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高等数学A（下） 课程考试试题参考解答
一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内．
1. 函数的全微分【 C 】．
　　　　　　　(A)　 ； 　　　　 (B) ；
(C)　 ；　 　　　　 (D) ．
2. 球面在点处的切平面方程是【 D 】．
(A)　 ； (B) ；
(C)　 ；　 (D) ．
3. 设区域，二重积分【 B 】．
(A)　 ； (B) ；
(C)　 ；　 (D) ．
4. 级数的敛散性为【 A 】．
(A)　 条件收敛； (B) 绝对收敛；
(C)　 发散；　 (D) 其它选项都不对．
5. 曲线在点处的切线对于轴的倾角为【 C 】．
(A)　 ； (B) ；
(C)　 ；　 (D) ．

二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上．
1. = 4 .
2. 设是圆周，曲线积分= .
3. 设可以展开为正弦级数，此正弦级数在处收敛于 1 .
解 由于是的连续点，则的正弦级数在收敛于．
4. 微分方程的通解为 .
5. 函数在点处的梯度为 .

三．（满分10分）设，求和（其中具有二阶连续偏导数）.
解

四. （满分10分）计算曲线积分，其中为圆周的正向.
解
，，由格林公式，得

.

五．（满分10分）试将函数展成的幂级数，（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。
解：
因为
则 ，
将上式两端逐项积分，得

六．（满分12分）计算曲面积分，
其中是上半球面的上侧.
解 添加辅助曲面：取下侧，使构成封闭曲面，记所围成的空间闭区域为，由高斯公式, 得，

，

七. （满分12分）设是一个连续函数，且满足，求。
解 由已知条件得微分方程初值问题

方程的通解是

由初值条件得
所以

八. （满分10分）某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用（万元）及报纸广告费用（万元）有如下关系：
，
（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；
（2）如果提供的广告费用为1.5万元，求相应的广告策略。
解 （1）设
，
（或）
令 （或）
解得 为唯一的驻点。 （或）
（万元）。
当电台广告费用与报纸广告费用分别为0.75万元和1.25万元时，最大利润为39.25（万元），此时为最佳广告策略。

（2）求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为在条件下，的最大值。
令
，
由
解得， 这是唯一的驻点，又由题意一定存在最大值，故
（万元）为最大值。

九. （满分6分） 设在内有连续二阶导数，，且二元函数
满足 求.
解 （1）设，由复合函数求导法则

同理
代入方程有 又
，
于是
(2)解初值问题
这是可降阶的二阶线性变系数微分方程. 方程两边乘以并积分，利用初始条件得
，
所以，
（3）由
所以，