弹性理论基础.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,我是一个有责任感的人,在我出生时，我曾是一个赤裸的婴儿，没有父母的哺养，我无法活下来。我之所以能得以成长，正是他人尽社会责任的结果。我自己也是人类的一员，我是生物进化链条上的一环，因此，我必须尽我自己应尽的责任。我生而为人，就是有使命的，我来到这个世界，是有责任的。我从今天开始，我要对自己负责，我对自己的情绪负责，我要积极热情乐观，我对自己的行为负责。我做事认真，行为正直，我对自己的思想负责，学会正确地思考问题。我对自己的言谈举止负责，我说话得体，举止大方。我对自己的态度负责，我待人亲切平和，我对自己的生命负全责，我是一个有责任感的人。我对自己的父母负责，我要努力奋斗，我要追求成功，让我的父母以我为骄傲，以我为自豪。,我要对我所爱的人负责，我要对我的所有家人负责,，我要对我的朋友负责，我要对我的集体负责，我要对我所做的任何事情负责！,地震波理论,弹性波理论,地震波动力学,189-7150-1521,，,QQ,：,97688628,，物探楼,215,前 言,地震波理论课程的主要内容如下：,1,、弹性理论基础；,2,、弹性动力学中的基本波；,3,、波动方程的积分解；,4,、分层介质中弹性波的传播；,6,、实际介质近似模型波动方程及其解；,7,、各向异性介质中的地震波理论；,8,、地震波在饱和流体多孔介质中的传播,。,5,、弹性动力学中的积分变换方法,第四部 波动方程数值解法,平时成绩占总评成绩的,40%,学生在学习本课程时要注意手脑并用，既要理解问题的物理意义、又要学习数学推导过程。通过本课程的学习，可以提高地球物理专业理论水平，为进一步深造打下基础。,课程内容以,地震波动力学理论与方法,教材为准，希望同学们提前预习。,预备知识简介,地震波动力学是地震勘探的理论基础。,地震勘探的深度划分：浅层、中深层、深部。,地震勘探的对象：地下地质结构、构造、物性。,地震勘探的震源：主动源和被动源。,地震勘探的数据采集：一般都在地表接收波动。震源与各个接收点之间的几何关系称为观测系统。,一个接收点（道）的波动是什么样子？,为什么要布置多个接收点（道）？,正演数值模拟与物理模拟，反演。,地震波的动力学和运动学之间的关系。,简单的应用举例,共炮点地震记录,地面初至层析成像,瑞雷面波“层析成像”,搅拌桩质量检测,地底下有什么？,瑞雷面波“层析成像”,叠前偏移剖面（大港油田千米桥）,地震相特征：南部朵体依次向东迁移,SW,NE,剥蚀,第一章 弹性理论基础,应变,当一个物体受到外力作用，在它的内部质点间发生位置的相对变化，从而使其形状改变，称为应变。,应力,处于应变状态的物体，为保持其平衡状态，在内部质点间产生内力的作用，称为应力。,自然界中物体的划分,根据它们对外力作用的反应划分为：,刚 体,在外力作用下发生平移或转动，并可沿力的作用方向传递力的作用的物体。,弹性体,当外力作用取消后，物休的应力、应变状态立刻消失，并恢复原有的形状的物体称为弹性体。,塑性体,当外力作用停止后，物体逐渐恢复其原有形状，或不能完全恢复其原有形状，而保留一定的变形物体，称为塑性体或不完全弹性体。,地震勘探方法是研究人工激发的机械振动在地球介质中的传播规律，推断地下地质结构的。,地震波,在地球介质中传播的机械振动。,地震震源作用，给地球介质岩层施加外力，使之发生变形，该形变与震源作用力的大小和作用时间、岩石的性质有关。,一般说，,远离震源处,，震源,作用力微小,，作用时间短暂，一些特殊岩相除外,(,如干沙,),，岩石表现为,弹性体,。因此，在岩石中产生的机械振动可以看成是弹性介质中的,弹性振动,。地震波可以看成是在岩层中传播的,弹性波,。,弹性理论的基本假设,构成弹性体的物质应是,连续的,。,物质具有理想的弹性性质，在荷载和卸载时,不发生能量的吸收,。,处于应力应变状态的物体，其,应力与应变成比例关系,。,弹性理论通常限于讨论均匀、,各向同性,、,完全弹性介质,。,1-1,应力分析,作用力可以施加于物体表面，称为面力；也可以施加于物体每一个体积元，称为体力。如流体对物体表面的压力是面力；万有引力、向心力等是体力。,应力是一种内力，是与外力相平衡的作用力，是对外力作用的反应。内力作用是分布在物体内部任一截面上，沿截面物体两部分相互接触而发生力的作用，所以它是一种面力、接触力。,作用于单位截面积上的内力，称为应力。,一 应力及其分量,为了分析物体应力状态，将在外力作用下处于应力应变状态的弹性体沿着任意选取的截面,S,分为,A,和,B,两部分。将部分,A,和作用于该部分的外力一起移走，则为了保持,B,部分原有的应力应变状态，在,S,截面上表现出了面力作用,P,。这个作用力代替,A,对,B,的作用，是存在于物体内部、决定了物体分割前应力应变状态的内力。物体在施加的外力和所产生的内力作用下处于平衡状态。如图,1,1,所示。,在截面,S,上取面积元,dS,，其法线方向为,n,。分布于,dS,上的内力，用作用于中心点,O,上的集中力,dP,代替，比值,称为,dS,上的应力。应力向量 的下标,n,表示应力作用截面的法线方向，不是应力作用方向,。,应力向量的大小和方向决定于面积元中心点,O,在物体内部的位置和面积元法线的空间方向。,物体在一点上的应力状态不能用一个应力向量来完全表达。,应力向量 的分解,在笛卡尔直角坐标系中，它可沿,x,y,z,轴分解，其分量表示为,。,此外，应力作用截面也可以向坐标面投影，即任意一截面法线方向,n,可以投影在,x,y,z,轴上。,垂直于坐标轴,x,，,y,，,z,的三个截面上的应力向量,，可以用来表示物体内过一点在任意截面,n,上作用的应力向量。,在弹性体内沿与坐标面平行方向取一个平行六面体。在图中的三个侧面上分别将作用于不同面的应力向量 沿坐标轴方向分解。,分解为,正应力,下标相同的应力分量，其作用方向与作用截面垂直，称为正应力，用 表示，,，,切应力,应力分量下标不相同，作用方向在作用截面上的应力，称为切应力，通常用 表示。,应力向量各分量符号的选择与坐标轴方向选择有关。如果截面外法线与相应的坐标轴方向重合，则应力向量的分量沿坐标轴方向取正，若截面外法线方向与相应的坐标轴方向相反，则应力向量分量沿坐标轴方向为负。,正向正应力为拉伸力，负向正应力为压缩力。,二、过一点的不同截面上,作用的应力之间的联系,取如图所示的四面体积元。垂直于坐标轴 的三个侧面表为 。第四个倾斜侧面为 。,外法线方向,n,是一个单位向量。其在空间的方向用方向余弦 表示。,则有：,表示 在空间的方向 ，,为坐标轴 正方向单位向量。当 为物体内任意截面时，可用作用于四面体三个侧面 上的应力向量 或其分量来表示作用于 上的应力向量 。,因此弹性体内一点的应力状态可以完全由作用于垂直坐标轴方向的三个截面上的应力向量或其分量所确定,。,若所讨论的四面体不平移、不旋转，即处于静力平衡状态，则作用于四面体的合力等于零。,四面体的（力）平衡方程为,由于 三个侧面外法线为,x,y,z,轴的负方向，所以,三个侧面积与 的关系是：,代入四面体平衡方程得：,应力分量用其分量表示为：,柯西公式,综合以上得关系式，并以应力分量表示，,可得,柯西公式,：,它表明，在过一点的任意截面上作用的应力向量分量可以用作用于垂直坐标轴的三个截面上的应力向量分量来表示。,切应力互等原理,用力矩平衡原理可得切应力互等原理,：,这说明在表示弹性体内一点应力状态的九个应力分量中只有六个是独立的,.,三、应力张量,一点的应力状态决定于应力张量,。为了说明应力张量的意义，我们讨论坐标系,xyz,旋转时，应力向量的分量变换。,按照坐标系旋转时坐标变换关系，我们用原坐标系中的应力分量表示新坐标系中的应力分量,首先取垂直新坐标轴之一，如 的微面积元，作用于该面积元上的应力向量为 ，根据柯西公式可以写出 在原坐标系 中应力分量,应力向量 在新坐标系中的某一坐标轴如 上的投影等于 在原坐标系中各分量在这个坐标轴 上投影之和：,将分量 的表达式带入上式 得到：,同理可得到应力向量在新坐标系中的九个分量表达式。,其中规定对表达式中重复出现的下标要求求和，这个过程是显而易见的。,应力九个分量的总合称为应力张量。,若已知某个坐标系下的,9,个应力分量以及新坐标系与原坐标系的几何关系，则可以用原坐标系的,9,个应力分量计算得到新坐标系的,9,个应力分量,四、主应力,在过弹性体内一点其法线方向为任意的截面上作用的应力，一般情况下可以分解为正应力和切应力。但是，我们可以从过一点的任意截面内找出一个特殊的截面，,它的法线方向与作用于该截面上的应力方向重合、或者说，在这个截面上只作用着正应力。,确定这个截面的方向，并用作用在垂直于坐标轴的截面上的应力分量表示这个正应力的大小。,设待求截面的法线为,n,，应力向量 它在,x,y,z,坐标上的投影为：,将此式代入柯西,(,什,),公式有,(P4),此方程有解的条件是其系数矩阵行列式等于零：,将上式展开后可得：,其中,:,三次方程有三个根 称为主应力。,处于应力状态下的物体内部每一点上都可找到一组三个相互垂直的截面，在这些截面上只存在着主应力。这样的截面称为主截面。,当主应力不同值时，主截面可以单一地被确定，若三个主应力彼此相等；则主截面方向可以任意选择。,（,两个或三个根相等？）,根据立方方程式的性质，方程系数用它的根表示可有：,是与坐标选择无关，称为应力状态不变量。,主应力的性质,如果 ，在过一点的不同截面上作用的正应力，其最大和最小值是相应的主应力。,如果 ，在过一点的不同截面上作用的应力向量，其绝对值的最大和最小值是相应的主应力。,最大的切应力等于最大和最小的主应力之差的一半（,P7,）。,五、平衡微分方程,在物体内取一个以,dxdydz,为棱的微平行六面体，其体积,dv,为,dv,dxdydz,。如图所示,根据静力平衡条件可以建立,x,轴方向上的平衡方程式：,其中：作用于六面体相对的一对侧面上的应力是不,等的，作用于图面上可见的侧面上的应力分量用带,”,号的符号表示，而作用在相应的不可见侧面上的应力分量用带,号的符号表示。为作用于单位体积的体力。,用应力分量的偏导数来表示，见,P8,的,(1-28),。有平衡微分方程如下,:,1,2,应变分析,物体在外力作用下，其形状和体积发生改变。对弹性体而言，这种形变称为弹性应变。,在应变前，我们设想物体内部一个直线段,ab,，由于外力作用，它将发生弯曲，若将线段,ab,划分为无限小线段，使其在物体应变前和应变状态下都保持直线段形状，则在这个条件限制下线段的变形归结为拉伸或压缩、旋转以及这两种变化的组合。微小直线段在应变过程中保持其直线形状的条件是在一点周围的微分区域内应变保持为一常数。,在地震勘探中为避开震源附近岩石破碎带，总是研究远离震源的微小应变。上述限制条件是满足的。,一、应变张量,为定量描述弹性介质应变状态，我们讨论物体内部包含点 及其邻近区域的,微小区域,。,在 区域内讨论一个直线段,即该线段始于点,M,，止于点,M,1,，长度为,。在应变状态下 点移动到,M,，而,M,1,点移动到,形变结果使线段 变为,;,设点,M,的位移,为一向量。在,xyz,坐标系中的分量为 ，即,点 的位移 ，其相应的投影为,线段 及其投影,决定了 两点位置的相对变 化，也就代表了 区域的弹性应变。,位移是质点坐标的函数，如果,则有,另一方面，,M,点位移可以表示为：,比较前两式得：,显然，这是质点位移函数全微分公式，即相邻质点间位置相对变化可用位移分量的全微分表示。,式中的位移函数的九个偏导数完全决定于所讨论的微小区域的应变状态，,九个位移偏导数总和称为应变张量。,二、位移场的分解,分析弹性体在应变状态下质点的运动形式，取记号,讨论 点位移分量,将它改造得：,或者：,同理可得：,（,1-38,）,取记号：,可有：,由式,(1-38),可以看出处于应力应变状态下的物体其质点位移由三部分组成,:,平动,:u,，,v,，,w,，这是和参考点,M,一起作同样的运动，它不使物体形状改变,;,弹性应变,:e,ij,，,i,j=x,y,z,这是一种使物体形状和体积发生改变的运动，称为弹性应变,.,应变有九个分量，考虑到它的对称性，只有其中六个分量独立的。,e,xx,，,e,yy,，,e,zz,称为正应变，,e,xy,，,e,yz,，,e,zx,称为切应变,;,旋转,:,x,，,y,，,z,这是质点围绕参考点,M,的旋转运动，不使物体形状和体积发生改变，不属弹性应变范畴,.,三、正应变,三、正应变,正应变也称为线应变，表示物体的压缩和拉伸，因此也称之为胀缩应变。沿,x,方向截取一块单元体,AB,，使,设有一个沿,x,方向作用力,F,使物体拉伸，,A,点移动到,位移,为,B,点移动到 位移为 ；,AB,变为,。,物体拉伸后长度为：,物体相对伸长量为：,应变分量 是弹性体沿,x,方向的相对伸长量。若定义伸长为正，则负值表示压缩。,若一个单元体沿 三个方向同时发生拉伸或压缩，则单元体体积将发生变化。体积的相对变化简称体变：,若 ，三个边伸长后各为,:,则有,代入前式，展开并略去高阶微量可得：,其中 为位移向量,u,的三个分量，相对体积变化可表示为位移向量的散度：,切应变也称剪切应变，表示弹性体扭转或体积元侧面角错动。如图,1-9,所示，由弹性体中取一个体积元，考察其侧面 在应变过程中的变化。假定 不动，移至 ，移至 ，显然，；在应变过程中侧面 形状的改变表现为其侧面角度错动。,四、切应变,图,1-9,切应变,侧面积,的侧面角由,变为,，变化量,侧面角变化量为,同理可得,五、单元体的旋转,下式是（,1-38,）式：,我们分析弹性体在应变状态下的旋转运动，它和平动一样，不改变物体的形状。这种运动形式研究,横波,时很重要。,设式,(1,-,38),中的位移分量,(1-46),其中,;,(1-46),是质点,M,1,参考点,M,旋转时的切向位移,V,沿,xyz,三个方向的投影。如图,1-11,所示，,A,为坐标原点，,B,为一动点，其位置由向径,dr,确定。,B,点围绕,AP,轴在,BPB,，,平面内转动,w,为角位移向量。它垂直于转动平面，向上定为正方向。,V,为切向位移，等于角位移向量与向径,dr,的向量积：,根据向量乘积的定义,有,这里说明角位移向量,与位移向量,的关系,如图,1-12,所示。微体积元侧面,MNP,在应变前视为正方体,在应变状态下取形状,MN,P,视为菱形,假设变形前后具有同一对角线,MQ,。设对角线,MQ,沿顺时针方向转动一个角度,或称角位移，这时侧面变为,MN,P,。,用,和,表示角位移 ，可有：,同理可得：,以上三个表达式同方程,(1-37),，已解释了它的物理意义。当单元体各侧面积对角线分别发生转动，则形成了单元体在空间旋转，其角位移向量,为,:,定义算子：,可得,其中为位移向量，可见位移向量的旋度是有单元体旋转角位移的意义，为角位移的两倍值。,(1-50),(1-51),设微体积元 处于应变状态，具有应变分量,；另一微体积元 处于应力状态，具有应力分量 ；可以在 体积元内建立与应变成比例的应变状态：,现在对微体积元 寻找三个主截面方向,1,，,2,，,3,，则有,因此，在 中也将存在切应变为零的三个相互垂直方向。只有拉伸或压缩。,六、主应变,我们确定应变主轴方向和主应变。在应变物体内平行,x,，,y,，,z,轴取一平行六面体，其棱分别为,dx,dy,dz,；假定所取平行六面体的对角线,AA,1,与主轴重合，用,dR,表示，则,A,1,相对,A,的位移向量,du,用主应变,e,n,表示为：,其中,l,R,为,dR,方向的单位向量。位移,du,沿,x,y,z,轴的分量为：,du,各分量又写作：,(,假设无旋转,即,Vx=0,Vy=0,Vz=0,据,1-38,式,),(1-55),(1-56),(1-54),考虑到,dx/dR,，,dy/dR,，,dz/dR,为主轴方向余弦，将式,(1-55),、式,(1-56),合并，移项，可得：,已知方向余弦间存在关系：,由于关系式,(1-58),，三个方向余弦不可能同时为零，则方程组有解的条件是它的系数矩阵行列式等于零,:,(1-57),(1-58),(1-59),将,(1-59),式展开后得到三次方程：,该三次方程有三个根,e,1,，,e,2,，,e,3,称为主应变或应变张量的主值。系数,I,1,、,I,2,、,I,3,分别称为一点上的应变状态第一、第二、第三不变量。,应该指出，应变状态第一不变量具有特别的物理意义。为了说明这一点，我们平行应变状态主轴,1,，,2,，,3,取一个平行六面体，其棱为,dx,dy,dx;,应变前平行六面体体积为,V=dxdydx,，应变状态下变为,:V,=(1+e,1,)dx(1+e,2,)dy(1+e,3,)dz,，略去微量,e,1,e,2,，,e,2,e,3,，,e,1,e,3,，,e,1,e,2,e,3,等项，可有：,(1-60),平行六面体相对体积变化,为：,这样，弹性体一点上的应变状态第一不变量具有简明的物理意义，这就是物体在应变状态下发生的相对体变。,(1-64),1-3,应力与应变的关系,一、广义虎克定律,弹性理论的基本点是假定应力与应变间存在着单值线性关系，称为虎克定律。与式,(1-20),类似，虎克定律可以写作：,广义虎克定律可以展开如下：,(1-65),(1-66),当弹性介质性质具有对称性，存在对称轴或对称面时，描述介质所具有弹性介质的性质依方向不同而异，称为,各向异性介质,。在这种情况下同一个应力分量在不同方向引起不同应变。如果弹性介质的性质在各个方向上都一样，称为各向同性介质。这时为描述介质只需要两个弹性系数。,弹性系数,C,ij,一般是一组常数，从一点到另一点弹性系数不变，此种介质称为均匀介质，若弹性系数,C,ij,是点坐标的函数，则介质称为,不均匀介质,。在地震研究中经常遇到的是均匀,各向同性介质,。,二、均匀各向同性完全弹性介质中应力与应变的关系,1,、正应变与正应力的关系,沿,x,方向对柱体均匀作用一个外力,F,则作用于截面,S,上的应力为,xx,F/S,，其作用方向与截面法线方向重合，在平行于截面的方向上应力为零。,这时物体被拉伸了相对伸长量与应力成正比：,有：,其中,E,称为,杨氏模量,。另一方面，当物体沿一个方向拉伸时，在其它两个垂直方向上，将会发生压缩，称为横向压缩。纵向拉伸与横向压缩之间也存在着比例关系,:,其中,e,yy,和,e,zz,是由于,e,xx,引起的压缩，由于物体具有各向同性性质，所以在,y,，,z,方向上的压缩是一样的。比例系数,是称为,泊松比,。,(1-68),(1-67),同理，另外两个方向也存在如下关系式,(1-69),一般情况下,在每个方向上既发生纵向伸长,也发生横向压缩。若定义伸长为正,压缩为负,则可写出如下关系式,:,由于物体在各个方向上同时发生了线度变化，则体积随之改变。相对体变,为,;,或者可以写作：,(1-71),(1-70),2,、用应变表达应力,其中令：,其中,，,称为拉梅系数,，式,(1-72),可以改写为：,(1-72),(1-73),(1-74),3,、切应力与切应变的关系,如图,1-15,所示，在弹性体内截取一个立方体形状的单元体，单元体侧面角错动量，即切应变，和与它相平衡的切应力成正比，比例系数是,，又称为,剪切模量,.,(1-75),K,称为周围压缩模量,。关系式（,1-76,）表示单元体在胀缩应变状态下，相对体变与周围压力成正比。,4,、周围压缩模量,如果单元体表面受力大小相等，且作用力相对中心点对称其作用方向相反，等于一个常数，我们说它受到一个周围压力。根据周围压力符号不同，单元体将发生膨胀或压缩。设周围压力为,P,，则有,:,根据式,(1-74),有：,所以,(1-76),(1-77),5,、均匀各向同性介质中虎克定律表达式,其中,弹性系数只有两个是独立的,即,和,；而,C,11,C,12,2C,44,不是独立的系数。,(1-78),依据,(1-74),和,(1-75),表1-1,弹性常数之间的转换关系,P,21,，,表,1-1,中每行的各列值相同。,如果能用介质的,纵波、横波速度及密度,，计算出其中的某一两个弹性常数，其它的可以根据表中的关系式计算出来。这些弹性常数是实际工程中人们最关心的。,6,、弹性常数之间的关系,根据特殊地质情况，这里只考虑纵向各向异性，不考虑横向。同学们看书，,假设合理吗？,三、各向异性介质,根据,P21,(1-82),式,四、弹性势能,弹性体在应变过程中应力对它作功，使之积蓄一定的弹性势能。当外力作用取消后，弹性体对外作功，势能转化为动能，引起物体运动，使它恢复原有的形状。,设想如图,1-14,所示的圈柱状弹性体，截面积为,S,长为,l,沿,x,方向伸长,.,正应变为,e,xx,，弹性体伸长量为,e,xx,l,；正应力为,xx,作用于截面,S,上的内力为,xx,S,;,设在应变过程中应力对应变变化,d e,xx,所做的功为,dA,，它等于作用力与位移的乘积：,(1-84),根据虎克定律用应变,e,xx,表示应力，可有,xx,Ee,xx,。将,xx,代入式,(1-84),，求积分可得在全部应变过程中应力所作的功,:,(1-85),它等于弹性体在应变状态下的势能，称为弹性应变势能。,对每一对应力应变分量，弹性势能密度为 。总的弹性势能密度为：,（,1-86,）,单位体积物体所具有的能量称为能量密度。,1-4,弹性介质运动平衡方程式,一、弹性介质的运动平衡,首先要定义质点的位置,即位置向量，,x,y,z,是,r,在直角坐标系中的投影或者质点位置坐标；其次要,定义质点的位移,u=u(r,t),它是质点位置坐标和时间的函数,.,拉格朗日描述法,在直角坐标系中位移向量的,x,y,z,方向上的三个分量分别为,u,v,w;,坐标系为固定坐标系，质点位置在它的静止状态下定义。物体处于应变状态时，质点位置由位移函数,u=u(r,t),来确定。,欧拉描述法,质点位置坐标取在物体处于应变状态时的位置上，其静止状态下位置坐标是应变时的位置坐标和时间的函数。,牛顿第二定律的数学表达式为：,F=ma,，,F,为作用力，,a,为加速度。上式可以写成：,F,ma,0,，其中用,表示一个作用力，称为,惯性力,。,则：,也就是说，一个处于加速运动的物体受到一个惯性力的作用，其大小等于物体质量与加速度的乘积，其方向与加速度方向相反。惯性力与物体所受的其它作用力之合力等于零，则物体处于运动平衡状态。这个原理称为运动学的达兰贝尔原理。对连续介质，我们对截取的体积元使用达兰贝尔原理。可列出运动平衡方程式。,二、弹性介质运动的,应力方程,有：,当弹性介质在应力应变状态下处于运动时，则作用于单元体的面力和体力之合力应与惯性力相平衡,(,依据,1-90,),。,上式称为弹性介质运动平衡微分方程式，它是用应力表示的，又称为运动的应力方程,（,1-93,）,三、运动的,位移方程,考虑,x,分量运动平衡的位移方程（,根据应力与应变,应变与位移关系，,将,1-74,，,1-75,，,1-36,，代入,1-93,）,（,1-96,）,其中第一个圆括号中是位移向量的散度，等于相对体变,，第二个圆括号中是对位移水平分量,u,的拉普拉斯运算，,将以上关系代入（,1-96,）式可得,x,分量的位移方程。同理可以导出对,y,和,z,分量的位移方程。,它们的最终表达式为：,（,1-97,）,将（,1-97,）各式分别乘以单位向量,i,，,j,，,k,，相加后可以得到位移方程的向量形式：,（,1-98,）,其中,u,为位移向量，,F,为体力向量。方程式（,1-98,）决定着弹性介质运动状态，决定着振动在弹性介质中的传播，称为,拉梅方程,。,1-5,弹性介质的机械能,在外力作用下弹性介质处于应变状态，积蓄了一定的弹性势能。当外力取消后，弹性介质质点围绕平衡位置往返振动，,并且不断在介质中传播,，直到恢复原有形状而静止为止。,弹性振动在介质中的传播,就是,弹性波,。,质点在振动过程中发生动能和势能的转化；在平衡位置时动能最大，在最大偏移位置时势能最大。,动能和势能称为,机械能。,一、弹性介质的机械能,对连续介质计算能量，把它归算到单位体积上，称为能量密度。在弹性介质处于运动状态时，应力，应变分量和弹性势能都是时间函数。在运动的某一瞬间，介质的机械能有弹性势能和动能组成。,若介质,动能密度,为 ，则总的弹性介质,机械能密度,E,为：,（,1-101,）,利用虎克定律有：,（,1-102,）,二、能流密度,设向量,I,表示在,单位时间内通过与它垂直的单位截面积,的机械能，称之为能流密度。,向量场,I,的通量 是单位时,间内经表面积,S,散失的能量。,已知弹性介质机械能密度,E,，则在,V,体积介质中包含的总,机械能是,Ev,，,（,1-103,）,根据能量守恒原理，在单位时间内总机械能的减少量,应等于通过其表面积机械能流矢量，即向量的通量：,（,1-104,）,根据高斯定理，将面积积分改为体积积分,：,显然可有方程式：,（,1-105,）,（,1-106,）,等式（,1-106,）表明了单位体积的体积元内机械能在单位时间内的减少量等于通过其表面积的机械能流矢量。,三、能流密度与应力张量、位移的关系,对弹性介质机械能密度计算时间偏导数，,很明显 为某一向量,J,的散度，,（,1-111,）,（,1-112,）,其中：,由于,可知,I=,J,能流密度用应力张量和位移分量表示,可有关系式,使用这个关系式,已知应力张量和质点运动速度,可以计算弹性介质的能流密度。,（,1-113,）,举例计算平均能流密度,假设已知弹性介质质点按简谐波规律沿,x,方向振动，并且振动过程只沿,x,方向传播，则位移函数可以写作：,试求该振动过程的能流密度,Ix,。,取能流密度,Ix,在一个周期内的平均值：,为,(,波,),阻抗,本章小结,本章小结,本章小结,柯西公式：,它表明，在过一点的任意截面上作用的应力向量分量可以用作用于垂直坐标轴的三个截面上的应力向量分量来表示,。,本章小结,本章小结,本章小结,主应力截面,平衡微分方程,本章小结,本章小结,显然，这是质点位移函数全微分公式，即相邻质点间位置相对变化可用位移分量的全微分表示。,式中的位移函数的九个偏导数完全决定于所讨论的微小区域的应变状态，,九个位移偏导数总和称为应变张量。,本章小结,本章小结,本章小结,体变（相对体积变化）：,本章小结,(1-75),(1-74),应力与应变的关系,(1-36),本章小结,(1-97),(1-98),(1-93),