概率_矩估计.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二 估计量（统计量）,估计量也称为,统计量,（,statistic,）,注：,（,1,）统计量是不含未知参数的样本的函数。,（,2,）统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，即统计量是随机变量的函数，故,统计量是随机变量。,例1,设为来自总体,的一个样本,，,问下列随机变量中哪些是统计量,无偏估计及相合估计,如果 ，称 是 的无偏估计。,如果当样本量 ，依概率收敛到 ，就称 是 的相合估计。,如果当样本量 ，以概率,1,收敛到 ，就称 是 的强相合估计。,这类问题称为,参数估计,.,三 参数估计问题的一般提法,X,1,X,2,X,n,要依据该样本对参数,作出估计，或估计,的某个函数,现从该总体抽样，得样本,设有一个总体,X,，总体的分布函数,向量,).,为,F,(,x,),，,其中,为未知参数,(,可以是,参数估计,点估计,区间估计,点估计,估计未知参数的值,区间估计,根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数的真值,（,假定身高服从正态分布,）,设这,5,个数是,:,1.65 1.67 1.68 1.71 1.69,这是,点估计,.,这是,区间估计,.,估计,以概率,0.99,在区间,1.57,1.84,内,，,假如我们要估计某队男生的平均身高,.,估计,为,1.68,，,现从该总体选取容量为,5,的样本，我们的任务是要根据选出的样本,（,5,个数,）,求出总体均值,的估计,.,而全部信息就由这,5,个数组成,.,点估计,例,2,已知某地区新生婴儿的体重,X,随机抽查,100,个婴儿,得,100,个体重数据,10,7,6,6.5,5,5.2,呢,?,据此,我们应如何估计,和,而全部信息就由这,100,个数组成,.,为估计,需要构造一个,适当的估计量（统计量）,每当有了样本观测值,x,1,x,2,x,n,，,就代入该统计量中算出一个值：,（,估计值,）,作为未知参数,的近,似值。,请注意，被估计的参数,是一个未知,常数，而,估计量,是一,个随机变量，是样本的函数,当样本值取定,后，,估计值,是个已知的数值,.,对于不同的,样本值，的估计值一般不同,.,问题是，,使用什么样的统计量去估计？,容易想到，用样本均值 ，它有三个好处：,无偏性：,相合性：,强相合性：,弱大数定律；,强大数定律。,1.,均值的估计,设总体均值,存在，,是总体,X,的简单随机样本，均值 的估计定义为,自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计,.,由于,是根据样本计算出来的，所以是样本均值,.,2.,方差的估计,总体方差,的点估计由,类似地，用样本体重的方差,.,定义,.,注：,它也是总体方差的无偏估计，相合估计及,强相合估计,.,无偏性的证明：,不妨设,E(X)=0,，则,从而,3.,标准差的估计,S,是样本标准差,.,注：它是总体标准差的相合估计，强相合估计，,但它一般不是无偏估计。,4.,矩估计法,设,总体的,k,阶原点矩为,，,它们一般均为参数,的函数。另外，,自然想到用,样本的,k,阶原点矩,作为,总体,k,阶原点矩,的一个估计,即用,由此进一步估计未知参数,，,这就是,矩估计法,.,由大数定律，以概率,1,收敛到,其基本思想是,用样本矩的函数估计总体矩的函数,矩估计法是英国统计学家,K,.,皮尔逊,最早提出的,记总体,k,阶矩为,样本,k,阶矩为,用相应的样本矩去估计总体矩的,估计方法就称为,矩估计法,.,令,设总体分布含有,m,个未知参数,1,，,，,m,则取统计量,以 分别估计参数,并称 分别是,的,矩估计,.,(moment estimator),矩估计的一般步骤,设总体分布含有个,m,未知参数,1,，,，,m,（,1,）,根据未知参数的个数求总体的各阶矩,（,2,）解方程组（即从方程组中解出未知参数）,（,3,）用,A,i,代替上述方程组中的,，,i,=1,2,m,得到,i,=1,2,m,作为 的矩估计量,i,=1,2,m,（,4,）若估计的是参数的函数,则用,代替,得到,作为,的矩估计量,解,:,代换得,的矩估计,.,即为,X,1,X,2,X,n,是取自,X,的样本,求参数,的矩估计,.,例,6,设总体,X,的概率密度为,是未知参数,其中,例,9.,设一大批产品的合格率是,p,每次从中随机抽出,10,件进行检验,.,用,X,i,表示第,i,次抽出的,10,件中次品的个数，则可以认为,X,1,X,2,.,X,n,独立同分布，总体分布是二项分布,B,(10,p,).,用,表示,B,(10,p,),的数学期望，由,E,(,X,)=10,p,得到,p,=,E,(,X,)/10.,于是,p,的矩估计为,给定,n,次抽样观测的数据,x,1,，,x,2,，,.,，,x,n,后,p,的矩估计为,其中,0,为未知参数,(2),设,0.5,1,1.5,是总体,X,的三个样本的观测值，求参数,的矩估计值,例,10.,设总体,X,的概率密度函数为,(1),设,为来自总体的样本，求参数,的矩估计,作业,7.4,（矩估计）；,7.5,；,7.9,；,7.11,（矩估计）,