7-函数的连续性省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,二、函数间断点,一、函数连续性定义,2.8,函数连续性,第二章,现实世界中很多变量是连续不停.如,气温,、,时间,、,物体运动,等等，都是,连续改变,.,这种现象反应在,数学上,就是,连续性,，,函数连续性是微积分又一主要概念！,第1页,可见,函数,在点,定义:,在,某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备以下条件:,存在;,且,有定义,存在;,一、函数连续性定义,若,在,某开区间内,每一点,都连续,则称,它在该,开区间内连续,或称它为该开区间内,连续函数.,第2页,continue,比如,在,上连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其,定义域,内连续,.,在闭区间,上连续函数集合记作,只要,都有,第3页,对自变量,x,0,增量,有,函数增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,x,0,连续,有以下,等价命题,:,第4页,函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,连续,两种,等价定义:,假设函数,f,(,x,),在点,x,0,某临域内有定义.,充要条件是,充要条件是,问题：,什么样函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,连续,？,第5页,例1.,证实函数,在,内连续.,证:,即,这说明,在,内连续.,一样可证:函数,在,内连续.,第6页,这说明，对于,连续函数,，,极限符号,与,函数符号,能够交换.,比如,注意,：对于,非,连续函数,，,极限符号,与,函数符号,不一定,能够交换.,若函数,f,(,x,)在,开区间(,a,b,)内,每一点,都连续,而且,则称函数,f,(,x,),在,在点,x,=,a,右,连续，,在点,x,=,b,左,连续,或称它为该区间上,连续函数.,闭区间,a,b,上连续.,第7页,在,在,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,某去心邻域内,有定义,则,这么点,以下情形,之一,函数,f,(,x,)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为函数,f,(,x,),间断点,.,在,无定义;,二、函数间断点,第8页,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中,最少一个不存在,称,若其中有一个为,振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为,振荡间断点,.,第9页,为其,无穷,间断点.,为其,振荡,间断点.,为,可去,间断点.,比如,:,第10页,显然,为其,可去间断点,.,(4),(5),为其,跳跃间断点,.,第11页,1.讨论函数,x,=2 是第二类无穷间断点.,间断点类型.,2.设,时,提醒:,在,x,=,0,连续函数.,答案,:,x,=1 是第一类可去间断点,练习题,第12页,3 确定函数,间断点类型.,解:,间断点,为,无穷,间断点;,故,为跳跃间断点.,第13页,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限最少有一个不存在,在点,间断类型,在点,连续等价形式,第14页,一、连续函数运算法则,二、初等函数连续性,连续函数运算与,初等函数连续性,第二章,第15页,定理2.,连续单调递增 函数反函数,在其定义域内连续,定理1.,在某点连续,有限个,函数经,有限次,和,差,连续函数.,(利用极限四则运算法则证实),积,商,(分母不为 0),运算结果,仍是一个在该点,比如,比如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证实略),在 1,1 上也连续单调递增.,单调递增,(递减),也连续,一、连续函数运算法则,第16页,在,上连续单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,定理3.,（,连续函数复合函数是连续）,若函数,在点,x,0,连续，且,函数,在点,u,0,连续，,则复合函数,在点,x,0,连续，即,定理3可修改为下面求复合函数极限定理,第17页,定理4,（复合函数求极限）,若函数,在点,x,0,有极限，即,又函数,f,(,x,)点,a,连续，,则复合函数,在点,x,0,但,或者,在点,x,0,无定义,(,即,x,0,是可去间断点,),极限存在，为,若函数,f,(,x,)连续，则,f,(,x,),一定连续.,反之，若,f,(,x,),连续，函数,f,(,x,)不一定连续.,x,为有理数,x,为无理数,第18页,比如,是由连续函数链,所以,在,上连续.,复合而成,第19页,补例.,设,均在,上连续,证实函数,也在,上连续.,证:,依据连续函数运算法则,可知,也在,上连续.,第20页,二、初等函数连续性,基本初等函数在,定义区间,内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,比如,连续区间为,(端点为单侧连续),连续区间为,定义域为,所以它无连续点,而,第21页,例1.,求,解:,原式,例2.,求,解:,令,则,原式,说明:,当,时,有,利用连续函数复合函数连续性求极限,第22页,例3.,求,解:,原式,说明:,若,则有,第23页,例4.,求,解:,原式=,第24页,例5.,设,解:,讨论复合函数,连续性.,故此时连续;,而,故,x,=1,为,第一类间断点,.,在点,x,=1,不连续,第25页,思索与练习,续?,反例,x,为有理数,x,为无理数,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,提醒:,“反之”不成立.,第26页,内容小结,基本初等函数在,定义区间,内连续,连续函数,四则运算,结果连续,连续函数,反函数,连续,连续函数,复合函数,连续,初等函数在,定义区间,内连续,说明,:分段函数在界点处是否连续需讨论其,左、右连续性.,第27页,