资源描述
,7.3,压轴大题,2,直线与圆锥曲线,1/44,-,2,-,2/44,-,3,-,3/44,-,4,-,4/44,-,5,-,5/44,-,6,-,1,.,椭圆、双曲线中,a,b,c,e,之间关系,6/44,-,7,-,2,.,求解圆锥曲线标准方程方法是,“,先定型,后计算,”,(1),定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线焦点位置,从而设出标准方程,.,(2),计算,就是利用待定系数法求出方程中,a,2,b,2,或,p.,另外,当焦点位置无法确定时,椭圆常设为,mx,2,+ny,2,=,1(,m,0,n,0),双曲线常设为,mx,2,-ny,2,=,1(,mn,0),抛物线常设为,y,2,=,2,ax,或,x,2,=,2,ay,(,a,0),.,(3),椭圆与双曲线方程形式上可统一为,Ax,2,+By,2,=,1,其中,A,B,是不相等常数,当,AB,0,时,表示焦点在,y,轴上椭圆,;,当,BA,0,时,表示焦点在,x,轴上椭圆,;,当,AB,0,相交,;,0),与直线,l,1,:,x-y+,4,=,0,相切,设点,A,为圆上一动点,AB,x,轴于,B,且动点,N,满足,设动点,N,轨迹为曲线,C.,(1),求曲线,C,方程,;,(2),直线,l,与直线,l,1,垂直且与曲线,C,交于,P,Q,两点,求,OPQ,面积最大值,.,解,(1),设动点,N,(,x,y,),A,(,x,0,y,0,),因为,AB,x,轴于,B,所以,B,(,x,0,0),.,23/44,-,24,-,考向一,考向二,考向三,所以,OPQ,面积最大值为,1,.,24/44,-,25,-,考向一,考向二,考向三,解题策略三,定义法,例,3,已知圆,M,:(,x+,1),2,+y,2,=,1,圆,N,:(,x-,1),2,+y,2,=,9,动圆,P,与圆,M,外切而且与圆,N,内切,圆心,P,轨迹为曲线,C.,(1),求,C,方程,;,(2),l,是与圆,P,圆,M,都相切一条直线,l,与曲线,C,交于,A,B,两点,当圆,P,半径最长时,求,|AB|.,难点突破,(1),将圆位置关系转化为圆心连线关系,从而利用椭圆定义求出轨迹方程,.,(2),在三个圆心组成三角形中,由两边之差小于第三边得动圆最大半径为,2,此时动圆圆心在,x,轴上,由,l,与圆,P,圆,M,都相切组成相同三角形,由相同比得,l,在,x,轴上截距,利用,l,与圆,M,相切得,l,斜率,联立直线与曲线,C,方程,由弦长公式求出,|AB|.,25/44,-,26,-,考向一,考向二,考向三,解,由已知得圆,M,圆心为,M,(,-,1,0),半径,r,1,=,1;,圆,N,圆心为,N,(1,0),半径,r,2,=,3,.,设圆,P,圆心为,P,(,x,y,),半径为,R.,(1),因为圆,P,与圆,M,外切而且与圆,N,内切,所以,|PM|+|PN|=,(,R+r,1,),+,(,r,2,-R,),=r,1,+r,2,=,4,.,由椭圆定义可知,曲线,C,是以,M,N,为左、右焦点,长半轴长为,2,短半轴长为,椭圆,(,左顶点除外,),其方程为,=,1(,x,-,2),.,(2),对于曲线,C,上任意一点,P,(,x,y,),因为,|PM|-|PN|=,2,R-,2,2,所以,R,2,当且仅当圆,P,圆心为,(2,0),时,R=,2,.,所以当圆,P,半径最长时,其方程为,(,x-,2),2,+y,2,=,4,.,若,l,倾斜角不为,90,由,r,1,R,知,l,不平行于,x,轴,设,l,与,x,轴交点为,Q,26/44,-,27,-,考向一,考向二,考向三,27/44,-,28,-,考向一,考向二,考向三,解题心得,1,.,若动点轨迹符合某已知曲线定义,可直接设出对应曲线方程,用待定系数法或题中所给几何条件确定对应系数,从而求出轨迹方程,.,2,.,包括直线与圆位置关系时,应多考虑圆几何性质,利用几何法进行运算求解往往会降低运算量,.,28/44,-,29,-,考向一,考向二,考向三,对点训练,3,定圆,M,:(,x+,),2,+y,2,=,16,动圆,N,过点,F,(,0),且与圆,M,相切,记圆心,N,轨迹为,E.,(1),求轨迹,E,方程,;,(2),设点,A,B,C,在,E,上运动,A,与,B,关于原点对称,且,|AC|=|BC|,当,ABC,面积最小时,求直线,AB,方程,.,解,(1),因为,F,(,0),在圆,M,:(,x+,),2,+y,2,=,16,内,所以圆,N,内切于圆,M.,因为,|NM|+|NF|=,4,|FM|,所以点,N,轨迹,E,为椭圆,且,2,a=,4,c=,所以,b=,1,29/44,-,30,-,考向一,考向二,考向三,(2),当,AB,为长轴,(,或短轴,),时,S,ABC,=|OC|,|AB|=,2,.,当直线,AB,斜率存在且不为,0,时,设直线,AB,方程为,y=kx,A,(,x,A,y,A,),30/44,-,31,-,考向一,考向二,考向三,31/44,-,32,-,考向一,考向二,考向三,直线和圆综合,解题策略,几何法,例,4,(,全国,理,20),已知抛物线,C,:,y,2,=,2,x,过点,(2,0),直线,l,交,C,于,A,B,两点,圆,M,是以线段,AB,为直径圆,.,(1),证实,:,坐标原点,O,在圆,M,上,;,(2),设圆,M,过点,P,(4,-,2),求直线,l,与圆,M,方程,.,难点突破,(1),因圆,M,是以,AB,为直径圆,要证原点,O,在圆,M,上,只需证,OA,OB,k,OA,k,OB,=-,1;,(2),联立直线与抛物线方程,线段,AB,中点坐标,圆心,M,坐标,(,含参数,),r=|OM|,;,圆,M,过点,P,(4,-,2),=,0,参数值,直线,l,与圆,M,方程,.,32/44,-,33,-,考向一,考向二,考向三,解,(1),设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),l,:,x=my+,2,.,所以,OA,OB.,故坐标原点,O,在圆,M,上,.,33/44,-,34,-,考向一,考向二,考向三,(2),由,(1),可得,y,1,+y,2,=,2,m,x,1,+x,2,=m,(,y,1,+y,2,),+,4,=,2,m,2,+,4,.,故,(,x,1,-,4)(,x,2,-,4),+,(,y,1,+,2)(,y,2,+,2),=,0,即,x,1,x,2,-,4(,x,1,+x,2,),+y,1,y,2,+,2(,y,1,+y,2,),+,20,=,0,.,由,(1),可得,y,1,y,2,=-,4,x,1,x,2,=,4,.,所以,2,m,2,-m-,1,=,0,解得,m=,1,或,m=-.,当,m=,1,时,直线,l,方程为,x-y-,2,=,0,圆心,M,坐标为,(3,1),圆,M,半径为,圆,M,方程为,(,x-,3),2,+,(,y-,1),2,=,10,.,34/44,-,35,-,考向一,考向二,考向三,解题心得,处理直线与圆综合问题,要尤其注意圆心、半径及平面几何知识应用,如经惯用到弦心距、半径、弦长二分之一组成直角三角形,利用圆一些特殊几何性质解题,往往使问题简化,.,35/44,-,36,-,考向一,考向二,考向三,对点训练,4,已知圆,O,:,x,2,+y,2,=,4,点,A,(,0),以线段,AB,为直径圆内切于圆,O,记点,B,轨迹为,.,(1),求曲线,方程,;,(2),直线,AB,交圆,O,于,C,D,两点,当,B,为,CD,中点时,求直线,AB,方程,.,36/44,-,37,-,考向一,考向二,考向三,解,(1),设,AB,中点为,M,切点为,N,连接,OM,MN,则,|OM|+|MN|=|ON|=,2,|AB|=|ON|-,(,|OM|-|MN|,),=,2,-|OM|+|AB|,即,|AB|+,2,|OM|=,4,.,取,A,关于,y,轴对称点,A,连接,AB,则,|AB|=,2,|OM|,故,|AB|+,2,|OM|=|AB|+|AB|=,4,.,所以点,B,轨迹是以,A,A,为焦点,长轴长为,4,椭圆,.,37/44,-,38,-,考向一,考向二,考向三,(2),因为,B,为,CD,中点,38/44,-,39,-,考向一,考向二,考向三,直线与圆锥曲线综合,解题策略,判别式法,例,5,在平面直角坐标系,xOy,中,已知椭圆,C,1,:(,ab,0),左焦点为,F,1,(,-,1,0),且点,P,(0,1),在,C,1,上,.,(1),求椭圆,C,1,方程,;,(2),设直线,l,同时与椭圆,C,1,和抛物线,C,2,:,y,2,=,4,x,相切,求直线,l,方程,.,难点突破,(1),由焦点坐标知,c=,1,由点,P,在椭圆上知,b,从而求得椭圆方程,.,(2),求直线方程即求直线方程中斜率,k,截距,m,由,l,同时与椭圆,C,1,和抛物线,C,2,相切,联立两个方程组,由判别式等于,0,得出关于,k,m,两个方程,解之得直线方程,.,39/44,-,40,-,考向一,考向二,考向三,解,(1),因为椭圆,C,1,左焦点为,F,1,(,-,1,0),点,P,(0,1),在,C,1,上,所以,c=,1,b=,1,所以,a,2,=b,2,+c,2,=,2,.,所以椭圆,C,1,方程为,+y,2,=,1,.,(2),由题意可知,直线,l,斜率显然存在且不等于,0,消去,y,并整理得,(1,+,2,k,2,),x,2,+,4,kmx+,2,m,2,-,2,=,0,.,因为直线,l,与椭圆,C,1,相切,所以,1,=,16,k,2,m,2,-,4(1,+,2,k,2,)(2,m,2,-,2),=,0,.,整理得,2,k,2,-m,2,+,1,=,0,.,40/44,-,41,-,考向一,考向二,考向三,因为直线,l,与抛物线,C,2,相切,所以,2,=,(2,km-,4),2,-,4,k,2,m,2,=,0,整理得,km=,1,.,解题心得,1,.,判断直线与圆锥曲线交点个数时,可利用消元后一元二次方程判别式来确定,需注意利用判别式前提是二次项系数不为,0,.,2,.,依据直线与圆锥曲线交点个数求参数时,联立方程组并消元转化为一元方程,若二次项系数为,0,则方程为一次方程,;,若不为,0,则将方程解个数转化为判别式与,0,大小关系求解,.,41/44,-,42,-,考向一,考向二,考向三,(1),求椭圆,C,方程,;,(2),如图,若斜率为,k,(,k,0),直线,l,与,x,轴、椭圆,C,相交于点,A,M,N,(,点,A,在椭圆右顶点右侧,),且,NF,2,F,1,=,MF,2,A.,求证,:,直线,l,恒过定点,并求出斜率,k,取值范围,.,42/44,-,43,-,考向一,考向二,考向三,(2),由题意,设直线,l,方程为,y=kx+m,(,k,0),M,(,x,1,y,1,),N,(,x,2,y,2,),.,得,(2,k,2,+,1),x,2,+,4,kmx+,2,m,2,-,2,=,0,.,由,=,16,k,2,m,2,-,4(2,k,2,+,1)(2,m,2,-,2),0,得,m,2,2,k,2,+,1,43/44,-,44,-,考向一,考向二,考向三,化简得,2,kx,1,x,2,+,(,m-k,)(,x,1,+x,2,),-,2,m=,0,44/44,
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