勾股定理及其证明.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,17.1.1勾股定理,湖北省襄阳市南漳县第二实验中学 亢清燕,这就是本届大会会徽的图案,你见过这个图案吗？,你听说过勾股定理吗？,这个图案是我国古代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”,创设情境，引入新课,毕达哥拉斯,(,公元前,572-,前,492,年,),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。,相传在,2500,年前，,毕达哥拉斯,有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们一起来观察图中的地面，看看能发现什么。,观察思考，探索定理,毕达哥拉斯,(,公元前,572-,前,492,年,),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。,S,A,+S,B,=S,C,A,B,C,B,A,C,图甲,A,的面积,B,的面积,C,的面积,4,4,8,S,A,+S,B,=S,C,C,图甲,1.,观察图甲，小方格,的边长为,1.,正方形,A,、,B,、,C,的,面积各为多少？,正方形,A,、,B,、,C,的,面积有什么关系？,毕达哥拉斯,(,公元前,572-,前,492,年,),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。,A,、,B,、,C,的面积有什么关系？,S,A,+S,B,=S,C,A,B,C,对于等腰直角三角形有这样的性质：,两直角边的平方和等于斜边的平方,A,B,C,图乙,2.,观察图乙，小方格,的边长为,1.,正方形,A,、,B,、,C,的,面积各为多少？,9,16,25,S,A,+S,B,=S,C,正方形,A,、,B,、,C,的,面积有什么关系？,4,4,8,A,B,C,图甲,图甲,图乙,A,的面积,B,的面积,C,的面积,C,S,A,+S,B,=S,C,A,B,图乙,2.,观察图乙，小方格,的边长为,1.,9,16,25,S,A,+S,B,=S,C,正方形,A,、,B,、,C,的,面积有什么关系？,4,4,8,A,B,C,图甲,图甲,图乙,A,的面积,B,的面积,C,的面积,a,b,c,a,b,c,C,S,A,+S,B,=S,C,A,B,C,C,图乙,S,A,+S,B,=S,C,S,A,+S,B,=S,C,图甲,a,b,c,a,b,c,.,猜想,a,、,b,、,c,之间的关系？,a,2,+b,2,=c,2,如果直角三角形的两直角边长分别为,a,、,b,，斜边长为,c,，那么,a,2,+b,2,=c,2,c,a,b,猜想,c,b,a,=,b,a,拼图证明，得到定理,用赵爽弦图证明命题,a,b,c,S,大正方形,c,2,S,小正方形,（,b-a,）,2,S,大正方形,4S,三角形,S,小正方形,弦图,现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧！,证法一：,如果直角三角形的两条直角边长分别为,a,b,，斜边长为,c,，那么,a,2,+b,2,=c,2,a,b,c,勾,股,弦,勾股定理：,为什么叫勾股定理这个名称呢？,原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为,“,勾,”,，下半部分称为,“,股,”,。于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为,“,勾,”,，较长直角边称为,“,股,”,，斜边称为,“,弦,”,.,由于命题反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理。,勾,股,“,赵爽弦图,”,表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，,2002,年第,24,届国际数学家大会在北京召开时，,“,赵爽弦图,”,被选作大会会徽。,a,2,+b,2,=c,2,a,a,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c,用拼图法证明,.,a,、,b,、,c,之间的关系,a,2,+b,2,=c,2,a,2,+b,2,+2ab=c,2,+2ab,a,2,+b,2,=c,2,证法二：,S,大正方形,=(a+b),2,=a,2,+b,2,+2ab,S,大正方形,=4S,直角三角形,+S,小正方形,=4 ab+c,2,=c,2,+2ab,1876,年,4,月,1,日，伽菲尔德在,新英格兰教育日志,上发表了他对勾股定理的这一证法。,1881,年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。,证法三：,a,a,b,b,c,c,伽菲尔德证法,:,a,2,+b,2,=c,2,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为,a,、,b,斜边为,c,，那么,即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。,a,b,c,勾,股,弦,在西方又称毕达哥拉斯定理耶！,a,b,c,两千多年前，古希腊有个哥拉,斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此,在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯,年希腊曾经发行了一枚纪念票。,定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，,1955,勾 股 世 界,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前,两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，,1955,年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。,我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作,周髀算经,中。,勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方,.,c,b,a,公式变形,c,2,=a,2,+b,2,a,2,=c,2,b,2,b,2,=c,2,-a,2,运用定理，加深理解,1,、求下图中字母所代表的正方形的面积。,225,400,A,81,225,B,144,625,2.,求下列图中表示边的未知数,x,、,y,、,z,的值,.,81,144,x,y,z,做一做,625,576,144,169,例,:,求出下列直角三角形中未知边的长度,6,8,x,5,x,13,x,2,+5,2,=13,2,x,2,=13,2,-5,2,x,2,=169-25,x,2,=144,x=12,（,2,）,由勾股定理得：,解：（,1,）,由勾股定理得：,x,2,=36+64,x,2,=100,x,2,=6,2,+8,2,x=10,x0,x0,比一比看看谁算得快！,4.,求下列直角三角形中未知边的长,:,可用勾股定理建立方程或利用变形后的公式,.,方法小结,:,8,x,17,16,20,x,12,5,x,、如图,一个高,3,米,宽,4,米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为,(),A.3,米,B.4,米,C.5,米,D.6,米,C,深化思维，拓展提升,2,、已知：,Rt,BC,中，,AB,，,AC,则,BC,的长为,_,4,3,C,A,B,4,3,A,C,B,5,或,3,、判断题：,直角三角形三边分别为,a,b,c,，则一定满足下面的式子：,a,2,+b,2,=c,2,(),试一试,:,4,、如图，,受台风影响，,一棵树在离地面,4,米处断裂，树,的顶部落在离树跟底部,3,米处，这棵树,折断前,有多高？,4,米,3,米,回顾小结，整体感知,请谈谈你的收获,说说这节课你有什么收获？,内容总结：,1,、,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为,a,、,b,斜边为,c,，那么,2,、勾股定理的应用,c,2,=a,2,+b,2,a,b,c,?,?,b,2,=c,2,-a,2,a,2,=c,2,-b,2,灵活运用,方法总结：,由特殊到一般、数形结合,1.,在,RtABC,中，,C=90,若,a=5,，,b=12,，则,c=_,；,若,a=15,，,c=25,，则,b=_,；,若,c=61,，,b=60,，则,a=_,；,若,ab,=34,，,c=10,则,SRtABC,=_,。,2.,直角三角形两直角边长分别为,5,和,12,，则它斜边上的高为,_,。,3.,已知一个,Rt,的两边长分别为,3,和,4,，则第三边长的平方是（）,A,、,25 B,、,14C,、,7 D,、,7,或,25,课堂检测，反馈提高,13,20,11,24,D,