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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,习题课,一、曲线积分计算法,二、曲面积分计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,线面积分计算,第十章,第1页,一、曲线积分计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)统一积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,练习题:,P184 题 3(1),(3),(6),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,解答提醒:,计算,其中,L,为圆周,提醒:,利用极坐标,原式=,说明:,若用参数方程计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P184,3(1),第3页,P184,3(3).,计算,其中,L,为摆线,上对应,t,从 0 到 2,一段弧.,提醒:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,P184,3(6).,计算,其中,由平面,y=z,截球面,提醒:,因在,上有,故,原式=,从,z,轴正向看沿逆时针方向.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,(1)利用对称性及重心公式简化计算;,(2)利用积分与路径无关等价条件;,(3)利用格林公式(注意,加辅助线技巧,);,(4)利用斯托克斯公式;,(5)利用两类曲线积分联络公式.,2.基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,例1.,计算,其中,为曲线,解:,利用轮换对称性,有,利用,重心公式,知,(,重心在原点),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,例2.,计算,其中,L,是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1,令,则,这说明积分与路径无关,故,a,为半径上半圆周.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,解法2,它与,L,所围区域为,D,(利用格林公式),思索:,(2)若,L,同例2,怎样计算下述积分:,(1)若,L,改为,顺时针方向,怎样计算下述积分:,则,添加辅助线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,思索题解答:,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,计算,其中,L,为上半圆周,提醒:,沿逆时针方向.,练习题:,P184 题 3(5);P185 题6;10,3(5).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,P185,6,.,设在右半平面,x,0 内,力,组成力场,其中,k,为常数,证实在此力场中,场力所作功与所取路径无关.,提醒:,令,易证,F,沿右半平面内任意有向路径,L,所作功为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,P185,10.,求力,沿有向闭曲线,所作,功,其中,为平面,x+y+z=,1,被三个坐标面所截成三,提醒:,方法1,从,z,轴正向看去沿,顺时针方向,.,利用对称性,角形整个边界,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,设三角形区域为,方向,向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,二、曲面积分计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),转化,二重积分,(1)统一积分变量 代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:一直非负,第二类:有向投影,(3)确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,思 考 题,1)二重积分是哪一类积分?,答:,第一类曲面积分特例.,2)设曲面,问以下等式是否成立?,不对!,对坐标积分与,侧相关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,2.基本技巧,(1)利用对称性及重心公式简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面技巧,(辅助面普通取平行坐标面平面),(3)两类曲面积分转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,练习:,P185 题4(3),其中,为半球面,上侧.,且取下侧,提醒:,以半球底面,原式=,P185 题4(2),P185 题 9,一样可利用高斯公式计算.,记半球域为,高斯公式有,计算,为辅助面,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,例3.,证实:,设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,设,为简单闭曲面,a,为,任意固定,向量,n,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,例4.,计算曲面积分,其中,解:,思索:,本题,改为椭球面,时,应怎样,计算?,提醒:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,例5.,设,是曲面,解:,取足够小正数,作曲面,取下侧,使其包在,内,为,xoy,平面上夹于,之间部分,且取下侧,取上侧,计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,第二项添加辅助面,再用高斯公式,计算,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,例6.,计算曲面积分,中,是球面,解:,利用对称性,用重心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,例7.,设,L,是平面,与柱面,交线,从,z,轴正向看去,L,为逆时针方向,计算,解:,记,为平面,上,L,所围部分上侧,D,为,在,xoy,面上投影.,由,斯托克斯公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,D,形心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,作业,P184 3,(2),(4);,3,(2),5 ;8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,(1)在任一固定时刻,此卫星能监视地球表面积是,备用题,地球一个侦察卫星携带广角高分辨率摄,象机能监视其”视线”所及地球表面每一处景象并摄,像,若地球半径为,R,卫星距地球表面高度为,H,=0.25,R,卫星绕地球一周时间为,T,试求,(2)在,解:,如图建立坐标系.,时间内,卫星监视地球,表面积是多少?,多少?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第27页,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视地球表面积为,(2)在,时间内监视地球表面积为,点击图片任意处,播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中,S,0,为盲区面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第28页,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视地球表面积为,(2)在,其中盲区面积,时间内监视地球表面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第29页,斯托克斯(Stokes)公式,第30页,
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