分数阶Burgers方程时间周期弱解的唯一性与渐近稳定性.pdf

Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1710-1722http:/分数阶Burgers方程时间周期弱解的唯一性与渐近稳定性1徐斐2 张勇*（江苏大学数学科学学院江苏镇江2 12 0 13；2 江苏大学应用系统分析研究院江苏镇江2 12 0 13)摘要：该文主要讨论实轴上分数阶Burgers方程时间周期弱解的性质首先利用伽辽金逼近和傅里叶展开的方法，得到了分数阶Burgers方程对应的线性化问题时间周期弱解的存在性然后通过构造合适的压缩映射，得到了非线性方程时间周期弱解的存在唯一性，并进一步证明了该时间周期弱解是渐近稳定的此外，该文中的方法也可以用来处理有界区间上的问题，并进一步提升了文献5中已有的结果.关键词：唯一性；分数阶；压缩映射；渐近稳定性MR(2020）主题分类：35Q35；7 6 B15；35A 0 1中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-17 10-131引言和主要结果对 Burgers 方程3的研究已经有很长的历史,其中 Colel6和 Hopfl1 引入了 Cole-Hopf 变换，该变换可以把齐次Burgers方程转化为热方程，从而为求解齐次Burgers方程提供了新的思路。这些年，随着在一些物理现象中不均匀扩散的出现2,7,越来越多的学者开始关注下面分数阶Burgers 方程其中 0 表示黏性系数，0 2表示耗散指数分数阶耗散项=（-）由下面傅里叶变换所定义与经典的整数阶模型相比，分数阶扩散具有在动态发展过程中保持记忆特性和遗传特性的能力，这使得在一些物理现象中用分数阶模型更加准确此外，分数阶拉普拉斯还可以理解为稳态Lvy扩散过程的无穷小生成子，它们也会出现在等离子体物理17、拟地转流4和流的异常扩散中3从数学层面来考虑，上述分数阶Burgers方程的适定性严格依赖于耗散指数的取值范围（参见文献8，15，18)在超临界耗散情形（0 1)，该分数阶Burgers方程是局部适定的，且它的解会在有限时刻发展为梯度爆破在临界耗散情形（=1)和次界耗散情形(1 2)，方程的解整体适定，有限时间内不会出现奇性.此外,在文献9中考虑了次临界情形下Burgers方程弱解的整体正则化效应，在文献1中考虑了超临界情形下Burgers方程弱解的非唯一性在文献13中还得到了临界情形下方程解的解析性和大时间行为.收稿日期：2 0 2 2-10-0 8；修订日期：2 0 2 3-0 4-10E-mail:;基金项目：国家自然科学基金(1197 12 0 2)Supported by the NSFC(11971202)*通讯作者Jcientiaut+ux+rAou=0,Au(s)=IE1a(s).No.6最近，有一些数学家5，19考虑了在有界区域上时间周期外力驱动下的Burgers方程其中f(t,ac)时间周期外力，即f(t+T,a)=f(t,a)，在文献5 中，作者在假设条件f eC(0,T;L2(S)nCI(0,T;L?(S)成立的前提下,可以在空间 C(0,T;C1(S)nC1(0,T;L?(S)中找到唯一的时间周期弱解这里我们的结果不仅可以提升该结论，而且还可以处理如下全空间分数阶外力驱动下的Burgers方程(1.1)其中1 2,f(t,a)表示时间周期外力.在物理上，该方程可用于描述一维空间中时间周期外力作用下粘性非均匀扩散液体的流动。当对流体施加一个时间周期的外力，可以预期之后的流动会经历一个相同时间周期的运动.这是研究时间周期分数阶Burgers方程的一个主要动机.因此，我们很自然地会提出疑问，方程（1.1）在数学上是否存在时间周期解.事实上，时间周期解的存在性受到了许多数学家的关注，例如文献10，12，16,2 0 但是据我们所知，全空间中分数阶Burgers方程（1.1）的时间周期解的性质很少有人研究.在这篇文章中，我们将给出该问题的部分研究结果.当fcg其中c为常数，简记fg，令Hs(R）和H(R)分别表示非齐次和齐次索伯列夫空间。这篇文章的主要结果是有关于方程（1.1）时间周期弱解的存在唯一性和渐近稳定性，定理陈述如下.定理 1.1 假设1 号,f X=Hi(0,T;-(R)nL2(0,T;L2(R)nL2(0,T;H-(R)且外力f(t,)满足其中 C(r,)=min(,徐斐等：分数阶Burgers方程时间周期弱解的唯一性与渐近稳定性ut+uua-kuar=f,(t,a)E0,T S,ut+uur+kAau=f,(t,)E0,T R,I/l O 时该弱解满足(U,bt)dt10=(Uo,3b(,0)+另外值得注意的是，证明上述定理1.1的方法也可以用来提升有界区间上经典Burgers方程的结果，具体陈述如下。(U2,ba)dt+AU,Aw)dt2Jo0f,)dt,E C(0,T)R).Jo1712推论1.1(当=2)假设f EX=H(0,T;H-1(S)nL2(0,T;L2(S)且外力 f(t,c)满足那么带Dirichlet边界条件的方程（1.1）存在唯一的时间周期解且该解 u 满足 Ilu(O)H(s)=lu(T)|Hi(s)以及I l HI(,;H(S)3(1+=)/.此外该时间周期解u(t,c）也是渐近稳定的。也就是说，数学物理学报K2I.Ix 0 且1 0,我们有II(0,;2(-,)0)=I1一多 (,;L2(-,r0)-I1 L(0,;2(R)在 L2(0,T;L2(IR)中,在 L2(0,T;L?(R)中,uptdadt+kAuA%pdadt=JoJRTJoJRTuptdrdt+kA%u%dadt=JRJoJROta(t,s)+rls/aa(t,)=f(t,s).(2.25)fodadt.(2.26)JR0JRTunPtdrdt+k0A%unApdadt=JRfpdcdt.JoJRfodrdt.R(2.27)(2.29)No.6和II/a(,;L2(-,r)=II/l 2(,;(-r,r)1/l(,;2(R),那么 illz(0,T;L2(-,l-)）和z2(0,;L(-r,r)）也是有定义的。对（2.2 8）式两边同时平方，我们可得(2.31)又由(2.31)式可得k2a/2+k0t(1s1-/a/2)s1-2a F12.考虑到（2.2 9)式和u(t）的时间周期性，对上式两端在0,T-r,r上积分可得TJo那么在（2.32)式中令r0可得（2.8）式。类似地，我们可以从（2.31）式推出考虑到（2.30)式和u(t）的时间周期性，对上式两端在0,T-r,r上积分可得T徐斐等：分数阶Burgers方程时间周期弱解的唯一性与渐近稳定性10a/2+21s20a/2+k0t(1510a2)=1F12.215/2/a/2+k0(110/a/2)1.F12.1717(2.30)(2.32)（(2.33)那么在（2.33）式中令ro可得（2.9）式，此外，容易验证线性问题（2.1）的解是唯一的，证毕3定理 1.1 的证明在这一节中，我们主要通过构造压缩映射的方法来证明非线性方程（1.1）时间周期解的存在唯一性.证为了方便起见，我们首先引入两个空间XT:=(E XI d(0)=d(T)在 H-(R)和YT:=(E Y=Hi(0,T;H(R)n L2(0,T;H)I d(0)=(T)在 H(R).根据Gagliardo-Nirenberg不等式和文献14中的Kato-Ponce型交换子估计，接下来我们将证明对于任意 E Y 都有 U E XT.容易证明当EYT，那么(v)(O)=(ua)(T).此外，由插值定理可得J01HI2T2dt/RllyIlly,2ud.rdt2I/A/2dtmaxv(t)te0,T2-I2L2dt2TJo22dt2122dt(3.1)1718和这里我们用到H%(R)L(R)和 Holder不等式.最后，我们只需估计az2(.T真一()）的界，这时限制1号是本质的，事实上，我们希望做到12,但是目前的技术只能限制在1号由于=(2),取傅里叶变换可得且那么数学物理学报.TI/A1-%(u0)/2dt-%dtTluly1/A1-00/2dtJoTully(odtIl0(t)-%dt1/1-%otl/2ll/1dt+011-ul/2 dt+/ll/max 1-(t)/20(t,s)=isu2(t,s),2(t,s)/I/L1,(t,)E(0,T)R.Vol.43 A-120HI2IlullyJo2T422dtIl/2dtI/1-%(uvt)/2dtTteo,TT-12(3.2)-2-12-12(3.3)1s-a(t,)(s11-/，在(0,T)R几乎处处成立.因此,我们有2HI2Iluall/r-adt)1-2a/ova(t,5)2dedtR1s12-2a/21i dsdt-1,1 1s1-2a/0a(t,5)2 dEdt-1,12d+41512-1,1 012(3-2)-12va(t,s)/2dedt0-1,1cH2No.6又由(3.1)-(3.4)式,可得基于第二节的结果，我们发现方程（1.1）的解可以看作映射：YTYT的不动点，也就是说对于任给的EYT,则u=I(u）是下面问题(3.6)的时间周期解.但是，通过计算发现很难直接证明映射I是从空间YT到YT的压缩映射。为了解决这一问题，我们在空间YT 中取一些限制，那么定义YT的子空间Y=(0 Yrl l/y 3(1+)/x),对于给定的EY￥，由定理2.1和(3.5）式可得，方程（3.6）存在唯一解uEYT，且满足Illy (1+)(/x/ul x)(1+)(/x+下面我们将证明映射I是从空间Y*到Y的压缩映射对于任意给定的EY￥，那么(3.7)式和 II.FIlx 的小性表明II()ly=Il/y (1+)(/l也就是说此外，如果假设1,U2Y且=(u1),u2=(u2),那么定理2.1和I/lx的小性表明II(1)-I(u2)ly=llu1-u2ll徐斐等：分数阶Burgers方程时间周期弱解的唯一性与渐近稳定性12(3-2)12(3-2)IvUallxut+rAu=f-wa,(0,T)R9V2(3-2a)+9V2(3-2a)I(Y*)C Y*.(1+)(l20a 2-010.llx1719HI2(3.4)(3.5)2(3-2)+9/28-20+9(1+#)）/1)）(3.7)V2(3-2a)(1+)/1)3(1+)/x,K 6(1+=)1/l 1.-2 l I/1-2 l.K(3.8)那么I是一个压缩映射，则时间周期解u(t,）的存在唯一性证得.最后,我们来证明该时间周期弱解 u(t,a)是渐近稳定的.令 w(t,a)=U(t,a)-u(t,c),其中U(t,）是注1.1中得到的方程（1.1)更弱的解，那么w满足Wt+wwa+(uw)+rAw=0,wo(a)=Uo()-u(0,c),(3.9)1720用w作用在方程（3.9）两端并在R上积分可得1dw2da+k/1A%w2da=2dtR此外，易得(uw)wdaIRJRI/A1-(uw)/L2l/Aw/L2数学物理学报(uw)awdc.RRA1-%(uw)A%wdaVol.43 A(3.10)(3.11)那么由（3.10）和（3.11)式可得lwl2da+2k/JR对不等式(3.12)两端关于时间变量在（0,T）上积分，可得wl2dc+2kJR0JR那么又由(3.13),(1.3)式和/(+1)1.此外，我们期望该结果可以推广到1 2,但是用来构造压缩映射的估计(3.4)式限制了该指标，即目前只能做到1号.4推论1.1的证明在本小节中，我们来证明推论1.1基于上面的观察和分析，我们发现在有界区间S上且=2时,当外力fEH(0,T;H-1(S)nL2(0,T;L2(S),也可以在空间 Hi(0,T;H(S)找到时间周期弱解。此时，在构造压缩映射时无需建立类似（3.4）型的估计.值得注意的是，这节中我们考虑的是带零迪利克雷边界条件的方程，我们在使用分部积分时可以忽略边界项，但傅里叶变换的技巧就不可用了。证根据定理1.1的证明，当=2时，我们容易建立类似（2.5)-(2.8）式的如下估计(4.1)Il u (,;(S)I/I(,;(S),(4.2)(4.3)(4.4)No.6因此可以得到类似的线性化问题的时间周期弱解。此外,只需证明对于任意E H1(O,T;Hi(S),有 U E H(0,T;H-1(S)n L2(0,T;L2(S)，便可构造从 Z 到 ZT 的压缩映射，其中Z:=(HI(0,T;HI(S)ld(0)=(T)in H1(S)，也就是说，建立如下类似(3.1)-(3.3)式的估计(4.5)0TJoIot(vUa)0事实上，估计（4.5)成立是由于.T-1222dt估计（4.6)成立是由于-12H-1dt0估计（4.7)成立是由于1lot(vva)/r-idt徐斐等：分数阶Burgers方程时间周期弱解的唯一性与渐近稳定性TT20172122dt2,H12-1dt-1dtHI2l.acdtHI2d.adt2.SmaxHI2dt max,lu(t)/LtEo,T(4.6)2.(4.7)HI2max,I/u(t)/Lote0,T12dt0（）TJo-122dt2112元2 dt/2,HI22dt参考文献1 Alibaud N,Andreianov B.Non-uniqueness of weak solutions for the fractal Burgers equation.Ann InstHenri Poincar Anal Non Linaire,2010,27:997-10162 Bouchard J P,Georges A.Anomalous diffusion in disordered media,Statistical mechanics,models andphysical applications.Phys Rep,1990,195:127-2933 Burgers J M.Correlation problem in a one-dimensional model of turbulence.Nederl Akad Wetensch Proc,1950,53:247-2604 Caffarelli L,Silvestre L.Drift diffusion equations with fractional diffusion and the quasi-geostrophic equa-tion.Ann of Math,2010,171(3):1903-19305 Chen S H,Hsia C H,Jung C Y,Kwon B.Asymptotic stability and bifurcation of time-periodic solutionsfor the viscous Burgers equation.J Math Anal 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improves the known result.Key words:Uniqueness;Fractional order;Contraction mapping;Asymptotic stability.MR(2020)Subject Classification:35Q35;76B15;35A01