自由度先于动静法讲授的尝试.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,自由度先于动静法讲授的尝试,华中科技大学理论力学教研室郑慧明,前言,动力学问题的求解方法众多，使大多数初学同学感觉无所适从。,我们在讲授动静法之前先引入自由度的概念，然后对不同的动力学问题，通过自由度来选择和分析动力学问题。教学实践证明,效果不错。,大多数同学对动力学各种原理的差异和联系有了更深刻的了解，对动力学的兴趣很浓，可以轻松地找到合理的简单的解决动力学问题的途径。,如何分析动力学的力或加速度问题,对任一个在动力学问题求力或加速度时，必然可用动量/矩定理、动静法、功率方程（包括各种方法的联合）求解。当然，学完动力学普遍方程和拉格朗日方程，也可求解。如何选择合适的方法呢？我们通过讲解自由度与机构独立的角加速关系，以及动量/矩定理、动静法、功率方程的优缺点，引导学生基于自由度总结如下的解题思路,：,如何分析动力学的力或加速度问题,若系统自由度只有一个，（a)所有未知力不作功，求任何切向加速度或角加速度.或（b)已知一个切向加速度或角加速度，所有未知力中除一个待求的能做功的力/力矩外，均不作功，求一个力/力矩，则优先选用，则优先考虑用功率方程。否则用动静法。,对于上述以外的问题，尽管可用用功率方程，再补充其他动力学方程，但尽量不用。因为功率方程,可由动静法（取整体的3个方程）推出，,实际上是取代动静法中的一个方程，用两种方法解一道题，有时可能列出本质上线性相关的方程，且计算复杂，思路混乱。故不推荐。,如何分析动力学的力或加速度问题,至于运动学补充方程来源，每种方法均相同。若研究的涉及一个过程，还需用动能定理积分形式来给出所求时刻的速度量，从而得到法向加速度量。,如何分析动力学的力或加速度问题,其中关于功率方程实际上是取代动静法中的一个方程，我们从系统与局部的关系给出了证明，从而帮助学生理解功率方程与动静法的内在联系。比如对2个刚体，由动量/矩定理（或动静法）可列出6个独立的动力学方程，则功率方程必可由此6个独立的动力学方程推出，故7个方程不可同时使用。此外，功率方程实际上就是采用一般坐标的一个自由度系统的拉格朗日方程的变形。,【示例1】,【多个刚体问题】在光滑水平面上放置一直角三棱柱体，其质量为,m,，可沿光滑水平面运动；质量为,m,、半径为,r,的均质圆柱体，在三棱柱体的斜面滚下而不滑动，如图所示。三棱柱体的倾角,已知,，试求三棱柱体的加速度。,【示例1】,【多个刚体问题】在光滑水平面上放置一直角三棱柱体，其质量为，可沿光滑水平面运动；质量为,m,、半径为的均质圆柱体,m,，在三棱柱体的斜面滚下而不滑动，如图所示。试求三棱柱体的加速度。,【,分析,】,2个自由度，不求任何真实未知力，故选用动静法。,【示例,2,】,如图所示，在水平面内，半径为,r,的均质圆盘，由连杆和曲柄带动在半径为的固定圆上作纯滚动。,OA,杆在一未知力偶矩M（t）作用下以匀角速度转动，求图示瞬时,M,。其中曲柄、圆盘,和,连杆,的质量均为,m,。,【示例1】,【,分析,】,1,个自由度，已知一个切向加速度（OA的角加速度=0），除待求做功的力偶矩M外，其他真实未知力均不做功，故选用功率方程法。,【,讨论,】,若仅求,图示瞬时固定圆对圆盘,B,的约束力,【,分析,】,1,个自由度，已知一个切向加速度（OA的角加速度=0），求2个真实未知力，故选用动静法。,【,讨论,】,若仅求,图示瞬时,A,的约束力,【,分析,】,1,个自由度，已知一个切向加速度（OA的角加速度=0），求2个真实未知力，故选用动静法。,【,讨论,】,若仅求,图示瞬时,B,的约束力,【,分析,】,1,个自由度，已知一个切向加速度（OA的角加速度=0），求2个真实未知力，故选用动静法。,利用自由度建立动静法分析格式,对每个刚体将其加速度量用惯性力/矩简化。,惯性力作用在各自得简化点D上（D必须满足四个条件之一）。按上述简化后，把惯性力矩当作力偶，,惯性力,当作静力学中的力，应用,讲授过的,静力学,分析方法,。,利用自由度建立动静法分析格式,确定由静力学至少并尽量列几个力/矩方程？,对于n个自由度系统，若已给出m个切向加速度（即角加速度）信息，则需由静力学列s=n-m个力/矩方程来弥补,切向,加速度信息的不足。若未引入任何真实力，则只需s个力/矩方程即可。否则，引入一个真实力，就需多列一个力/矩方程。（对于n个自由度系统，若已给出m个切向加速度（即角加速度）信息，由于未知加速度可以简化为力/矩，就等同于有这么多个未知力）,利用自由度建立动静法分析格式,确定由静力学至少并尽量列几个力/矩方程？,若还需求k个真实力，则还需至少补充k个力/矩方程来求k个真实力（尽量只补充k个，有的问题可能如同静力学问题一样，必须引入新的不待求的未知力，这样的话，也应越少越好）。,利用自由度建立动静法分析格式,确定由静力学至少并尽量列几个力/矩方程？,若还需求k个真实力，则还需至少补充k个力/矩方程来求k个真实力（尽量只补充k个，有的问题可能如同静力学问题一样，必须引入新的不待求的未知力，这样的话，也应越少越好）。,故一般由静力学,至少并尽量,列,n-m+k,个力/矩方程。,利用自由度建立动静法分析格式,如何,由静力学,至少并尽量,列,n-m+k,个力/矩方程,？,为了列n-m+k个力/矩方程，采用静力学中总结的方法，尽量不要引入不待求的新的力的原则下,;,先从整体,3个方程中看有几个仅与待求量有关的力/矩方程，若整体中只引入2个不待求真实力/矩，则必然能贡献一个有用的方程。,然后再从局部,从待求量（惯性力也看作待求未知力）出发，应用顺藤摸瓜的方法，即从待求量出发，向其周围前后左右，由近及远，延伸到光滑铰链连接点D处,对点D 取矩，依次类推。若碰到其他不待求未知量，表明很可能此路不通，不要再从此处突破。（这就完全转化为静力学问题了，方法一样，防止方程线性相关）。,利用自由度建立动静法分析格式,补充上述静力学方程中所出现的加速度关系,求加速度,关系,从运动学,角度，,体现刚体与刚体，刚体与外部间的,所有,联系,即可。,采用运动学所介绍的串联连线方法。即：利用待求点、部分信息已知点将系统通过线段串联起来(不要出现闭合回路，否则信息重复利用，会列出线性相关的方程，此时应3选2。)。若是刚体以外的点相对刚体运动，动系应整个固定在刚体上。若是同一刚体上两点，用刚体平面运动知识即可（动系原点固定在刚体上基点上做平动）。,利用自由度建立动静法分析格式,补充上述静力学方程中所出现的加速度关系,求加速度,关系,由动点动系、同一刚体两点加速度关系得到加速度矢量方程后，类似线形代数解方程的方法，消去静力学方程中未出现的加速度量，得到仅包含静力学方程中所出现的加速度的方程。若n-m+k静力学方程中有L个未知量（包括真实力和加速度），则在这一步骤要得到L-n-m+k）加速度方程。联立解L个方程即可。,利用自由度建立动静法分析格式,补充上述静力学方程中所出现的加速度关系,求加速度,关系,其中的法向加速度量则通过运动学的求速度的方法得到。若涉及一个运动过程问题，还需用动能定理的积分形式给出一个速度方面的方程。,【示例1】,【多个刚体问题】在光滑水平面上放置一直角三棱柱体，其质量为,m,，可沿光滑水平面运动；质量为,m,、半径为,r,的均质圆柱体，在三棱柱体的斜面滚下而不滑动，如图所示。三棱柱体的倾角,已知,，试求三棱柱体的加速度。,【,步骤,】,（1）惯性力/矩正确简化。如图1,（2）,2个自由度，不求任何真实未知力,至少并尽量列2个静力学格式的力、力矩方程。【整体】3个方程，但存在2个不待求未知力F,N,/力矩M,故只能x方向投影。有,【只能局部，A有4个未知力，C有2个未知力，故取C为研究】3个方程，但D处存在2个不待求未知力，故：,2个方程，4个？只能从运动学突破。,（3）补充方程来源:C为动点，A为动系。得到矢量方程,4个方程，4个？利用解方程方法求出任何一个待求量即可,拓展：若A上施加已知力F或地面有摩擦力，又如何分析？与其他方法的比较？,【示例,2,】,如图所示，在水平面内，半径为,r,的均质圆盘，由连杆和曲柄带动在半径为的固定圆上作纯滚动。,OA,杆在一未知力偶矩M（t）作用下以匀角速度转动。其中曲柄、圆盘,和,连杆,的质量均为,m,。,(1)仅,求瞬时,M,(2)仅,求,固定圆对圆盘,B,的约束力,：,1个动力学方程,2,个动力学方程,(3)仅,求,A,的约束力,(4)仅,求,B,的约束力,2,个动力学方程,2,个动力学方程,如何分析动力学的力,所引起的,速度,改变,问题,对于应用动量守恒定律和动量矩守,恒定理和机械能守恒定律的动力学求速度问题，虽然方法简单。但想到这三种定律有时是不容易的。,如何分析动力学的力,所引起的,速度,改变,问题,【甲虫问题】半径为R、质量为m的薄圆环直立在光滑水平面上；环上有一质量为m的甲虫，原来环和甲虫静止，后甲虫突然启动达到相对圆环以匀速u沿圆环爬行（设从启动到达到u甲虫位置不变）。,求甲虫开始运动达到相对圆环以匀速u沿圆环爬行时圆环的角速度,。,如何分析动力学的力,所引起的,速度,改变,问题,【甲虫问题】,此题一般方法是：两个动力学方程：（1）整体水平方向动量守恒（2）,整体对固定点O的动量矩守恒。再补充运动学速度关系即可。,如何分析动力学的力,所引起的,速度,改变,问题,学生的疑问,为何要列两个动力学方程？如何想到的呢？。,学生的疑问,为何要列两个动力学方程？如何想到的呢？,对于此题问题，可应用上述动静法求解,加,速度的方法，列出最少数目的静力学格式方程后，积分即可。,3个自由度系统，告诉一个相对速度信息，,又不求任何其他真实力，故至少并尽量列,两个动力学方程,。【整体仅N不待求，故可在X方向投影和N上任意点取矩即可】，积分后便得到x方向动量守恒和动量守恒，因此，上述对o点取矩仅是一种方法而已，实际上对D点取矩，比,对o点取矩更简单。,如何分析动力学的力,所引起的,速度,改变,问题,由上可知，,对于应用动量守恒定律和动量矩守,恒定理和机械能守恒定律的动力学求速度问题，虽然方法简单。但想到这三种定律有时是不容易的。对于此题问题，,利用自由度的思想，,可应用上述动静法求解,加,速度的方法，列出最少数目的静力学格式方程后，积分即可。,如何分析动力学的力,所引起的,速度,改变,问题,类似地，对于复杂的碰撞问题，研究碰撞后的速度。利用自由度概念，确定动静法至少列几个独立方程。然后积分，即可不求刚体间的冲量。,6个自由度，P点2个不待求冲量矩，故列4个冲量/矩方程即可。,THE ENDTHANK YOU,华中科技大学理论力学教研室郑慧明,