例8 求,解:,例9 求,解:,第36页,例10 求,解:,利用上述结果进行二次根式,有理式积分,第37页,例11,例12,第38页,例13,第39页,