同济大学高等数学1-5极限的运算法则.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一章,二、极限四则运算法则,三、复合函数极限运算法则,一、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,第1页,一、无穷小运算法则,命题,两个无穷小和还是无穷小,.,直观记忆：,0+0=0,说明,:,无限个无穷小之和不一定是无穷小,!,定理,1,：,有限个,无穷小之和仍为无穷小,.,同理可证：三个无穷小之和也是无穷小,.,用数学归纳法可证,:,第2页,直观记忆：,M,*,0=0,这是一个很有用性质，惯用于极限计算。,回想一些主要有界函数。,定理,2.,有界函数与无穷小乘积是无穷小,.,第3页,4,常见有界函数,第4页,5,注意：,也有界,记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。,第5页,6,定理,2.,有界函数与无穷小乘积是无穷小,.,推论,1.,常数与无穷小乘积是无穷小,.,推论,2.,有限个无穷小乘积是无穷小,.,注,:,无限个无穷小乘积不一定是无穷小,!,第6页,问,:,无穷大是否有类似性质？,以下命题成立？,（,1,）两个无穷大之和也是无穷大？,（,2,）两个无穷大积也是无穷大？,（,3,）无穷大与有界函数和也是,无穷大？,（,4,）无穷大与有界函数乘积也是无穷大？,（,5,）无穷大与无穷小乘积是什么？,说不清楚，有各种可能,第7页,D,P45,第,4,题,第8页,9,定理,3,二,.,极限四则运算法则,则,若,第9页,10,推论,1.,推论,2.,第10页,11,注意：,极限四则运算法则成立条件为：,参加四则运算各项极限都存在！,定理,4.,第11页,12,极限计算,一些基本极限（,已经证实,或,显著,）,第12页,13,结论：,设多项式 则有,第13页,14,解,例,2.,第14页,结论：,设有理分式函数 则有,第15页,解,商法则不能用,由无穷小与无穷大关系,得,例,3,先求其倒数极限,第16页,结论：,第17页,解,例,4,消去零因子法,第18页,例,5,第19页,例,5,第20页,结论：,第21页,1.,2.,3.,4,练习,第22页,23,练习,1.,解,:,第23页,24,解,:,x,=1,时,分母,=0,分子,0,但因,练习,2.,第24页,解：,通分,练习,3.,第25页,解,:,原式,练习,4,第26页,例,6,解,“,抓大头,”,第27页,例,6,解,第28页,例,6,解,第29页,30,为非负常数,),结论：,注,:,这种极限结果只取决于分子和分母中最大项，其它项对结果毫无影响。,“,抓大头,”,第30页,例,7,解,先变形再求极限,.,拆项相消,第31页,例,8,解,(,利用无穷小性质,),=0,第32页,三、复合函数极限运算法则,定理,6,：,第33页,34,解,:,令,则,原式,=,例,9.,求,复合函数求导,（变量代换）,第34页,35,练习,.,求,分母有理化,解,:,第35页,36,练习,解,:,原式,=,第36页,内容小结,1.,极限运算法则,(1),无穷小运算法则,(2),极限四则运算法则,(3),复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.,求函数极限方法,(1),分式函数极限求法,时,用代入法,(,要求分母不为,0),时,对,型,约去公因子，,时,分子分母同除最高次幂,“,抓大头”,(2),复合函数极限求法,设中间变量,第37页,