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,13.1,合情推理与演绎推理,1/67,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/67,基础知识自主学习,3/67,1.,合情推理,知识梳理,(1),归纳推理,定义：由某类事物部分对象含有一些特征，推出该类事物,_,对象都含有这些特征推理，或者由个别事实概括出,推理，称为归纳推理,(,简称归纳,).,特点：由,到整体、由,到普通推理,.,全部,普通结论,部分,个别,4/67,(2),类比推理,定义：由两类对象含有一些,和其中一类对象一些已知特征，推出另一类对象也含有这些特征推理称为类比推理,(,简称类比,).,特点：由,到,推理,.,(3),合情推理,归纳推理和类比推理都是依据已经有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、,，然后提出猜测推理，我们把它们统称为合情推理,.,类似特征,特殊,特殊,类比,5/67,(1),演绎推理,从普通性原理出发，推出某个特殊情况下结论，我们把这种推理称为演绎推理,.,简言之，演绎推理是由,到,推理,.,(2),“,三段论,”,是演绎推理普通模式，包含：,大前提,已知,；,小前提,所研究,；,结论,依据普通原理，对,做出判断,.,2.,演绎推理,普通,特殊,普通原理,特殊情况,特殊情况,6/67,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),归纳推理得到结论不一定正确，类比推理得到结论一定正确,.(,),(2),由平面三角形性质推测空间四面体性质，这是一个合情推理,.(,),(3),在类比时，平面中三角形与空间中平行六面体作为类比对象较为适当,.(,),思索辨析,7/67,(4),“,全部,3,倍数都是,9,倍数，某数,m,是,3,倍数，则,m,一定是,9,倍数,”,，这是三段论推理，但其结论是错误,.(,),(5),一个数列前三项是,1,2,3,，那么这个数列通项公式是,a,n,n,(,n,N,*,).(,),(6),在演绎推理中，只要符合演绎推理形式，结论就一定正确,.(,),8/67,考点自测,1.,观察以下各式：,a,b,1,，,a,2,b,2,3,，,a,3,b,3,4,，,a,4,b,4,7,，,a,5,b,5,11,，,，则,a,10,b,10,等于,A.28 B.76,C.123 D.199,答案,解析,从给出式子特点观察可推知，等式右端值，,从第三项开始，后一个式子右端值等于它前面两个式子右端值和，依据此规律，,a,10,b,10,123.,9/67,答案,解析,2.,下面几个推理过程是演绎推理是,A.,在数列,a,n,中，,a,1,1,，,a,n,(,a,n,1,)(,n,2),，由此归纳数列,a,n,通项公式,B.,由平面三角形性质，推测空间四面体性质,C.,两直线平行，同旁内角互补，假如,A,和,B,是两条平行直线与第,三条直线形成同旁内角，则,A,B,180,D.,某校高二共,10,个班，,1,班,51,人，,2,班,53,人，,3,班,52,人，由此推测各班,都超出,50,人,A,、,D,是归纳推理，,B,是类比推理，,C,符合三段论模式，故选,C.,10/67,3.(,济南,调研,),类比平面内,“,垂直于同一条直线两条直线相互平行,”,性质，可得出空间内以下结论：,垂直于同一个平面两条直线相互平行；,垂直于同一条直线两条直线相互平行；,垂直于同一个平面两个平面相互平行；,垂直于同一条直线两个平面相互平行,.,则正确结论是,_.,答案,解析,显然,正确；对于,，在空间中垂直于同一条直线两条直线能够平行，也能够异面或相交；,对于,，在空间中垂直于同一个平面两个平面能够平行，也能够相交,.,11/67,4.(,教材改编,),在等差数列,a,n,中，若,a,10,0,，则有,a,1,a,2,a,n,a,1,a,2,a,19,n,(,n,19,，,n,N,*,),成立，类比上述性质，在等比数列,b,n,中，若,b,9,1,，则存在等式为,_.,答案,解析,利用类比推理，借助等比数列性质，,b,1,b,2,b,n,b,1,b,2,b,17,n,(,n,0,，,a,n,1,a,n,2,，,当,n,2,时，,a,n,是公差为,2,等差数列,.,又,a,2,，,a,5,，,a,14,成等比数列，,解得,a,2,3.,31/67,a,n,2,n,1.,由,(1),知,a,1,1,，,又,a,2,a,1,3,1,2,，,数列,a,n,是首项,a,1,1,，公差,d,2,等差数列,.,32/67,证实,33/67,演绎推理是由普通到特殊推理，惯用普通模式为三段论，演绎推理前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确大前提，普通地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立充分条件作为大前提,.,思维升华,34/67,跟踪训练,3,(1),某国家流传这么一个政治笑话：,“,鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅,.,”,结论显然是错误，是因为,答案,解析,A.,大前提错误,B.,小前提错误,C.,推理形式错误,D.,非以上错误,因为大前提,“,鹅吃白菜,”,，不是全称命题，大前提本身正确，,小前提,“,参议员先生也吃白菜,”,本身也正确，,但不是大前提下特殊情况，鹅与人不能类比，,所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误,.,35/67,(2)(,洛阳模拟,),以下四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确是,A.,大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：,是无理数；结论：,是无限不循环小数,B.,大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：,是无限不循环小数；,结论：,是无理数,C.,大前提：,是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；,结论：,是无理数,D.,大前提：,是无限不循环小数；小前提：,是无理数；结论：无限不,循环小数是无理数,答案,解析,36/67,A,中小前提不是大前提特殊情况，不符合三段论推理形式，故,A,错误；,C,、,D,都不是由普通性命题到特殊性命题推理，所以,C,、,D,都不正确，,只有,B,正确，故选,B.,37/67,合情推理在近年来高考中，考查频率逐步增大，题型多为选择、填空题，难度为中等,.,处理这类问题注意事项与惯用方法：,(1),处理归纳推理问题，常因条件不足，了解不全方面而致误,.,应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳,.,(2),处理类比问题，应先搞清所给问题实质及已知结论成立缘由，再去类比另一类问题,.,高考中合情推理问题,高频小考点,10,考点分析,38/67,典例,(1),传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数,.,他们研究过如图所表示三角形数：,将三角形数,1,3,6,10,，,记为数列,a,n,，将可被,5,整除三角形数按从小到大次序组成一个新数列,b,n,，能够推测：,b,2 014,是数列,a,n,第,_,项；,答案,解析,5035,39/67,40/67,41/67,b,2,k,1,_.(,用,k,表示,),答案,解析,42/67,(2),设,S,，,T,是,R,两个非空子集，假如存在一个从,S,到,T,函数,y,f,(,x,),满足：,(i),T,f,(,x,)|,x,S,；,(ii),对任意,x,1,，,x,2,S,，当,x,1,x,2,时，恒有,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,那么称这两个集合,“,保序同构,”.,以下集合对不是,“,保序同构,”,是,_.,A,N,*,，,B,N,；,A,x,|,1,x,3,，,B,x,|,x,8,或,0,x,10,；,A,x,|0,x,1,，,B,R,；,A,Z,，,B,Q,.,答案,解析,43/67,对于,，取,f,(,x,),x,1,，,x,N,*,，,所以,A,N,*,，,B,N,是,“,保序同构,”,，故排除,；,所以,A,x,|,1,x,3,，,B,x,|,x,8,或,0,x,10,是,“,保序同构,”,，故排除,；,对于,，取,f,(,x,),tan(,x,)(0,x,1),，所以,A,x,|0,x,0,且,a,1),是增函数，而函数,y,是对数函数，所以,y,是增函数,”,所得结论错误原因是,A.,大前提错误,B.,小前提错误,C.,推理形式错误,D.,大前提和小前提都错误,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,log,a,x,因为当,a,1,时，,y,log,a,x,在定义域内单调递增，,当,0,a,|,AB,|,，则,P,点轨迹为椭圆,B.,由,a,1,1,，,a,n,3,n,1,，求出,S,1,，,S,2,，,S,3,，猜测出数列前,n,项和,S,n,表,达式,C.,由圆,x,2,y,2,r,2,面积,r,2,，猜测出椭圆,1,面积,S,ab,D.,科学家利用鱼沉浮原理制造潜艇,答案,解析,从,S,1,，,S,2,，,S,3,猜测出数列前,n,项和,S,n,，是从特殊到普通推理，,所以,B,是归纳推理，故应选,B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,47/67,3.(,西安八校联考,),观察一列算式：,1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,，,，则式子,3,5,是第,A.22,项,B.23,项,C.24,项,D.25,项,答案,解析,两数和为,2,有,1,个，和为,3,有,2,个，和为,4,有,3,个，和为,5,有,4,个，,和为,6,有,5,个，和为,7,有,6,个，前面共有,21,个，,3,5,是和为,8,第,3,项，所认为第,24,项,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,48/67,4.(,泉州模拟,),正偶数列有一个有趣现象：,2,4,6,；,8,10,12,14,16,；,18,20,22,24,26,28,30,，,按照这么规律，则,2 016,所在等式序号为,A.29 B.30 C.31 D.32,答案,解析,即第,31,个等式中最终一个偶数是,1 023,2,2 046,，且第,31,个等式中含有,63,个偶数，故,2 016,在第,31,个等式中,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,49/67,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,50/67,若,c,n,是等比数列，,即,d,n,为等比数列，故选,D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,51/67,6.,把正整数按一定规则排成如图所表示三角形数表，设,a,ij,(,i,，,j,N,*,),是位于这个三角形数表中从上往下第,i,行，从左往右数第,j,个数，如,a,42,8,，若,a,ij,，则,i,与,j,和为,_.,答案,解析,107,由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，,2 009,2,1 005,1,，,所以,2 009,为第,1 005,个奇数，又前,31,个奇数行内数个数为,961,，,前,32,个奇数行内数个数为,1024,，故,在第,32,个奇数行内，则,i,63,，,因为第,63,行第,1,个数为,2,962,1,1 923,2 009,1 923,2(,j,1),，,所以,j,44,，所以,i,j,107.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,52/67,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,53/67,则,P,1,，,P,2,切线方程分别是,设,P,1,(,x,1,，,y,1,),，,P,2,(,x,2,，,y,2,),，,因为,P,0,(,x,0,，,y,0,),在这两条切线上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,54/67,8.,如图，我们知道，圆环也能够看作线段,AB,绕圆心,O,旋转一周所形成平面图形，又圆环面积,S,(,R,2,r,2,),(,R,r,),2,.,所以，圆环面积等于以线段,AB,R,r,为宽，以,AB,中点绕圆心,O,旋转一周所形成圆周长,2,为长矩形面积,.,请你将上述想法拓展到空间，并处理以下问题：若将平面区域,M,(,x,，,y,)|(,x,d,),2,y,2,r,2,(,其中,0,r,d,),绕,y,轴旋转一周，则所形成旋转体体积是,_.,2,2,r,2,d,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,答案,解析,55/67,平面区域,M,面积为,r,2,，,由类比知识可知：,平面区域,M,绕,y,轴旋转一周得到旋转体为实心车轮内胎，,旋转体体积等于以圆,(,面积为,r,2,),为底，,以,O,为圆心、,d,为半径圆周长,2,d,为高圆柱体积，,所以旋转体体积,V,r,2,2,d,2,2,r,2,d,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,56/67,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,证实,57/67,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,58/67,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,59/67,10.(,泉州模拟,),先阅读以下不等式证法，再处理后面问题：,已知,a,1,，,a,2,R,，,a,1,a,2,1,，求证,.,证实：结构函数,f,(,x,),(,x,a,1,),2,(,x,a,2,),2,，,因为对一切,x,R,，恒有,f,(,x,),0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,60/67,(1),若,a,1,，,a,2,，,，,a,n,R,，,a,1,a,2,a,n,1,，请写出上述结论推广式；,解答,若,a,1,，,a,2,，,，,a,n,R,，,a,1,a,2,a,n,1,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,61/67,(2),参考上述证法，对你推广结论加以证实,.,证实,结构函数,f,(,x,),(,x,a,1,),2,(,x,a,2,),2,(,x,a,n,),2,.,因为对一切,x,R,，恒有,f,(,x,),0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,62/67,*11.,对于三次函数,f,(,x,),ax,3,bx,2,cx,d,(,a,0),，给出定义：设,f,(,x,),是函数,y,f,(,x,),导数，,f,(,x,),是,f,(,x,),导数，若方程,f,(,x,),0,有实数解,x,0,，则称点,(,x,0,，,f,(,x,0,),为函数,y,f,(,x,),“,拐点,”.,某同学经过探究发觉：任何一个三次函数都有,“,拐点,”,；任何一个三次函数都有对称中心，且,“,拐点,”,就是对称中心,.,若,f,(,x,),，请你依据这一发觉，,(1),求函数,f,(,x,),对称中心；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,63/67,f,(,x,),x,2,x,3,，,f,(,x,),2,x,1,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,64/67,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,65/67,即,f,(,x,),f,(1,x,),2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,66/67,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,67/67,
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