数值分析期末总结市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件.pptx

Body Text,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,Slide Title,*,*,数 值 分 析,期末总结,第1页,考试题型,一、,填空题,其目标是考评同学们对数值分析中基本概念、基本定理了解；,主要考评内容为基本概念、基本定理、定理或算法应用条件等内容,比如：,误差配置标准中内容；收敛条件等,二、计算题,需要掌握算法内容、应用条件、误差分析等内容。,计算过程能够使用计算器，不过要求同学要具备计算熟练性,2026/5/3 周日,2,第2页,第一章 数值计算中误差,1,误差,(1),绝对误差,(,限,),、相对误差,(,限,),(2),有效数字,2,算术运算中误差,加法,(,减法,),、乘法,3,误差起源与分类,(,舍入误差和截断误差,),4,误差分配标准与处理方法,2026/5/3 周日,3,第3页,1.1 绝对误差与相对误差,绝对误差,设,A,是准确值，,a,是近似值，则定义二者之差,=a-A,为近似数,a,绝对误差,绝对误差限,|,|=|a-A|,(,上界)，称为绝对误差限,相对误差,绝对误差与准确值之比,A=,/A,为相对误差,相对误差限,|,A|=|,/A|,(,上界,)，,称为相对误差限,绝对误差和相对误差相关系：,=a,A,2026/5/3 周日,4,第4页,1.2 有效数字,舍入方法,将无限位字长准确数处理成有限位字长近似数处理方法称为,舍入方法,截断法,四舍五入法,四舍五入法,|,|,0.5x10,-n,，在a最末一位上有半个单位误差,实际应用中按四舍五入标准取近似值是使用最广取近似值方法。,用四舍五入取得近似值，可用有效数字来刻画,2026/5/3 周日,5,第5页,1.2 有效数字,假如,近似数a,绝对误差是某一位半个单位，且该位直到,a,第一位非零数字一共有,n,位，则,称近似数a有n位,有效数字,，a为含有n位有效数字,有效数,。,x,*=,最左边不为零数,误差不超出该位数半个单位,n,个有效数字,比如：,表示：近似值,0.003400,准确到小数点后第,5,位，有,3,位,有效数字,。,绝对误差限、相对误差限和有效数字关系,2026/5/3 周日,6,第6页,2.算术运算中误差,要求,明确数据误差在算术运算中传输规律并对结果误差进行预计,预计方法,设,x,为,x*,近似值，,y,为,y*,近似值，则,x=x-x*,y=y-y*,。,实际中常取误差主部,采取微分方式表示,，,即dx,x,dy,y，,对于算术运算中结果误差可按微分公式近似估算,2026/5/3 周日,7,第7页,2.算术运算中误差,加减绝对误差限等于各数绝对误差限之和,C=x,y,dC,|,dx,dy,|,|dx|+|dy|,x,+,y,乘积运算相对误差为各乘数相对误差之和，其相对误差限等于各乘数相对误差限之和,2026/5/3 周日,8,第8页,模型误差,观察误差,截断误差,求解数学模型所用数值计算方法假如是一个近似方法，那么得到是数学模型近似解，由此产生误差称为,截断误差,。,舍入误差,因为计算机字长有限，参加运算数据以及运算结果在计算机上存放会产生误差。这种误差称,舍入误差,或者,计算误差,。,3 误差起源与分类,2026/5/3 周日,9,第9页,4 误差分配标准与处理方法,误差配置原,则,计算模型近似解相对于参数模型准确解总误差=截断误差+舍入误差,即,=R+,R,误差处理方法,1.给定运算误差,，,确定参加运算数值字长,2.近似式项数已定而字长待定,3.总误差给定，要求确定项数和数值字长.,4.数值字长已定，待定近似式项数,=R+,R,2026/5/3 周日,10,第10页,第二章 方程(组)迭代解法,1.根初值确定方法,2.迭代解法,(1),迭代法计算步骤,(2),迭代解法几何意义,(3),迭代法收敛性（,(,x,)|,q,1,）,3.,迭代公式改进（减小,q,值）：,(1),埃特肯法,(2),牛顿迭代法,(3),牛顿下山法,(4),弦截法,2026/5/3 周日,11,第11页,1.根初值确定方法,迭代法求解非线性方程或非线性方程组较为有效方法，它是递归应用某一计算公式来决定未知量，并使之逐步迫近真解一个方法,求方程根问题，就几何上讲,是求曲线,y,=,f,(,x,),与,x,轴交点横坐标。,定理2.1设,f,(,x,),为区间,a,b,上,单值,连续,函数，假如,f,(,a,),f,(,b,)0，,则,a,b,中最少有一个实根。假如,f,(,x,),在,a,b,上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根,确定根所在区间方法：,(1)画图法：,f,(,x,)=0,分解为,1,(,x,)=,2,(,x,),形式，,1,(,x,),与,2,(,x,),两曲线交点横坐标所在子区间为含根区间,(2)扫描法,(,3),对分法,2026/5/3 周日,12,第12页,2.迭代解法,迭代法计算步骤归纳以下：,(1)选取初值,x,0,，(画图法、扫描法、对分法),(2),确定方程,f(x),=0,等价形式,x,=,(x),判断收敛性|,(,x,)|,q,1,(,3),按公式,x,n+,1,=(x,n,),计算,x,n+,1,值,(,4),迭代终止判断.假如|,x,n+,1,-,x,n,|,则停顿计算，不然继续迭代,收敛条件,定理,2.2,：,|,(,x,)|,q,1,是迭代序列收敛充分条件,在实际应用时，可用|,(,x,0,)|,q,1,收敛速度,|,(,x,)|,误差预计及迭代过程终止条件,2026/5/3 周日,13,第13页,3.迭代公式改进,(1),埃特肯法,2026/5/3 周日,14,第14页,(2),牛顿迭代法,(3)判断假如|,x,n+1,-x,n,|,f,(,x,1,),|,单调下降目标。,称,|,f,(,x,n,+1,),|,1,2026/5/3 周日,17,第17页,(4)弦截法,双点弦截法,y,x,0,x,n-1,x,n,x,n+1,2026/5/3 周日,18,第18页,第二章 方程求根迭代解法,收敛充分条件,定理2.5 设,f(x),在,a,b,上二阶导数存在，且满足：,1),f,(,a,),f,(,b,)0,则,牛顿迭代法,收敛。,定理2.6 设,f,(,x,),在,a,b,上二阶导数存在,且满足,(1),f,(,a,),f,(,b,)0,x,1,与,x,0,函数值相异,则,单点弦截法,收敛,定理2.7 当,f(x),在区间,a,b,上有直至二阶连续导数，且满足,f(a)f(b)0,且,f(x)0,时,双点弦截法,对任意,x,0,x,1,a,b,都收敛。,2026/5/3 周日,19,第19页,习 题 二,2.求方程,x,3,-x,2,-1=0,在,x,0,=1.5,附近根，设建立以下对应迭代公式，分析收敛性，并求近似根,解：,(,x),|(,x)|,=,|,-2,x,3,1,|=,-2,1.5,3,1,|,x,0,=1.5,=0.59,1(,收敛),|(,x)|,=,|,3,1,2,x,|,=,=0.4557,1(,不确定收敛),2026/5/3 周日,20,第20页,习 题 二,3.用埃特肯法求方程,x,3,-x,2,-1=0,在,1.5,附近根,=10,-4,x,0,=1.5,=1.48125,=1.47271,x,1,=,=1.46557,=1.46557,=1.46557,x,=1.4656,2026/5/3 周日,21,第21页,习 题 二,x,0,=1.5,=1.44444,=1.479585,x,1,=,=1.46597,=1.46532,=1.46573,2026/5/3 周日,22,第22页,习 题 二,x,2,=,=1.46557,=1.46557,2026/5/3 周日,23,第23页,习 题 二,5.分别用迭代法、牛顿法、双点弦截法（,x,0,=2,x,1,=1.9,）求方程,x,3,-3x-1=0,在,x=2,附近根,解,：（1）迭代法,因为,x,3,=,3x+1,|(,x)|,=,|,3,1,3,|,=,=0.27,0,取初值,x,0,=2,=1.88889,x,2,=1.87945,x,3,=1.87938,x,4,=1.87938,第一步：形成迭代函数,第二步：确定初值,第三步：迭代计算,2026/5/3 周日,25,第25页,习 题 二,（3）,双点弦截法,x,0,=2,x,1,=1.9,x,0,=2,f,(,x,0,)=2,3,-3*2-1,=1,x,1,=1.9,f,(,x,1,)=1.9,3,-3*1.9-1,=0.159,=,2*0.159,-,1.9*1,0.159-1,=1.8811,f,(,x,2,)=0.0130,x,3,=,1.9*0.0130,-,1.8811*0.159,0.0130-0.159,=1.8794,f,(,x,3,)=0.0001,x,4,=,1.8811*0.0001,-,1.8794*0.0130,0.0001-0.0130,=1.8794,2026/5/3 周日,26,第26页,第三章 解线性方程组直接法,1,消元法,1.1,消元法描述,1.2,高斯消元法,1.3,克劳特消元法,1.4,平方根法,1.5,追赶法,1.6,消元法应用条件,2,选主元高斯消元法,2.1,列主元素法,2.2,全主元素法,2026/5/3 周日,27,第27页,1 消元法,u,11,x,1,+,u,12,x,2,+,u,1n,x,n,=,z,1,u,22,x,2,+,u,2n,x,n,=,z,2,.(2),u,nn,x,n,=,z,n,消元,x,1,=,x,2,=,x,n,=,回代,思绪:经过组合方程方法实现逐步消元,到达将原方程组化为三角形方程组目标,然后用回代法解此三角形方程组即可取得原方程组解.,2026/5/3 周日,28,第28页,消元法综述,2026/5/3 周日,29,第29页,消元法计算公式,2026/5/3 周日,30,第30页,惯用,消元法,l,ii,选值不一样会影响到计算量及舍入误差大小,高斯消元法：,取,l,ii,=1,克劳特消元法,l,11,=,a,11,(0),=,a,11,l,22,=,a,22,(1),l,33,=,a,33,(2),l,nn,=,a,nn,(,n,-1),u,ii,=1,平方根法,取,l,ii,=,u,ii,有,l,ij,=,u,ji,2026/5/3 周日,31,第31页,3.消元法应用条件,2026/5/3 周日,32,第32页,3.消元法应用条件,定理3.1:若,A,各阶主子式均不为0，即|,A,1,|,=|a,11,|,0,定理3.2 若,A,为实对称正定矩阵，则,l,ii,0,u,ii,0(i=1,2,n),定理3.3 若,A,为严格对角占优矩阵，则,l,ii,0,u,ii,0(i=1,2,n),2026/5/3 周日,33,第33页,主元素法,原因,l,ij,=,分子/,u,jj,，,u,ij,=,分子/,l,ii,，,z,i,=,分子/,l,ii,，,x,i,=,分子/,u,ii,公式,l,ik,u,kj,，,分母为零,提出主元素法是为控制舍入误差,交换标准：,使在对角线位置上取得绝对值尽可能大系数作为,u,ij,，,称这么,u,ij,为,主元素,，并称使用主元素消元法为,主元素法,依据主元素选取范围分为：列主元素法、全主元素法,2026/5/3 周日,34,第34页,习 题 三,1.用高斯消元法解,解：,l,ii,=1,u,11,=,3,u,12,=,2,u,13,=,5,z,1,=,6,l,21,=,-1,3,l,31,=,1,3,=-0.33333,=0.33333,u,22,=,4-(-0.33333)*2,1,=4.66667,l,32,=,-1-(-0.33333)*2,4.66667,=-0.35714,u,23,=,3-(-0.33333)*5,1,=4.66665,u,33,=,3-0.33333*5,-(-0.35714)*4.66665,=3.00000,z,2,=,5-(-0.33333)*6,=6.99998,z,3,=,1-0.33333*6,-(-0.35714)*6.99998,=1.49999,3,x,1,+2,x,2,+5,x,3,=,6,4.66667,x,2,+4.66665,x,3,=,6.99998,3.00000,x,3,=,1.49999,x,3,=,0.50000,x,2,=,1.00000,x,1,=,0.50000,2026/5/3 周日,35,第35页,习 题 三,2.用克劳特消元法解,2026/5/3 周日,36,第36页,习 题 三,x,1,0.33333,x,2,+1.33333,x,3,=2.33333,x,2,0.40000,x,3,=0.80000,x,3,=0.50000,x,1,=2.33333+0.33333*1-1.33333*0.5,2,x,2,=0.8+0.4*0.5,1,x,3,=0.5,2026/5/3 周日,37,第37页,习 题 三,4.用列主元素法解,l,21,=,-1,3,=-0.33333,l,31,=,2,3,=0.66667,(2)-,l,21,(1):,2-(-1)*(-0.33333),x,2,+(-2)-4*(-0.33333),x,3,=2-3*(-0.33333),1.66667,x,2,-0.66668,x,3,=,2.99999 (4),(3)-,l,31,(1):,-2.33333,x,2,-4.66668,x,3,=-,7.00001 (5),(4),(5):,-2.33333,x,2,-4.66668,x,3,=-,7.00001 (6),1.66667,x,2,-0.66668,x,3,=,2.99999 (7),l,32,=,1.66667,-2.33333,=-0.71429,(7)-,l,32,(6):,-4.00004,x,3,=-,2.00005 (8),2026/5/3 周日,38,第38页,习 题 三,-4.00004,x,3,=-,2.00005 (8),-2.33333,x,2,-4.66668,x,3,=-,7.00001 (5),3,x,1,-,x,2,+4,x,3,=3,(1),x,3,=,0.50001,x,2,=,1.99998,x,1,=,0.99998,2026/5/3 周日,39,第39页,第四章 解线性方程组迭代法,1.范数定义,2.,雅克比迭代法,3.,高斯,-,赛德尔迭代法,4.,相关收敛判别,5.,松弛迭代法,2026/5/3 周日,40,第40页,1 向量范数,矩阵范数,谱半径,1-范数,2-范数,-范数,行范数,列范数,2-范数,向量范数是用来度量向量长度,它能够看成是二、三维解析几何中向量长度概念推广,2026/5/3 周日,41,第41页,简单迭代法,雅克比迭代法,(k+1),(k+1),(k+1),(k),(k),(k),(k),(k),(k),(k),(k),(k),迭代矩阵,2026/5/3 周日,42,第42页,2 简单迭代法,高斯-赛德尔迭代法,(k+1),(k+1),(k+1),(k),(k),(k),(k+1),(k),(k),(k+1),(k+1),(k+1),2026/5/3 周日,43,第43页,4.相关收敛判别迭代矩阵,定理4.6 对任何初始向量,X,(0),和常数项,N，,由迭代公 式,X,(k+1),=MX,(k),+N (k=0,1,2,),产生向量序列,X,(k),收敛必要充分条件是,说明：,迭代收敛性只与迭代矩阵谱半径相关,迭代是否收敛与系数矩阵,A,及演变方式相关,与常数项和初始向量选择无关。,2026/5/3 周日,44,第44页,4.相关收敛判别迭代矩阵,简单迭代法、赛德尔迭代法收敛三个充分条件,|,M|,=max,i,1,|,M|,1,=max,v,i,1,2026/5/3 周日,45,第45页,4.相关收敛判别系数矩阵,定理4.9 若系数矩阵,A,不可约且含有对角占优，则雅可比迭代法必定收敛,定理4.10 若,系数矩阵,A,不可约且含有对角占优，则,高斯-赛德尔,迭代法必定收敛,定理4.11 若,A,对称正定,，则,高斯-赛德尔,迭代法收敛,有些线性方程组使用,Jacobi,迭代法收敛，有些线性方程组使用,Gauss-Seidel,法收敛；,即使使用两种方法都收敛，收敛速度未必相同,2026/5/3 周日,46,第46页,4.,相关收敛判别,定义 若矩阵,A,对角线元素满足,且最少有一个,i,值，使上式中有严格不等号成立，则称,A,含有,对角占优,。,2026/5/3 周日,47,第47页,习 题 四,1.用简单迭代法、赛德尔迭代法解线性方程组,解,:(1),x,1,=1.2-0.1,x,2,-0.15,x,3,x,2,=1.5-0.125(,x,1,+,x,3,),x,3,=2-0.13333,x,1,+0.2,x,2,x,1,(k+1),=1.2-0.1,x,2,(k),-0.15,x,3,(k),x,2,(k+1),=1.5-0.125(,x,1,(k),+,x,3,(k),),x,3,(k+1),=2-0.13333,x,1,(k),+0.2,x,2,(k),2026/5/3 周日,48,第48页,习 题 四,x,1,=,0.768,x,2,=,1.139,x,3,=,2.125,2026/5/3 周日,49,第49页,习 题 四,解,:(,2),2026/5/3 周日,50,第50页,习 题 四,6.设线性方程组AX=B系数矩阵以下，证实雅可比迭代法收敛，高斯赛德尔迭代法发散,解,:(1),用雅可比迭代法迭代矩阵是,2026/5/3 周日,51,第51页,习 题 四,其特征方程是,0,=,1,=,2,=0，(,G)=0,用,雅可比迭代法收敛,2026/5/3 周日,52,第52页,习 题 四,(2,),求高斯赛德尔迭代法迭代矩阵,G=-(D+L),-1,U,(,G)=2,用,高斯赛德尔迭代法不收敛,2026/5/3 周日,53,第53页,习 题 四,(2,),求高斯赛德尔迭代法迭代矩阵特征向量,0,=0，,1,=,2,=2，(,G)=2,用,高斯赛德尔迭代法不收敛,2026/5/3 周日,54,第54页,5.松弛法,松弛含义,r,i,=,b,i,-(a,i1,x,1,+a,i2,x,2,+a,in,x,n,)(i=1,2,n),按|,r,i,|最大实施松弛方法,按方程次序实施松弛方法逐次松弛法,带有松弛因子逐次松弛法,2026/5/3 周日,55,第55页,4.1.3 带有松弛因子逐次松弛法,例4.5 用逐次松弛法解线性方程组,解：按照以下形式，建立迭代格式,2026/5/3 周日,56,第56页,4.1.3 带有松弛因子逐次松弛法,当,=1时，,2026/5/3 周日,57,第57页,4.1.3 带有松弛因子逐次松弛法,当,=1.25时，,2026/5/3 周日,58,第58页,第五章 插 值 法,不等距条件下牛顿基本差商公式,1.差商,2.,牛顿基本差商公式,3.,截断误差预计,等距节点下牛顿基本差商公式,1.差分定义,2.差分和差商关系,3.牛顿前向插值公式,4.牛顿后向插值公式,5.,中心差分公式,2026/5/3 周日,59,第59页,第五章 插 值 法,不等距节点下拉格朗日插值公式,1.不等距节点下拉格朗日插值公式,2.拉格朗日公式舍入误差,插值公式唯一性及其应用,反插值,1.使用反函数插值法,2.利用插值多项式反插值法,埃尔米特插值多项式,2026/5/3 周日,60,第60页,第五章 插值法,1.差商,(1)差约定义,(2)差商主要特征对称性,(3)差商表,普通，可定义区间,x,i,x,i+1,x,i+n,上,n,阶差商为,2026/5/3 周日,61,第61页,1.1 差 商,差商表,x,i,f,x,i,f,x,i,x,i+1,f,x,i,x,i+1,x,i+2,f,x,i,x,i+1,x,i+2,x,0,f(x,0,),f,x,0,x,1,x,1,f(x,1,),f,x,0,x,1,x,2,f,x,1,x,2,f,x,0,x,1,x,2,x,3,x,2,f(x,2,),f,x,1,x,2,x,3,f,x,2,x,3,x,3,f(x,3,),f,x,1,x,2,-,f,x,0,x,1,x,2,x,0,2026/5/3 周日,62,第62页,2 牛顿基本差商公式,P,n,(x):,牛顿基本差商公式,R,n,(x),余式,x,i,f,x,i,f,x,i,x,i+1,f,x,i,x,i+1,x,i+2,f,x,i,x,i+1,x,i+2,x,0,f(x,0,),f,x,0,x,1,x,1,f(x,1,),f,x,0,x,1,x,2,f,x,1,x,2,f,x,0,x,1,x,2,x,3,x,2,f(x,2,),f,x,1,x,2,x,3,f,x,2,x,3,x,3,f(x,3,),2026/5/3 周日,63,第63页,1.,3,牛顿基本差商公式误差预计,(2),牛顿基本差商公式误差预计,(,x,0,x,1,x,n,),(1),差商与导数关系,2026/5/3 周日,64,第64页,1.3.2 余式预计,例5.3 求,解：作函数,f,(,x,)=,取,x,0,=4,x,1,=9,x,2,=6.25,建立差商表,x,f(x),f,x,i,x,i+1,f,x,i,x,i+1,x,i+2,4,2,9,3,6.25,2.5,P,2,(7)=2,+(7-4)*0.2,+(7-4)*(7-9)*(-0.00808),=2.64848,2026/5/3 周日,65,第65页,1.3.2 余式预计,f,3,(x)=,R,n,(,x,),在区间4,9上，,余式近似0.5*10,-2,P,2,(7)=2.64848,可舍入为2.65,2026/5/3 周日,66,第66页,4.差分,(1)差分定义,称,k,y,i-1,=,k-1,y,i,-,k-1,y,i-1,为函数,f,(,x,),在,x,i-1,x,i+k-1,上,k,阶差分,。,(2)差分表,(3)等距节点情况下用差分表示差商,n,y,i,n!,h,n,n,P,n,(,x,)=,常量,2026/5/3 周日,67,第67页,2.1 差分,x,y,y,2,y,3,y,4,y,x,0,y,0,x,1,y,1,x,2,y,2,x,3,y,3,x,4,y,4,y,0,=,y,1,y,0,y,1,=,y,2,y,1,y,2,=,y,3,y,2,y,3,=,y,4,y,3,2,y,0,=,y,1,-,y,0,2,y,1,=,y,2,-,y,1,2,y,2,=,y,3,-,y,2,3,y,0,=,2,y,1,-,2,y,0,3,y,1,=,2,y,2,-,2,y,1,4,y,0,2026/5/3 周日,68,第68页,2.2 牛顿前插公式,x,y,y,2,y,3,y,4,y,x,0,y,0,y,0,x,1,y,1,2,y,0,y,1,3,y,0,x,2,y,2,2,y,1,4,y,0,y,2,3,y,1,x,3,y,3,2,y,2,y,3,x,4,y,4,2026/5/3 周日,69,第69页,在节点等距情况下，以,x,n,x,n-,1,x,0,次序建立牛顿基本差商公式,2.3 牛顿后插公式,x,y,y,2,y,3,y,4,y,x,0,y,0,y,0,x,1,y,1,2,y,0,y,1,3,y,0,x,2,y,2,2,y,1,4,y,0,y,2,3,y,1,x,3,y,3,2,y,2,y,3,x,4,y,4,2026/5/3 周日,70,第70页,习 题 五,5已知函数表，求y(0.05)y(0.42)y(0.75)近似值,x,y,y,2,y,3,y,4,y,0.0,1.00000,0.2,1.22140,0.4,1.49182,0.6,1.82212,0.8,2.22554,0.22140,0.27042,0.33030,0.40342,0.04902,0.05988,0.07312,0.01086,0.01324,0.00238,(1)牛顿前插公式求,y(0.05),x,=,0.05,h=0.2,=0.25,n,y,0,n!,P,n,(,x,),=y,0,+t,y,0,1!,+,t,(,t,-1),2,y,0,2!,+,t,(,t,-1)(,t,-,n-1,),y(0.05),1.00000,+0.25*0.22140,+0.25*(0.25-1)*,0.04902,/2,+,0.25*(0.25-1)(0.25-2),3!,*,0.01086,2026/5/3 周日,71,第71页,习 题 五,=,1.05126,+,0.25*(0.25-1)(0.25-2)(0.25-3),4!,*,0.00238,(2),斯梯林插值,公式,求,y(0.42),x,=,0.42,h=0.2,x,y,y,2,y,3,y,4,y,0.0,1.00000,0.2,1.22140,0.4,1.49182,0.6,1.82212,0.8,2.22554,0.22140,0.27042,0.33030,0.40342,0.04902,0.05988,0.07312,0.01086,0.01324,0.00238,=,0.1,y(0.42),1.49182,+,0.1,1,*,0.27042+0.33030,2,+,0.1,2,2,*0.05988+,0.1*(0.1,2,-1),3!,*,0.01086+0.01324,2,+,0.1,2,*(0.1,2,-1),4!,*0.00238,=1.52196,2026/5/3 周日,72,第72页,习 题 五,(3),牛顿后插公式,求,y(0.75),x,y,y,2,y,3,y,4,y,0.0,1.00000,0.2,1.22140,0.4,1.49182,0.6,1.82212,0.8,2.22554,0.22140,0.27042,0.33030,0.40342,0.04902,0.05988,0.07312,0.01086,0.01324,0.00238,x,=,0.75,h=0.2,=,0.75-0.8,0.2,=,-0.25,y(0.75),2.22554,+(-0.25)*,0.40342,+(-0.25)*(-0.25+1)*,0.07312,/2,+,(-0.25)*(-0.25+1)*(-0.25+2),3!,*,0.01324,=,2.11702,+,(-0.25)*(-0.25+1)*(-0.25+2)*(-0.25+3),4!,*,0.00238,2026/5/3 周日,73,第73页,3 拉格朗日插值公式,f,(,x,)=,(,x,0,x,1,)(,x,0,x,2,)(,x,0,x,n,),(,x,x,1,)(,x,x,2,)(,x,x,n,),f,(,x,0,),+,(,x,i,x,0,)(,x,i,x,i-1,)(,x,i,x,i+1,)(,x,i,x,n,),(,x,x,0,)(,x,x,i-1,)(,x,x,i+1,)(,x,x,n,),f,(,x,i,),+,(,x,n,x,0,)(,x,n,x,1,)(,x,n,x,n-1,),(,x,x,0,)(,x,x,1,)(,x,x,n-1,),f,(,x,n,),+,R,n,(,x,),=,L,n,(,x,),+,R,n,(,x,),拉格朗日插值公式,a,i,(,x,),2026/5/3 周日,74,第74页,3.2 舍入误差预计,y,i,a,i,(x)+,a,i,y,i,+,a,i,y,i,2026/5/3 周日,75,第75页,例5.8 预计用插值法计算lg47时误差限,取,x,0,=45,x,1,=48,=1.671898401,解：应用,n=1,拉格朗日插值公式,x,45,48,lgx,1.6532126,1.6812413,2026/5/3 周日,76,第76页,(,45,48),2026/5/3 周日,77,第77页,=(0.3333333+1.6532126)*0.5*10,-7,+(0.6666667+1.6812413)*0.5*10,-7,0.2*10,-3,对于,y=1.671898401,可取,y=1.672,=1.671898401,2026/5/3 周日,78,第78页,5 插值公式唯一性及其应用,插值公式唯一性,若插值节点相同，则插值公式是唯一插值计算中误差,(1)插值公式截断误差预计,(2)插值计算中舍入误差,(,拉格朗日插值公式,),2026/5/3 周日,79,第79页,6 反插值,1.使用反函数插值法,x x,0,x,1,x,n,y y,0,y,1,y,n,y y,0,y,1,y,n,x x,0,x,1,x,n,2.,利用正函数插值公式反插值法,从正插值函数中推出迭代公式,2026/5/3 周日,80,第80页,6.1 使用反函数插值法,例5.10 给出sinx函数表，对y=0.98000000利用y=sinx反函数进行反插值,x,1.74,1.76,1.78,1.80,1.82,sinx,0.98571918,0.98215432,0.97819661,0.9784763,0.96910913,=1.77113820,2026/5/3 周日,81,第81页,7 埃尔米特插值多项式,牛顿型埃米特插值公式,降阶型埃米特插值公式,拉格朗日型埃米特插值,2026/5/3 周日,82,第82页,7.1 牛顿型埃米特插值公式,依据差商和导数关系：,n+1,个,x,0,2026/5/3 周日,83,第83页,7.1 牛顿型埃米特插值公式,将每一节点个数增加到导数+1个后，问题可归结为在m+1个互异节点组上插值问题：,2026/5/3 周日,84,第84页,7.1 牛顿型埃米特插值公式,x,y,y,y,0,3,4,1,5,6,7,x,y,一阶差商,二阶差商,三阶差商,四阶差商,0,3,0,3,1,5,-6.5,1,5,1,5,-2,3.5,6,-0.5,4,n+1,个,x,0,2026/5/3 周日,85,第85页,第六章 数值微分和数值积分,1 数值积分,1 牛顿科特斯求积公式,2 复化求积公式,3 龙贝格法,4 高斯求积,2 数值微分基本方法,1 差商型数值微分,2 插值型数值微分,2026/5/3 周日,86,第86页,2.1 牛顿柯特斯求积公式,f,(,x,),P,n,(,x,),C,i,(n),:,牛顿柯特斯系数,牛顿柯特斯求积公式,柯特斯系数含有对称性,2026/5/3 周日,87,第87页,2.1 牛顿柯特斯求积公式,当,n=1,时,C,0,(1),=,C,1,(1),称为梯形公式：含有,1,次代数准确度,当,n=2,时,N-C,公式称为辛普生公式,(Simpson),:3,次代数准确度,2026/5/3 周日,88,第88页,2.1 牛顿柯特斯求积公式,例6.3 用n=6牛顿柯特斯公式计算以下定积分值,解：,h,=(b-a),/,n=,(1-0)/6=1/6,x,i,=,0,+,i/6,=0.6933,2026/5/3 周日,89,第89页,2.2 复化求积公式,1.复化梯形公式,h,h=(b-a)/M,a,b,(,m=M/n,),个等分区间,2026/5/3 周日,90,第90页,2.2 复化求积公式,2.复化辛卜生公式,M,个小段,a,b,n,小段,M=2m,m,个等分区间,2026/5/3 周日,91,第91页,1.3,复化求积公式,例6.2 对定积分,分别用复化梯形公式,或复化辛卜生公式计算时，需要,M=?,解：,f,(,x,),1/3,f,(4),(,x,),1/5,复化梯形公式,=167,复化辛卜生公式,M=2m=6,2026/5/3 周日,92,第92页,1.3,复化求积公式,例6.3 利用复化辛卜生公式计算积分,解：取,M=2m=10,则,h,=(b-a),/,M=,(1-0)/10=0.1,=0.03333*20.7945,=0.69315,预计截断误差,2026/5/3 周日,93,第93页,3 龙贝格法,当区间,a,b,分为2,k,等分，步长,h=(b-a)/,2,k,复化梯形递推公式为,复化梯形递推公式组成序列,T,1,T,2,T,4,辛卜生序列,S,1,S,2,S,4,柯特斯序列,C,1,C,2,C,4,龙贝格序列,R,1,R,2,R,4,龙贝格求积法,2026/5/3 周日,94,第94页,3 龙贝格法,T,1,T,2,S,1,T,4,S,2,C,1,T,8,S,4,C,2,R,1,T,16,S,8,C,4,R,2,2026/5/3 周日,95,第95页,1.4,龙贝格法,例6.4 求,近似值，要求稳定到小数后5位,解：,=3.13118,=3.14157,=3.14212,T,8,=3.13899,S,4,=3.14159,C,4,=3.14159,2026/5/3 周日,96,第96页,4 高斯求积,高斯求积公式,含有2,n-1,次代数准确度（,n,个插值节点）,特点：使用节点数目少且精度高,2026/5/3 周日,97,第97页,1.7,高斯求积公式,例6.10 利用高斯求积公式(n=3)求以下积分,解：按照公式,求解以下节点值,+0.88889*1.41421,+0.55556*1.66571),=1.39870,2026/5/3 周日,98,第98页,第七章 常微分方程数值解法,初值问题,Initial-Value Problem,假定,(7.1),准确解为,y(x),，,y(x),是,a,b,上变量,x,连续函数，求这个问题数值解就是要在区间,a,b,上一组离散点,a=x,0,x,1,x,n,=b,上求,y(x,i,),近似,y,1,y,2,y,n,.,通常取,x,k+1,=x,k,+h,k,，,h,k,称为步长,数值解法关键是离散化，即消去初值问题中导数项,2026/5/3 周日,99,第99页,Euler法及梯形公式,(1),用向前差商数值微分公式近似导数,(2),用向后差商,数值微分公式,近似导数,(3),用向前和向后差商均值近似导数,梯形法,:,欧拉方法,隐式欧拉法,(,后退欧拉公式,),2026/5/3 周日,100,第100页,7.3 基于数值微分公式方法,例,7.1,用,Euler,法、隐式欧拉法、梯形法求解,y,=-,y,+,x,+1,y,(0)=1,取,h,0.1,计算到,x,=0.5.,解：因为,f,(,x,y,)=-,y,+,x,+1,x,0,=0,y,1,=1,h,=0.1,2026/5/3 周日,101,第101页,7.3 基于数值微分公式方法,2026/5/3 周日,102,第102页,改进,Euler,法,上述三种简单方法中,梯形法局部截断误差最小，但方法是隐式，计算要用迭代法,思绪,:,先用欧拉公式求 一个初步近似值 ，称为预测值，然后用梯形公式校正求得近似值,7.3 基于数值微分公式方法,改进欧拉公式,2026/5/3 周日,103,第103页,7.3 基于数值微分公式方法,例,7.2,用改进,Euler,法求例,7.1,y,=-,y,+,x,+1,y,(0)=1,取,h,0.1,计算到,x,=0.5,2026/5/3 周日,104,第104页,7.3 基于数值微分公式方法,2026/5/3 周日,105,第105页,7.4,龙格,-,库塔（,Runge-Kutta,）法,基本思想：,用函数,f,(,x,y,),在若干点上函数值线性组合来结构近似公式，结构时要求近似公式在,(,x,n,y,n,),处,Taylor,展开式与解,y,(,x,),在,x,n,处,Taylor,展开式前面几项重合，从而使近似公式到达所需阶数。这么既防止了计算函数偏导数，又提升了方法精度，这就是,Runge-Kutta,基本思想。,单步法基本思想是从,(,x,i,y,i,),