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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 刚体的转动,第四章 教学基本要求,第五章 刚体转动,1/64,教学基本要求,一,了解,描写刚体定轴转动物理量，并掌握角量与线量关系.,二,了解,力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动转动定理.,三,了解,角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下角动量守恒问题.,能利用以上规律分析和处理包含质点和刚体简单系统力学问题.,四 了解,刚体定轴转动转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动问题中正确地应用机械能守恒定律,2/64,一 刚体,5.1 刚体转动描述,1 定义,：在外力作用下，形状和大小都不发生改变,物体.,note：1）理想化模型。,2）刚体运动时，各质点之间相对距离不发生,改变。,3）视为内力无穷大特殊,质点系,。,3/64,2 刚体运动形式：平动、转动.,刚体平动 质点运动,1）,平动,：若刚体中全部点,运动轨迹,都保持完全相同，或者说刚体内,任意两点间连线总是平行,于它们初始位置间连线.,4/64,2）,转动,：刚体中全部点都绕同一直线做,圆周运动,.转动又分定轴转动和非定轴转动.,刚体平面运动.,5/64,3)刚体普通运动,质心平动,绕质心转动,+,6/64,二 刚体转动角速度和角加速度,参考平面,角位移,角坐标,q,约定,沿逆时针方向转动,沿顺时针方向转动,角速度,矢量,方向,:右手,螺旋方向,参考轴,7/64,角加速度,1）,每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；,2）,任一质点运动 均相同，但 不一样；,3）,运动描述仅需一个坐标.,定轴转动,特点,刚体,定轴,转动（一维转动）转动方向能够用角速度正负来表示.,8/64,三 匀变速转动公式,刚体,绕,定轴作匀变速转动,质点,匀变速直线运动,当刚体绕定轴转动,角加速度为恒量,时，刚体做,匀变速转动.,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,9/64,四 角量与线量关系,10/64,飞轮,30 s,内转过角度,例1,一飞轮半径为,0.2m,、转速为,150r,min,-1,，因受制动而均匀减速，经,30 s,停顿转动.试求：,（,1,）角加速度和在此时间内飞轮所转圈数；（2）制动开始后,t,=6 s,时飞轮角速度；（,3,）,t,=6 s 时飞轮边缘上一点线速度、切向加速度和法向加速度.,解,（,1,）,t,=30 s,时，,设,.飞轮做匀减速运动,时，,t,=0 s,11/64,（2）,时，飞轮角速度,（3）,时，飞轮边缘上一点线速度大小,该点切向加速度和法向加速度,转过圈数,12/64,刚体绕,O z,轴旋转,力 作用在刚体上点,P,且在转动平面内,为由点,O,到力作用点,P,径矢.,一 力矩,P,*,O,2 转动定律,力臂,：从O点到 作用线垂直距离,d,叫力臂。,力矩为：,力大小和力臂乘积，叫做力 对,转轴Z,力矩。,13/64,是一矢量。,大小,：,方向,：右手螺旋。,思索：,与Z轴平行力在Z轴上力矩等于多少？作用线过Z轴力在Z轴上力矩等于多少？,判断：,平行于Z轴力对Z轴力矩一定是0，垂直于Z轴力对Z轴力矩一定不为0.,14/64,O,讨论,1,）,若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向两个分量,2,）合,力矩等于各分力矩,矢量和,其中 对转轴力,矩为零，故 对转轴力矩,15/64,结论：刚体所受协力为0是，刚体协力矩能够为0，也能够不为0.当协力矩为0时，协力不一定为0.,T,1,T,1,16/64,3,）,刚体内作用力和,反,作用力力矩相互,抵消,O,17/64,O,二 转动定律,2）,刚体,质量元受,外,力 ，,内,力,1）,单个质点 与转轴刚性连接,外,力矩,内,力矩,O,18/64,刚体所受对于某一固定轴协力矩等于刚体对此转轴,转动惯量与,刚体在此协力矩作用下所取得,角加速度,乘积。,转动定律,定义转动惯量,O,19/64,Note：1）转动定律中各量均对同一转轴。,2）此方程式类似于 。,说明力矩是使刚体状态发生改变而产生角加速度原因。,20/64,三 转动惯量,物理,意义,：转动惯性量度.,质量,离散分布,刚体转动惯量,转动惯性计算方法,质量,连续分布,刚体转动惯量,：质量元,21/64,对质量线分布刚体：,：质量线密度,对质量面分布刚体：,：质量面密度,对质量体分布刚体：,：质量体密度,：质量元,质量,连续分布,刚体转动惯量,22/64,O,O,解,设棒线密度为 ，取一距离转轴,OO,为 处质量元,例1,一,质量为 、长为 均匀细长棒，求经过棒中心并与棒垂直轴转动惯量.,O,O,如转轴过端点垂直于棒,23/64,O,R,O,例2,一质量为 、半径为 均匀圆盘，求经过盘中心,O,并与盘面垂直轴转动惯量.,解,设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 圆环,而,圆环质量,所以,圆环对轴转动惯量,24/64,四,平行轴定理,P,转动惯量大小取决于刚体,质量,、,形状及转轴位置,.,质量为,刚体,，,假如对其质心轴转动惯量为,，,则对任一与该轴平行,，,相距为,转轴转动惯量,C,O,注意,圆盘对,P,轴转动惯量,O,25/64,例4,二分之一径为R，质量密度为,薄圆盘，有两个半径均为 圆孔，两圆孔中心距离圆盘中心距离均为 ，如图所表示。求此薄圆盘对于经过圆盘中心而与盘面垂直轴转动惯量。,O,26/64,解：,赔偿法,构想在带孔圆盘每个小孔处填充质量为+m和-m 且相等小圆盘，这么并不会改变原来质量分布，但形成了正质量大圆盘和负质量小圆盘组合体，它们转动惯量都能够按公式计算，而带孔圆盘转动惯量能够由叠加法求出！,正质量大圆盘对盘心O转动惯量 为：,27/64,两个负质量小圆盘对O轴转动惯量为：,于是带孔圆盘对O轴转动惯量为：,28/64,练习1：,一可忽略质量轻质平面正方形框架，边长为,a,，其四个顶点上分别有一个质量为m质点(平行轴定理)。,求：1）此质点系垂直于正方形平面且过中心轴OZ转动惯量。,2）若转轴平移至其中一个顶点，转动惯量为多少？,3）若转轴平移至正方形一边中点，转动惯量为多少？,O,Z,29/64,练习2：求,如图所表示刚体对经过棒端且与棒垂直轴转动惯量。,L,R,m,0,m,L,Z,30/64,五,转动定律应用,定轴转动刚体与可视为质点物体组成系统力学问题。处理这类问题方法与处理质点力学问题相同：,1）,选取研究对象,2）,分析各隔离体所受力或者力矩，判断各隔离体运动情况,3）,应用牛顿定律（质点）或转动定律（刚体）分别列出方程,4）,建立角量与线量之间关系（质点与刚体之间联络）,5）,连列方程求解,简单刚体定轴转动，直接应用转动定,律,求解。,31/64,例5,一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链,O,相接，并可绕其转动.因为此竖直放置细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链,O,转动.试计算细杆转动到与竖直线成 角时角加速度和角速度.,解,细杆受重力和,铰链对细杆约束力,作用，由转动定律得,32/64,式中,得,由角加速度定义,代入初始条件积分 得,33/64,例6,质量为 物体,A,静止在光滑水平面上，和一质量不计绳索相连接，绳索跨过二分之一径为,R,、质量为 圆柱形滑轮,C,，并系在另一质量为 物体,B,上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间摩擦力可略去不计.问：（,1,）两物体线加速度为多少？水平和竖直两段绳索张力各为多少？（,2,）物体,B,从,静止落下距离,时，其速率是多少？,A,B,C,34/64,A,B,C,O,O,35/64,解,（,1,）隔离物体分别对物体,A,、,B,及滑轮作受力分析，取坐标如图，利用牛顿第二定律 、转动定律列方程.,36/64,如令 ，可得,（2）,B,由静止出发作匀加速直线运动，下落速率,A,B,C,37/64,力矩时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理.,一 质点角动量定理和角动量守恒定律,力时间累积效应 冲量、动量、动量定理.,3 角动量 角动量守恒,1,质点角动量,质量为 质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点,O,位矢为 ，质点,相对于原点角动量,大小,方向符合右手法则.,38/64,1）质点以角速度 作半径为,圆运动，相对圆心角动量,2）角动量与位矢 和动量 相关，即与参考点O选择相关。所以，在讲述质点角动量时，必须指明是针对哪一点角动量。,3）角动量定义并没有对质点运动做任何限制，做直线运动质点对选定参考点一样含有角动量。,39/64,作用于质点协力对,参考点,O,力矩，等于质点对该点,O,角动量,随时间,改变率,.,2,质点角动量定理,40/64,质点所受对参考点,O,协力矩为零时，质点对该参考点,O,角动量为一恒矢量.,恒矢量,冲量矩,质点（系）角动量定理,：对同一参考点,O,，质点（系）所受冲量矩等于质点（系）角动量增量.,3,质点（系）角动量守恒定律,41/64,例7,二分之一径为,R,光滑,圆环置于竖直平面内.一质量为,m,小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上点,A,(该点在经过环心,O,水平面上),然后从,A,点开始下滑.设小球与圆环间摩擦略去不计.求小球滑到点,B,时对环心,O,角动量和角速度.,解,小球受重力和支持力作用,支持力力矩为零,重力矩垂直纸面向里,由质点角动量定理,42/64,考虑到,得,由初始条件积分上式,43/64,二 刚体定轴转动角动量定理和角动量守恒定律,1,刚体定轴转动角动量,2,刚体定轴转动角动量定理,非刚体定轴转动角动量定理,O,44/64,角动量守恒定律是自然界一个基本定律.,内力矩不改变系统角动量.,守 恒条件,若 不变，不变；若 变，也变，但 不变.,刚体定轴转动角动量定理,3,刚体定轴转动角动量守恒定律,，则,若,讨论,在,冲击,等问题中,常量,45/64,有许多现象都能够用角动量守恒来说明.,自然界中存在各种守恒定律,动量守恒定律,能量守恒定律,角动量守恒定律,电荷守恒定律,质量守恒定律,宇称守恒定律等,花样滑冰,跳水运动员跳水,46/64,被 中 香 炉,惯性导航仪（陀螺）,角动量守恒定律在技术中应用,47/64,角动量定理和角动量守恒定律应用,例8,质量为，半径为转台，可绕过中心竖直轴无摩擦转动。质量为一个人，站在距离中心处（R），开始时，人和台处于静止状态。假如这个人沿着半径为圆周匀速走一圈，设它相对于转台运动速度为，求转台旋转角速度和相对地面转过角度。,48/64,分析：,以人和转台为一系统，设系统,没有受到外力矩作用,，所以系统角动量守恒。应用角动量定律时，其中角速度和速度都是相对于惯性系而言。所以，人在转台走动时，必须考虑人相对地面速度。,解,：对于人和转台形成系统，角动量守恒（思索？）设人对地面速度为 ，转台对地面转速为,，则有：,而：,49/64,代入得：,其中，“-”表示转台转动方向与人在转台走动方向相反。因为u为恒量，则,也为恒量，即匀速转动。,设在时间,t内转台相对地面转过角度为，则有,50/64,？,51/64,力矩功,一 力矩作功,力空间累积效应,力功,动能,动能定理.,力矩空间累积效应 力矩功,转动动能,动能定理.,二 力矩,功率,4 转动中功和能,52/64,三 转动动能,四 刚体绕定轴转动动能定理,合外力矩对绕定轴转动刚体所作功等于刚体转动动能增量.,53/64,五 含有转动刚体机械能守恒定律,由定轴转动刚体与另外物体组成系统，只有保守内力做功时，系统总机械能保持不变。,恒量,质心到势能零点高度,54/64,质点运动,钢体定轴转动,速度,角速度,加速度,角加速度,力,力矩,质量,转动惯量,动量,角动量,质点运动与钢体定轴转动对照表,55/64,牛二律,转动定律,动量定理,角动量定理,动量守恒定律,恒矢量,角动量守恒,恒矢量,动能,转动动能,功,力矩功,动能定理,转动动能定理,56/64,角动量守恒定律和机械能守恒定律综合应用,例9,质量为小圆环，套在一长为,，质量为光滑均匀杆上，杆能够绕过其端固定轴在水平面上自由旋转。开始时，杆角速度为,0,，两小环位于点，当小环受到一微小扰动后，即沿杆向外滑动。试求当小环脱离杆时速度。,57/64,Note：,小球脱离杆时速度是由环沿杆速度和杆旋转时环沿圆周运动切向速度合成结果，所以环脱离杆速度与杆间有一角度。,解：设小环脱离杆时角速度为,，由角动量守恒有：,其中,设小环脱离杆时速度为,，由机械能守恒有：,58/64,方向与杆夹角：,59/64,练习题：,1刚体转动惯量仅决定于：,刚体质量,刚体质量空间分布,刚体质量对定轴分布,转轴位置,60/64,2,关于力矩有以下几个说法，其中正确是：,内力矩会改变刚体对某个定轴角动量,作用力和反作用力对同一轴力矩之和必为,角速度方向一定与外力矩相同,质量相等、形状、大小不一样两个刚体，在相同力矩作用下，它们角加速度一定相等。,61/64,3,如图，水平转台上距轴为处，有一质量为物体随转台作匀速圆周运动，已知物体与台面静摩擦系数为,，若物体与组合体无相对滑动，则物体转动动能为：,k,gR/4,B,k,gR/2,C,k,gR,D,k,2,gR,R,62/64,4,对一个绕固定水平轴上一点o匀速转动转盘，如图，沿同一水平直线从相反方向射入两颗相同质量速率相等子弹，并留在盘中，则子弹射入后转盘角速度 ,A 变大 B 变小 C 不变 D 不确定,O,63/64,5,一长为,细杆,，两端分别固定质量为m和2m小球，此系统可在竖直平面内绕中心O自由转动，如图。开始时杆与水平方向成60，处于静止状态，无初速度释放，杆球系统绕O轴转动，则该系统绕O轴转动惯量（），当杆转到水平位置时，系统所受协力矩（），角加速度（）,64/64,
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