空间解析几何1.4.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,向量的射影,向量内积的定义及计算,向量的方向角、方向余弦,（直角坐标系）,1.4,向量的内积,空间一点在轴上的射影,空间一向量在轴上的射影,向量射影定义的说明：,射影为正；,射影为负；,射影为零；,(4),相等向量在同一轴上射影相等；,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义,向量与一轴,或,空间两轴,的夹角,.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在,0,与 之间任意取值,.,当 时，称向量 与 是互相垂直的，记作,射影定理,1,证,射影定理,2,（可推广到有限多个）,射影定理,3,解,由向量射影定义，,向量的射影,向量内积的定义及计算,向量的方向角、方向余弦（直角坐标系）,1.4,向量的内积,启示,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量,.,两向量的内积（数量积）,M,1,M,2,定义,关于数量积的说明：,定理,1,数量积符合下列运算规律：,（,1,）交换律,：,（,2,）分配律,：,（,3,）若 为数,：,若 、为数,：,例,2,、试证如果一条直线与一个平面内的两条相交,直线都垂直，则它垂直于这个平面。,即,n,与,平面,内的任意非零向量都垂直，,从而,n,平面,。,证：设直线,n,与平面,内两条直线,a,b,都垂直，即,n,a,且,n b,故,na,=0,nb,=0,又对于平面,内的任意非零向量,c,，有,c=,a+,b,所以,nc,=n(,a+,b)=,na,+,nb,=0,选取一个仿射坐标系,.,设向量 的坐标分别为 则,只要求出基向量 之间的内积，就可以求出任意两个向量的内积,.,在,直角坐标系,下,:,用坐标计算向量的内积,数量积的坐标表达式,例,3,的充要条件是,(,),解,:,定理,1,设 ，那么,定理,2,空间两点 间的距离是,例,.,已知两点,A,(4,0,5),和,B,(7,1,3).,求方向和,AB,一致的单位向量.,解,:,AB,=3,1,2,|AB|,两非零向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为：,思考,向量的射影与内积之间的关系,例,4.,已知三点,M,(1,1,1),A,(2,2,1),和,B,(2,1,2),求,AMB,.,解,:,AMB,即为向量,MA,与,MB,的夹角.由,MA,=1,1,0,MB,=1,0,1,得,:,cos,AMB,=,所以,例,5,若向量,夹角的余弦为,则,为,?,例,6,设向量,已知,在,上的射影是,1,则,例,8,利用数量积证明柯西,施瓦兹不等式,证：设,a,=a,1,a,2,a,3,b,=b,1,b,2,b,3,因为,a,b,=|,a,|,b,|cos,(,a,b,),而,-1,cos(,a,b,)1,所以,|,a,b,|,|,a,|,b,|,从而,|,a,b,|,2,|,a,|,2,|,b,|,2,所以,习题,11.,证明：如果一个四面体有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也必垂直，并且三对对棱的长度的平方和相等,.,证明 在四面体,中，设,（,1,）欲证 ，计算下面内积便可得,.,（,2,）证,只需证,（因,),而,(,理由,),故由上述分析可写出证明,.,向量的射影,向量内积的定义和性质,向量的方向角、方向余弦（直角坐标系）,用坐标计算向量的内积,1.4,向量的内积,在直角坐标系 中，向量 与坐标向量 的夹角称为 的,方向角,，分别用 来表示,.,方向角的余弦 称为向量 的,方向余弦,.,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向,.,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向量就是与 同方向的单位向量,与方向余弦成比例的任一数组 都称为,向量的一组方向数,，此时,例,9.,已知两点,M,1,(2,2,),和,M,2,(1,3,0).,计算向量,M,1,M,2,的模,方向余弦和方向角.,解,:,M,1,M,2,=,1,1,|M,1,M,2,|,=,解,作业,P25 4,6(2)(3)(5),9,10,选做,P25 3,