哥德巴赫想起(数的整除).ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数的整除,复习策略与试卷浅析,从哥德巴赫说起,200,多年前，德国数学家哥德巴赫根据他的发现，提出数学猜想：每一个大于,2,的偶数都可写成两个素数的和。,数的整除属于数论范畴之一，内容虽不多，却是数学的精髓。,1,、研究整除特性，可以提高教师的数学涵养，提升教师的数学品位。,研究意义,2,、回顾整除知识，可以促进学生抽象思维的发展，提高解决问题的能力。,整除知识安排在小学数学,五年级下册,教材,中,，它不仅对整数以及相关的计算进行了概括和整理，可以进一步扩展学生对整数的认识；而且，数的整除直接为学习分数概念、分数计算等作准备，发展学生的抽象思维；为学生将来学习因式分解等代数知识创造条件。,因此对“数的整除”的复习是使学生进一步理解、掌握、巩固和运用所学知识的系统化过程，是小学数学教学中的重中之重。,一、复习内容：,1,因数和倍数,2.2,、,5,、,3,的倍数的特征,3.,质数与合数,4.,公因数与最大公因数,5.,公倍数与最小公倍数,1.,因数与倍数,（,1,）因数和倍数的概念：,浙教版：用,ab,n,（,a,、,b,、,c,都是不为,0,的整数）表示,a,能被,b,整除，此时,a,是,b,的倍数，,b,是,a,的约数（即因数）。,人教版：,用,ab=n,直接引出因数和倍数的概念，没有涉及整除、除尽的知识。,虽然不出现“整除”一词，但本质上仍是以整除为基础。因此，复习时应让学生了解“整除与除尽”知识。,（,2,）一个数的因数,求一个数的因数：,用不同的方法求出数,n,的因数,列出积是,n,的乘法算式或列出被除数是,n,的除法算式，应引导学生有序思考。,一个数的因数的特点：,一个数的最大因数是其自身，最小因数是,1,。,一个数的因数个数是有限的。,教材通过不完全归纳法得出因数特点，体现了从具体到一般的思路。,求一个数的倍数：,用该数乘任一非,0,自然数，所得的积都是该数的倍数。,一个数的倍数的特点：,一个数的最小倍数是其自身，一个数没有最大的倍数。,一个数的倍数个数是无限的。,（,3,）一个数的倍数,2,2,、,5,、,3,的倍数的特征,因为,2,、,5,的倍数的特征在个位上就体现出来了，而,3,的倍数涉及到各数位上的数字之和，较为复杂，因此对,3,的倍数的特征应有所侧重。,本部分内容对于熟练掌握约分、通分、分数的四则运算有很重要的作用。,（,1,）,2,的倍数的特征,2,的倍数的特征,个位上是,0,、,2,、,4,、,6,、,8,的数，都是,2,的倍数。,奇数和偶数的概念,2,的倍数，即偶数；不是,2,的倍数的数，即奇数。,自然数按是否是,2,的倍数分，可分为偶数与奇数两大类。,（,2,）,5,的倍数的特征,5,的倍数的特征,个位上是,0,或,5,的数，都是,5,的倍数。,既是,2,的倍数又是,5,的倍数的特征,个位上是,0,的数，是,2,、,5,的公倍数。,（,3,）,3,的倍数的特征,一个数的各位数字之和是,3,的倍数，这个数也是,3,的倍数。,3,质数和合数,按因数个数分，自然数可分成三类：,1,、质数、合数。,1,：只有一个因数；,质数：只有,1,和它本身两个因数。,合数：除了,1,和它本身，还有其它因数。,知道,100,以内的质数，熟悉,20,以内的质数。,会用短除法将合数分解质因数。,4.,公因数与最大公因数,（,1,）公因数、最大公因数的概念,（,2,）最大公因数的求法,分别列出两个数的所有因数，再找公因数与最大公因数。,用分解质因数的方法求最大公因数的方法。,两类特殊数的最大公因数：两数存在因数和倍数的关系，两数互质。,了解互质数。,5.,公倍数与最小公倍数,（,1,）公倍数、最小公倍数的概念：,（,2,）最小公倍数的求法,分别列出两个数的倍数，再找公倍数与最小公倍数。,利用短除法求最小公倍数。,两类特殊数的最小公倍数：两数存在因数和倍数的关系，两数互质。,二、知识框架：,三、复习目标：,1.,使学生理解与区分因数和倍数、质数与合数、奇数与偶数、最大公因数与最小公倍数、质因数与互质数等概念的意义,；,掌握,能被,2,、,3,、,5,整除的数的特征；,掌握,分解质因数、求最大公约数、最小公倍数的方法。,2.,培养学生独立解决问题的能力。,3.,宏扬数学文化，激励学生勇于克服困难，培养积极探索的数学精神。,四、设计意图：,1.,填空：,进行系统性的复习与整理。,2.,选择：,区分概念，发展、渗透数论知识。,3.,综合应用：,巩固数学方法。,4.,解决问题：,回归生活，解决生活中的问题。,（,一）填空题,1,、式子,43=1.333,表示,4,不能被,3,（）；式子,84=2,表示,8,能被,4,（）。,复习目标：,理解整除、除尽的意义；懂得整除与除尽的从属关系。,2,、当,a,、,b,都是非零整数时，若,ab,=c,，则,a,、,b,是,c,的（），,c,是,a,、,b,的（）。,复习目标：,理解因数、公因数、倍数、公倍数的意义。,注意：,1,、,a,、,b,是,c,的因数，而非公因数；,2,、,c,是,a,、,b,的公倍数，而非倍数。,3,、,36,的因数有（），它的因数（）。,复习目标：,会用穷举法求一个数的因数个数，知道一个数的因数个数是有限的，最大因数是它本身，最小因数是,1,等。,同时也要对一个数的倍数的个数进行复习。,4,、自然数按照因数的个数来分，可以分为（）、（）和（）三大类；而根据（）来分，可以分为奇数、偶数两大类。,复习目标：,知道自然数可按不同的标准进行分类，按不同的标准分类产生不同的数,1,、质数、合数；奇数、偶数。,5,、质数 偶数 奇数 质数 合数,18,（）（）（）（）（）,26,复习目标：,理解质数、合数、奇数、偶数的意义。,从按一定标准分类，到各种数的产生，按一定的脉络复习数学知识，比单个、零散地呈现要有效得多。,6,、在,6,、,14,、,15,、,32,、,45,、,60,这六个数中，,3,的倍数有（）；含有因数,5,的数有（）；既是,2,的倍数又是,3,的倍数的数有（）；同时是,2,、,5,、,3,倍数的数有（）。,复习目标：,掌握,2,、,5,、,3,的倍数的特征，并能根据 特征进行判别。,7,、一个数的最小倍数是,42,，这个数是（），把它分解质因数是（）。,复习目标：,懂得一个数的最小倍数就是它本身，理解质因数的意义，能将合数分解质因数。,8,、最大公因数为（）的两个数，称为互质数。如（）和（）、（）和（）等。,复习目标：,理解互质数的意义，知道,1,和任何自然数、相邻两个自然数、两个不同质数一定是互质数，而质数与合数、合数与合数可能是互质数。,互质数是产生最简分数的基础，要与质因数进行区分。,9,、明明把一张长,24cm,、,宽,18cm,的长方形纸板剪成一些面积相等的正方形而没有剩余，那么每个正方形的边长是（）厘米，他至少可以剪出（）个这样的正方形。,复习目标：,理解公因数、最大公因数的意义。,教师可引导学生通过画图分割去推断出边长最长值（最大公因数）。,10,、一次数学竞赛，结果参赛学生 中获得一等奖，获得二等奖，获得三等奖，其余是纪念奖，参加竞赛的至少有（）名同学。,复习目标：,理解公倍数、最小公倍数的意义。,教师可引导学生获得一、二、三等奖的学生分别是该班学生除以,7,、,3,、,2,得到的商（整数个），由此推断该班学生一定是,7,、,3,、,2,的最小公倍数。,该题具有隐蔽条件（整数人），还需将分数转化成除法从整除的意义入手去思考。,小结：,填空题，从除尽与整除，因数与倍数；质数与合数，奇数与偶数；互质数与质因数；到最大公因数与最小公倍数，按知识体系有序地呈现，凸显出整除单元的网络构造。,这样复习，能有效地让学生重建与完善知识系统，形成更完整的整除观念。,（二）选择：,2,、整数,a,的所有因数为,1,、,2,、,3,、,4,、,6,、,a,，,它的最小倍数（）。,A,、,是,1 B,、,可能是,6,C,、,一定是,a D,、,可能是,6,或,a,分析：,该题应从倍数的外延去考虑,一个数的最小倍数是它本身，则应选,C,。,4,、,1,、,4,、,9,、,16,、,25,、,36,称为平方数，它们的因数个数有（）个。,A,、,奇数,B,、,偶数,C,、,合数,D,、,质数,分析：,该题介绍了完全平方数的数论知识,，,探讨了平方数与非平方数的本质区别,平方数因数个数有奇数个。,我们应引导学生用不完全归纳法去寻找规律：,5,、将分数 通过约分，得到一个最简分数 ，其中没有涉及（）的知识。,A,、,最大公因数,B,、,最小公倍数,C,、,短除法,D,、,分数的基本性质,分析：,从约分的角度分析，它的基础是最大公因数，而求两个数的最大公因数要用到短除法；另一种思路是从分子、分母同时缩小,12,倍，想到分数的基本性质（教师同时可复习比的基本性质、商不变的性质）。,该题通过排除，得出正确结论：,B,。,7,、,m,和,n,是非零自然数，,m,n,1,，,那么,m,，,n,的最大公因数是（）,A,、,1 B,、,mn,C,、,m D,、,n,分析：,该题从减法的角度，得出两个相邻的自然数为互质数,，,则最大公因数为,1,。,教师可以改编该题，让学生进行以下辨析：,9,、哥德巴赫猜想是数论中存在最久的未解问题之一。其陈述为：任一大于,2,的偶数，都可表示成两个质数的和。根据哥德巴赫猜想，,24,表示成两个质数之和有（）种方式。,A,、,2 B,、,3 C,、,4 D,、,5,分析：,教师可通过介绍哥德巴赫猜想与陈景润领先世界的研究，激起学生探究数学未解之谜的欲望；并激发中国人的自豪感。,该题要引导学生拆数、列举，去得出正确结论。,12,、下列四组数中，与众不同的一组数是（）。,A,、,12,和,18,B,、,16,和,48,C,、,72,与,39,D,、,21,和,51,分析：,该题主要复习能被,3,整除的数的特征。学生会发现,A,、,C,、,D,的两个数都具有因数,3,，而,B,没有，所以,B,与众不同。,如果 把,C,改成,12,与,6,，则该题具有开放性，你会怎样选呢？,A、30cm30cm B、40cm40cm,C、50cm50cm D、60cm60cm,13,、小丽家的客厅（如右图）要铺地砖，（）规格的地砖铺地节约且完整，请你帮她选择。,分析：,该题考查最大公因数的知识。要引导学生从理解“节约且完整”的意思入手，体会“最大与公约”的意义。,19,、下列关于合数的说法中，正确的有（）句。,A,是大于,2,的偶数，它一定是合数。,任何一个合数的因数中，至少有一个是质数。,如果整数,s,能分解质因数,s=abc,，,那么,s,一定是合数。,两个合数的最大公因数不可能是,1,。,A,、,1,句,B,、,2,句,C,、,3,句,D,、,4,句,分析：,该种题型其实是四合一的判断题，因为难以使用排除法，所以错误率非常高。错因是学生的知识系统不具全面性。,因此，我们只能从概念之间的联系与区别去逐个探讨，再进行选择。,20,、古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如,6,有四个因数，,1,，,2,，,3,，,6,，除本身,6,以外，还有,1,，,2,，,3,三个因数。,6,1,2,3,，恰好是所有因数之和，所以,6,就是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（）,A,、,28 B,、,12 C,、,36 D,、,48,分析：,与第,4,、,9,题一样，介绍数论中的“完全数”。然后让学生通过列举与计算来选择正确的答案。,由于填空题打下了一定的基础，所以在选择题中将知识进行了拓展。具体策略为：与分数、除法、比、可能性等知识相联系，体现知识的综合性；结合列举法、找规律、操作等方法，体现了一定的数学思想；介绍平方数、完全数、哥德巴赫猜想，渗透了数论中相关研究，激励学生在数学的长河里勇于跋涉。,小结：,（三）综合应用：,易错点：,1,、理解奇合数的意义。,2,、懂得与,18,互质的数有无数个，并非是,18,的因数。,4,、求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。,5,和,8 24,和,32 14,、,28,和,42,注意点：,1,、能直接判断的应让学生直接得出最大公因数与最小公倍数。,2,、应从集合（交集、并集）的角度让学生去列举；或者使用短除法去求几个数的 最小公倍数与最大公因数。,（四）解决问题：,2,、,20,张卡片上分别写了,120,这二十个数字。你觉得这,20,张卡片可以按照怎样的标准来分分类呢？你是怎样分的？,分析：,该题具有开放性，教师可引导学生从能否被,2,整除；按因数的个数；按位数；按数字和是否,3,的倍数等多种标准去分类。,可采用画表法来简化解题过程。,分析：,该题考查学生观察、审题、分析的能力。应与最大公因数、植树问题建立起联系。,解：（,120,，,160,）,=40,米,（,120,160,）,40,1=8,盏,（五）我来闯关：,分析：,选择题第,13,题是根据房间的长宽选地砖，该题根据地砖选房间，则要从各个房间的长、宽的公因数入手去思考。,解：能铺满“浴卫”间地面，因为,30,厘米是,150,厘米与,300,厘米的公因数。,（,150300,）,（,3030,）,=50,块,2,、先计算再寻找规律：,（,6,，,4,）,=6,，,4=,（,6,，,4,）,6,，,464,（,9,，,12,）,=9,，,12=,（,9,，,12,）,9,，,12912,（,10,，,25,）,=10,，,25=,（,10,，,25,）,10,，,251025,通过以上的计算我发现,。,我能根据上面的发现解决问题：,小军与小玲比捐款钱数，他俩捐款钱数的最大公因数是,15,，最小公倍数是,150,，小军的捐款,30,元，小玲捐款多少元？,分析：,通过计算，可以发现规律,“,两个数的积等于它们最小公倍数与最大公因数的乘积。”再根据规律去解决问题。,解：,1515030=75,元,总结：,数的整除是一门相对独立的数学分支。仅仅一些数的概念，就已足够让学生头疼的了，可见其抽象性。正因为此，所以人教版教材中大量使用列举法，不出现短除法，还把最大公因数、最小公倍数的知识置于分数的学习中。这些都是降低难度，尽量让学生在理解的基础上去掌握知识的实质性举措。但事实上，我们在掌握了列举法之后，总觉得书本上的方法太肤浅，远远不能满足实际的需要，所以大家还会教给学生运用短除法分解质因数、求最大公因数与最小公倍数的知识。方法上是这样，数学思想上如此，我们所编拟的试题也是如此，也应遵循学生的需要、时代的需求，在学习中发展，在发展中提高。,谢谢您的聆听！,