第4节(泊松方程).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 泊松方程,泊松方程,是非齐次的拉普拉斯方程,与时间,t,无关，不能应用冲量定理，但可以采用,特解法,来求解,即先不管边界条件，找到任意一个方程的特解,v,，然后，令,即泊松方程转换成拉普拉斯方程！,例,1,在圆域,上求解泊松方程边值问题,解：,先找到一个特解，就可以转化为齐次方程来求解,U,v,w,，就把问题转换为求解,w,，而对于,w,来说,1,对称可取,又,方程特解为：,令,就转换成,w,的定解问题,在极坐标系中，用分离变数法求解拉普拉斯方程的结果如下：,2,对于,w,来说，应该处处有界，但,在圆心处为无限大,不符合条件，予以排除，故：,代入边界条件,比较系数可得,方程的一般解为：,3,例,2,在矩形域,上求解泊松方程的,边值问题,解：,先找泊松方程的特解,v,，显然,v,x,2,满足方程,则,v=-x,2,+c,1,x+c,2,(c,1,和,c,2,为积分常数,),也满足,可以选取,适当的,c,1,和,c,2,使得,v,满足齐次边界条件，,c,1,a,c,2,=0,则：,令,代入定解问题可得,关于,w,的定解问题如下：,4,满足（,1,）（,2,）的解可表示为：,为确定系数,A,n,和,B,n,，上式代入边界条件（,3,）,并把右边也展开成傅里叶正弦级数,5,其中,代入,并比较系数,由此可解得,6,回代,可得,对于,n,2k,（,k,1,，,2,）,C,n,0,，对于,n,2k,1,（,k=1,2,）,可得：,7,最后，可得泊松方程的一般解为：,回顾：先求泊松方程的一个,特解,，然后求齐,次,方程,（拉普拉斯方程）通解，两者之和就是原,泊松方程的通解！,Bye,！,8,