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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线 性 代 数,牛莉 等编著,中国水利水电出版社,1/51,第1章,行列式,1.1 全排列及其逆序数,2/51,1.1.1 排列与逆序,自然数 组成有序数组称为一个 元排列，记为 元排列共有个排列 称为自然排列或标准排列，要求其为标准次序,定义1,在一个 元排列 中，若一个大数排在一个小数前面（即与标准次序不一样时），则称这两个数有一个逆序一个 元排列中全部逆序总数，称为此排列逆序数，记为 ,若排列逆序数为奇数（偶数），则称此排列为奇排列（偶排列）,3/51,计算排列逆序数方法：,设 为 个自然数 一个排列，考虑元素,，,假如比 大且排在 前面数有 个，就说这个元素逆序数是，全体元素逆序数总和就是此排列逆序数，即,4/51,例1,求以下排列逆序数：,（1）；,（2）,解,此排列为偶排列,（2）同理可得,此排列奇偶性由 确定,5/51,1.1.2 对换,定义2,将一个排列中某两个数位置交换（其余数不动），就得到了一个新排列，称这么变换为一次对换，将相邻两个数对换，称为相邻对换,定理1,对排列进行一次对换，则改变其奇偶性,由定理1可得下面推论,推论1,奇排列调成自然（标准）排列对换次数为奇数，偶排列调成自然（标准）排列对换次数为偶数,6/51,推论2,全体 元排列（）集合中，奇、偶排列各占二分之一,7/51,1.2 行列式概念,8/51,1.2.1 二、三阶行列式,一、二阶行列式,求解二元一次方程组,(1.2.1),引入符号,称 为二阶行列式（1.2.1）系数行列式），它代,表一个数，简记为 ，其中数,称为行列式 第 （行标）行、第 （列标）列元,素,9/51,当 时，求得方程组(1.2.1)解为,，,依据二阶行列式定义，方程组(1.2.1)解中,分子也可用二阶行列式表示若记,其中 表示将 中第 列换成(1.2.1)式,右边常数项所得到行列式,，,其中,10/51,于是，当系数行列式 时，二元一次方程组(1.2.1)有惟一解,，,11/51,二、三阶行列式,求解三元一次方程组,(1.2.2),引入符号,称为三阶行列式（1.2.2)系数行列式）,12/51,三阶行列式对角线法则：,当系数行列式 时，三元一次方程组(1.2.2)有惟一解,，,其中,13/51,三阶行列式含有以下特点：,（1）三阶行列式值每一项都是位于不一样行，不一样列三个元素乘积，除去符号，每项三个元素按它们在行列式中行次序排成,，其中第一个下标（行标）都按自然次序排列成，而第二个下标（列标）排列成 ，它是自然数 某个排列；,（2）各项所带符号只与列标排列相关：,带正号三项列标排列：；带负号,三项列标排列是：由上节知，前三个,排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，所以,各项所带符号能够表示为 ，其中 为列标排,列逆序数；,14/51,（3）因 共有 个不一样排列，所以对应行列式右端是6项代数和,所以，三阶行列式能够写成,其中 为排列 逆序数，即 ，,上式表示对 三个数全部排列 求和,15/51,1.2.2 阶行列式定义,定义3,称由 个数 排成 行列组成记号,为 阶行列式，简记为 ,16/51,阶行列式可表示为,其中表示对 全部排列取和，数 称,为行列式 元素,定理2,阶行列式也可定义为,其中 为行标排列 逆序数,17/51,定义4,对角线以下（上）元素均为零行列式称为上（下）三角行列式,阶上三角行列式,18/51,同理，阶下三角行列式,19/51,1.3 行列式性质,20/51,转置行列式:,设,将 行与列交换（次序不变），得到新行列式，记为,21/51,称 为 转置行列式显然 也是 转,置行列式，即,性质1,行列式与其转置行列式相等，即,性质2,行列式两行（列）交换，行列式变号,推论,行列式有两行（列）相同，则此行列式为,零,性质3,行列式某一行（列）全部元素都乘以,同一数 ，等于用数 乘此行列式,22/51,推论1 行列式某一行（列）中全部元素公因子能够提到行列式符号外面,推论2行列式某一行（列）中全部元素为零，则此行列式为零,性质4 行列式中有两行（列）元素对应成百分比，则此行列式为零,性质5 若行列式中某一行（列）元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和,23/51,即,24/51,性质6,将行列式某一行（列）各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应元素上，行列式值不变即第 行乘 加到第 行上，有,25/51,为叙述方便，引进以下记号：,（1）交换行列式 两行（列），记为 ；,（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；,（3）将行列式第 行（列）乘 加到第 行,（列）上，记为 ,26/51,例1,计算,解,27/51,例2,计算,解,28/51,例3,计算,解,从第1列开始，前列减后列，然后再在前3列中，前列减后列,29/51,30/51,例4,计算 阶行列式,解,从第1行开始前行乘加到后行上，得,31/51,其中记号“”表示全体同类因子乘积,32/51,1.4 行列式按行（列）展开,33/51,1.4.1 行列式按某一行（列）展开,定义5,在 阶行列式中，将元素 所在第 行和第 列划去，剩下元素按原排列组成 阶行列式，称为 余子式，记为 ；称,为元素 代数余子式,引理,假如 阶行列式中第 行除 外其余元素均为零，则此行列式等于 与它代数余子式乘积，即,34/51,定理3,行列式等于它任意一行（列）各,或,35/51,例1,计算,解,36/51,从而解得,37/51,例2,计算,解,按第1行展开，有,38/51,以此作递推公式，得,39/51,例3,证实范德蒙德（Vander-monde）行列式,证,对行列式阶数用数学归纳法当 时，,，,40/51,结论成立假设对 阶范德蒙德行列式结论成立，往证 阶范德蒙德行列式也成立,从第 行开始，后行减前行 倍，得,按第1列展开，并提出每一列公因子 ，,41/51,有,上式右端行列式是一个 阶范德蒙德行列,式，由归纳法假设，它等于全部 因子乘,积，其中 ，即,42/51,推论,行列式一行（列）各元素与另一行（列）对应各元素代数余子式乘积之和为零，即,或,43/51,结合定理3及推论，得到代数余子式主要性质：,或,其中,44/51,1.5 克拉默（Cramer）法则,45/51,设含有 个未知数，个方程线性方程组为,(1.5.1),阶行列式,称为方程组(1.5.1)系数行列式,46/51,定理5（克拉默法则）,若线性方程组(1.5.1)系数行列式 ，则方程组有惟一解,(1.5.2),其中 是将系数行列式 中第 列元素用方,程组右端常数项 代替后所得到,阶行列式，即,47/51,克拉默法则等价地指出：假如方程组(1.5.1)无,解或有两个不一样解，则它系数行列式,当方程组(1.5.1)右端常数项 全为零时，即,(1.5.3),称(1.5.3)为齐次线性方程组当 不全,为零时，称方程组(1.5.1)为非齐次线性方程组,48/51,显然，齐次线性方程组(1.5.3)必定有解,称之为零解，若解 不全为零，则称,为非零解,定理6,若齐次线性方程组(1.5.3)系数行列,式 ，则它只有零解（没有非零解）反,之，若齐次线性方程组(1.5.3)有非零解，则它,系数行列式 ,49/51,例,问 取何值时，齐次线性方程组,有非零解,解,由定理6可知，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 ，而,50/51,由 ，解得 、或 ,不难验证，当 、或 时，原齐次线性方程组确有非零解,51/51,
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