高数下试题及答案.doc

高等数学A（下） 课程考试试题参考解答一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内1. 函数的全微分【 C 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) 2. 球面在点处的切平面方程是【 D 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) 3. 设区域，二重积分【 B 】(A) ； (B) ；(C) ； (D) 4. 级数的敛散性为【 A 】(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 其它选项都不对5. 曲线在点处的切线对于轴的倾角为【 C 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) 二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上 1. = 4 .2. 设是圆周，曲线积分= . 3. 设可以展开为正弦级数，此正弦级数在处收敛于 1 . 解 由于是的连续点，则的正弦级数在收敛于4. 微分方程的通解为 . 5. 函数在点处的梯度为 . 三（满分10分）设，求和（其中具有二阶连续偏导数）.解 四. （满分10分）计算曲线积分，其中为圆周的正向.解 ，由格林公式，得 . 五（满分10分）试将函数展成的幂级数，（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。 解： 因为 则 ， 将上式两端逐项积分，得 六（满分12分）计算曲面积分，其中是上半球面的上侧.解 添加辅助曲面：取下侧，使构成封闭曲面，记所围成的空间闭区域为，由高斯公式, 得， ， 七. （满分12分）设是一个连续函数，且满足，求。解 由已知条件得微分方程初值问题 方程的通解是 由初值条件得 所以 八. （满分10分）某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用（万元）及报纸广告费用（万元）有如下关系： ，（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；（2）如果提供的广告费用为1.5万元，求相应的广告策略。解 （1）设，（或）令 （或）解得 为唯一的驻点。 （或）（万元）。当电台广告费用与报纸广告费用分别为0.75万元和1.25万元时，最大利润为39.25（万元），此时为最佳广告策略。 （2）求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为在条件下，的最大值。令 ，由 解得， 这是唯一的驻点，又由题意一定存在最大值，故（万元）为最大值。 九. （满分6分） 设在内有连续二阶导数，且二元函数 满足 求.解 （1）设，由复合函数求导法则 同理 代入方程有 又 ，于是 (2)解初值问题 这是可降阶的二阶线性变系数微分方程. 方程两边乘以并积分，利用初始条件得 ， 所以， （3）由 所以，