专题3导数及其应用.pptx

专题三 导数及其应用,目 录,CONTENTS,考点一 导数的概念、计算及定积分,1,考点二 导数的应用,2,考点一 导数的概念、计算及定积分,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,1,导数的,定义,导数的定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数的运算法则与某些导数的公式时，都是以此为依据,对导数的定义，我们应注意以下两点：,(1),x,是自变量,x,在,x,0,处的增量,(,或改变量,),导数是一个局部概念，它只与函数,y,f,(,x,),在,x,0,及其附近的函数值有关，与,x,无关,(2),函数,y,f,(,x,),应在,x,0,的附近有意义，否则函数,f,(,x,),在该点的导数不存在若,极限 不,存在，则称函数,f,(,x,),在,x,x,0,处不可导,考点一 导数的概念、计算及定积分,必备知识 全面把握,2,导数的几何,意义,曲线,y,f(x),上任意一点,(x,0,，,f(x,0,),处的切线的斜率,k,是,f(x),在,x,0,处的,导数,，,即,利用,导数求曲线,y,f(x),在其上任意一点,P(x,0,，,f(x,0,),处的切线方程，具体求法分两步,：,(1),求出函数,y,f(x),在点,x,0,处的导数，即为曲线,y,f(x),在点,P(x,0,，,f(x,0,),处的切线的斜率,；,(2),在已知切点坐标,P(x,0,，,y,0,),和切线斜率,f(x,0,),的条件下，,求得,切线方程,y,-,y,0,=f,x,0,（,x-,x,0,）,考点一 导数的概念、计算及定积分,曲线,y,f(x)“,在,”,点,P(x,0,，,y,0,),处的切线与,“,过,”,点,P(x,0,，,y,0,),的切线的区别,：,曲线,y,f(x)“,在,”,点,P(x,0,，,y,0,),处的切线是指,P,为切点，若切线斜率存在，则切线斜率为,k,f,(x,0,),，是,唯一,的一条切线；,曲线,y,f(x)“,过,”,点,P(x,0,，,y,0,),的切线，是指切线经过点,P,，点,P,可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能,不止一条,考点一 导数的概念、计算及定积分,3,导数的运算,公式,(1,）,基本初等函数的导数公式,考点一 导数的概念、计算及定积分,(2),导数的运算法则,f(x)g(x),f,(x)g(x),；,f(x)g(x),f,(x)g(x),f(x)g(x),；,4,复合函数的,导数,复合函数,y,f(g(x),的导数和函数,y,f(u),，,u,g(x),的导数间的关系为,y,x,y,u,u,x,，即,y,对,x,的导数等于,y,对,u,的导数与,u,对,x,的导数的乘积,(1),利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量的函数,(2),要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：,(cos 2x),sin 2x,，实际上应是,(cos 2x),2sin 2x,.,考点一 导数的概念、计算及定积分,5,定积分,(1),微积分基本定理,(,牛顿莱布尼茨公式,),a,b,f,(,x,),dx,F,(,b,),F,(,a,),F,(,x,)|,a,b,，其中，,F,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),是,a,，,b,上的,连续,函数,(2),定积分的,性质,当积分区间关于原点对称，在求定积分时，可利用被积函数的,奇偶性,来求解,考点一 导数的概念、计算及定积分,(3),与基本初等函数有关的常见定积分,考点一 导数的概念、计算及定积分,6,定积分的几何,意义,如果,在区间,a,，,b,上函数,f(x),连续且恒有,f(x)0,，那么定积分,a,b,f,(,x,)d,x,表示由曲线,y,f,(,x,),及直线,x,a,，,x,b,(,a,b,),，,y,0,所围成的曲边梯形的面积,(,如图,(1),；若,f,(,x,)0,，则由曲线,y,f,(,x,),及,x,a,，,x,b,(,a,b,),，,y,0,围成的曲边梯形位于,x,轴下方，定积分,a,b,f,(,x,)d,x,在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；若,f,(,x,),的值可正可负，则曲线,y,f,(,x,),的某些部分在,x,轴的上方，而其他部分在,x,轴下方，如果我们将在,x,轴上方的图形的面积赋予正号，在,x,轴下方的图形面积赋予负号，那么在一般情况下,，,定积分,a,b,f,(,x,),dx,的几何意义是曲线,y=,f,（,x,）和直线,x=a,，,x=b,（,a,b,）,y=0,所围成的各部分图形面积的代数和，如图（,2,）：,考点一 导数的概念、计算及定积分,注意：,图,(1),中,a,b,f,(,x,)d,x,等于,a,，,b,间曲边梯形面积的值,图,(2),中,等于,c,，,d,间曲边梯形的面积值的相反数,方法,1,导数的,运算,1,用函数的求导公式,求导,常见求导函数的形式,(1),连乘,形式：先展开化为多项式形式，再求导,(2),三角,形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导,(3),分式,形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导,(4),根式,形式：先化为分数指数幂的形式，再求导,(5),对数,形式：先化为和、差形式，再求导,核心方法 重点突破,考点一 导数的概念、计算及定积分,考点一 导数的概念、计算及定积分,例,1,、,求,下列函数的导数：,(1)y,x(x,1)(x,2),；,(2)y,tan,x,；,【解】,(1),y,x,3,3x,2,2x,，,y,3x,2,6x,2.,考点一 导数的概念、计算及定积分,例,1,、,求,下列函数的导数：,(1)y,x(x,1)(x,2),；,(2)y,tan,x,；,例,2,、,等比数列,a,n,中，,a,1,2,，,a,8,4,，函数,f,(,x,),x,(,x,a,1,)(,x,a,2,)(,x,a,8,),，则,f,(0),(,),A,2,6,B,2,9,C,2,12,D,2,15,【解析】函数,f,(,x,),的展开式含,x,项的系数为,a,1,a,2,a,8,(,a,1,a,8,),4,8,4,2,12,，而,f,(0),a,1,a,2,a,8,2,12,，故选,C.,【答案】,C,【反思】若直接用乘积的求导法则运算量太大，要去括号困难重重，所以巧妙地把,x,(,x,a,1,)(,x,a,2,)(,x,a,8,),看成一个整体，利用代换的思想解决问题,考点一 导数的概念、计算及定积分,2,复合函数的,求导,求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：,(1),适当选定中间变量，正确分解复合关系；,(2),分步求导,(,弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,),；,(3),把中间变量代回原自变量,(,一般是,x),的函数,考点一 导数的概念、计算及定积分,考点一 导数的概念、计算及定积分,例,3,、,求,下列函数的导数：,【解】,(1),设,y,u,4,，,u,1,3x,，,则,y,x,y,u,u,x,4u,5,(,3),方法,2,导数几何意义的,应用,已知,函数,y,f(x),，求曲线,y,f(x),过点,P(x,0,，,y,0,),的切线,方程,(1),若点,P(x,0,，,y,0,),是切点，则切线方程为,y,y,0,f(x,0,)(x,x,0,),(2),若点,P(x,0,，,y,0,),不是切点，求解步骤如下：,设切点坐标为,Q(x,1,，,f(x,1,),；,由切线,斜率,求,出,x,1,；,将,x,1,的值代入,y,y,1,f(x,1,)(x,x,1,),得切线方程,考点一 导数的概念、计算及定积分,例,4,、,云南中央民族大学附属中学,2018,期中,已知曲线方程为,y,x,2,，求：,(1),在曲线点,A(2,，,4),处的切线方程；,(2),过点,B(3,，,5),且与曲线相切的直线方程,【解】设,y,f(x),x,2,.,(1)f(x),2x,，,f,(2),4.,又,点,A(2,，,4),在曲线,y,x,2,上，所求切线的斜率,k,4.,故所求切线的方程为,y,4,4(x,2),，即,4x,y,4,0,.,(2),点,B(3,，,5),不在曲线,y,x,2,上，设切点为,(x,0,，,x,0,2,),由,(1),知,f(x),2x,，切线的斜率,k,2x,0,，切线方程为,y,x,0,2,2x,0,(x,x,0,),又,点,B(3,，,5),在切线上，,5,x,0,2,2x,0,(3,x,0,),，,解得,x,0,1,或,x,0,5,，切点为,(1,，,1),，,(5,，,25),故所求切线方程为,y,1,2(x,1),或,y,25,10(x,5),，,即,2x,y,1,0,或,10 x,y,25,0.,考点一 导数的概念、计算及定积分,例,5,、,云南昆明,2019,届模拟,已知曲线,y,e,x,a,与,y,(x,1),2,恰好存在两条公切线，则实数,a,的取值范围为,(,),A,(,，,2ln 2,3)B,(,，,2ln 2,3),C,(2ln 2,3,，,)D,(2ln 2,3,，,),【解析】,y,e,x,a,的导数为,y,e,x,a,，,y,(x,1),2,的导数为,y,2(x,1),设公切线与曲线,y,e,x,a,的切点为,(m,，,n),，与曲线,y,(x,1),2,的切点为,(s,，,t),，则公切线的斜率为,e,m,a,2(s,1),又因为,t,(s,1),2,，,n,e,m,a,，所以,2(s,1),所以,s,m,因为,e,m,a,2(s,1),，,所以,a,ln,2(s,1),，,(,s,1),考点一 导数的概念、计算及定积分,当,s,3,时，,f,(s),0,，,f(s),单调递减，当,1,s,3,时，,f,(s),0,，,f(s),单调递增，所以在,s,3,处,f(s),取得极大值，也为最大值，且为,2,ln,2,3.,因为两曲线恰好存在两条公切线，即,a,f(s),有两解，所以,a,2,ln,2,3.,故选,B,.,考点一 导数的概念、计算及定积分,例,5,、,云南昆明,2019,届模拟,已知曲线,y,e,x,a,与,y,(x,1),2,恰好存在两条公切线，则实数,a,的取值范围为,(,),A,(,，,2ln 2,3)B,(,，,2ln 2,3),C,(2ln 2,3,，,)D,(2ln 2,3,，,),【答案】,B,方法,3,定积分的计算及,应用,计算简单定积分的一般步骤：,(1),找出被积函数,f(x),，进行化简，即把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数及常数的和或差对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，写成分段函数的形式,(2),利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差,(3),分别用求导公式找出,F,(,x,),，使得,F,(,x,),f,(,x,),(4),利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值,(5),计算所求定积分的值,定积分的主要应用之一就是求,曲边梯形的面积,，基本方法是根据定积分的几何意义把所求的面积转化为一个函数的定积分,考点一 导数的概念、计算及定积分,考点一 导数的概念、计算及定积分,方法,3,定积分的计算及,应用,(,1),对于分段函数和含有绝对值符号的函数的定积分问题，都可以采用分段求解的方法,(2),对函数图像和圆有关的函数的定积分可以利用定积分的几何意义求解，,即求类似于,的,值时，根据定积分的几何意义，求曲线在所给区间内,与,x,轴围成,的图形,的面积有时也根据被积函数的奇偶性、正负，并结合几何意义求解,例,6,、定积分,考点一 导数的概念、计算及定积分,例,7,、,曲线,y,x,2,与直线,y,x,所围成的封闭图形的面积为,_,【解析】曲线,y,x,2,与直线,y,x,所围成的图形如图所示,考点一 导数的概念、计算及定积分,【答案】,方法,1,利用导数的概念和求导法则求相关量的,值,例,1,、,天津文,201810,已知函数,f(x),e,x,ln,x,，,f,(x),为,f(x),的导函数，则,f(1),的值为,_,【解析】由,f(x),e,x,ln,x,可得,f,(x),e,x,ln,x,e,x,1/x,e,x,(,ln,x,1/x),，,令,x,1,，得,f,(1),e,.,【答案】,e,考法例析 成就能力,考点一 导数的概念、计算及定积分,考法例析 成就能力,【答案】,y,2x,考点一 导数的概念、计算及定积分,考法,2,导数几何意义的,应用,例,2,、,课标全国,201813,曲线,y,2ln(x,1),在点,(0,，,0),处的切线方程为,_,【解析】由,y,2ln(x,1),知,，,y,|,x,0,2.,切线方程为,y,2x.,考法,2,导数几何意义的,应用,例,3,、,课标全国,201615,已知,f(x),为偶函数，当,x,0,时，,f(x),ln,(,x),3x,，则曲线,y,f(x),在点,(1,，,3),处的切线方程是,_,【解析】设,x0,，则,x0(,或,f(x)0,，右侧,f,(x)0,，那么,f(x,0,),是函数,f(x),的,极大值,；,(2)f(x,0,),0,，如果在,x,0,附近的左侧,f(x)0,，那么,f(x,0,),是函数,f(x),的,极小值,.,(,1),极值反映了函数在某一点附近的函数值大小情况，只要在一个小区域内成立即可，刻画的是函数的局部性质,(2),函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点,(3),函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值如图，函数,y,f(x),的极大值,f(x,1,),小于极小值,f(x,4,),考点二 导数的应用,(4),如果函数,f(x),在,a,，,b,上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地，当函数,f(x),在,a,，,b,上的图像连续且,f(x),有有限个极值点时，函数,f(x),在,a,，,b,内的极大值点、极小值点是交替出现的,考点二 导数的应用,3,函数的最,值,考点二 导数的应用,闭区间,a,，,b,上的连续函数,f(x),必有最大值与最小值，其求解步骤如下：,(1),求出函数,f(x),在,(a,，,b),内的极值；,(2),将,f(x),的各极值与,f(a),，,f(b),比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,此性质包括两个条件：,给定函数的区间必须是,闭区间,，也就是说函数,f(x),在开区间上虽然连续，但不能保证有最大值与最小值例如函数,f(x),1/x,在,(0,，,),内连续，但没有最大值与最小值,在闭区间上的每一点处,必须连续,，即在闭区间上有间断点亦不能保证,f(x),有最大值,与,最小值,例如,有最小值,0,，无最大值,.,考点二 导数的应用,4,函数的最值与极值的区别与,联系,(1),函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域,(,某个闭子区间,),上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性,(2),函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有,唯一性,；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有,(3),极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得，函数有极值时不一定有最值，有最值时也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值,考点二 导数的应用,1,利用导数研究函数的单调性,例,1,、,求,下列函数的单调区间：,(1)f(x),x,4,2x,2,6,；,(2)f(x),2x,3,3x,2,12x,1.,【分析】判断函数的单调性,，,一般先求函数的定义域,，,然后求函数的导数并判断其符号,【解】,(1)f(x),4x,3,4x,4x(x,1)(x,1),，,令,f(x)0,，得,1x1,，,函数,f(x),的单调递增区间为,(,1,，,0),和,(1,，,),；,令,f(x)0,，得,x,1,或,0 xg(x),，可以构造函数,F(x),f(x),g(x),，通过,F(x),判断函数的单调性与最值，得出,F(x)0,，从而证明不等关系,(2),在既含,f(x),又含,f(x),的不等式中，构造辅助函数把不等式问题转化为利用导数求解函数单调性或最值问题是解此类题型的关键，常见的构造形式有,F(x),xf(x),，,，,F(x),f(x)g(x),，,等,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,【解析】构造函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),因为当,x,0,时，,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,)0,，所以当,x,0,时，,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,)0,，所以函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),在,(,，,0),上单调递增又因为,f,(,x,),，,g,(,x,),分别是定义在,R,上的奇函数和偶函数，所以,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),是奇函数，所以函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),在,(0,，,),上单调递增又因为,g,(3),0,，所以,g,(,3),g,(3),0,，所以,F,(3),F,(,3),0,，所以不等式,f,(,x,),g,(,x,)0,的解集是,(,，,3)(0,，,3),【答案】,D,考点二 导数的应用,方法,6,已知函数单调性、极值或最值,求参数的值,(,或取值范围,),(1),已知,f(x),在区间,D,上是单调函数，求,f(x),中参数的取值范围常用,分离参数法,：通常将,f(x)0(,或,f(x)0),的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围特别地，若,f(x),为二次函数，可以由,f(x)0(,或,f(x)0),恒成立求出参数的取值范围,(2),已知函数的极值求参数时，通常利用函数的导数在,极值点,处的取值等于零来建立关于参数的方程需注意的是，必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件,(3),已知函数的最值求参数时，一般先求出,最值,，利用待定系数法求解,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,【解】,(1)f(x),x,2,2x,，,x,R,，,令,f,(,x,),0,，解得,x,2,或,x,0,，,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,方法,7,利用导数求不等式恒成立问题,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,方法,8,实际问题中的最优化问题,在求有关实际问题的最优化时，要按如下原则进行,：,(1),设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系式,；,(2),确定函数关系式中自变量的定义区间,；,(3),所得出的结果要符合问题的实际意义,.,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考法例析 成就能力,从近五年的考查情况来看，本考点一直是高考的重点和难点一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，一般出现在选择题、填空题的后两题以及解答题的第,21,题中，难度较大,考点二 导数的应用,考法,1,利用导数研究函数的单调性,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考法,2,利用导数判断函数图像,例,2,浙江,20177,函数,y,f(x),的导函数,y,f(x),的图像如图所示，则函数,y,f(x),的图像可能是,(,),考点二 导数的应用,【解析】由导函数,y,f(x),的图像中函数值的正负可得函数,f(x),先减后增，再减再增，结合,f(x),图像的单调区间可知应选,D,.,【答案】,D,考法,3,利用导数求函数的极值,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考法,4,利用导数求函数的最值,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考法,5,利用导数求函数的零点,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考法,6,利用导数证明不等式,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考法,7,利用导数求解恒成立问题,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,考点二 导数的应用,