分数阶Heston模型下的养老金投资组合问题.pdf

首都师范大学学报（自然科学版）Journal of Capital Normal University（Natural Science Edition）No.5Oct.，2023第 44卷第 5期2023年 10月DOI：10.19789/j.1004-9398.2023.05.002文献引用：杨秀琪.分数阶 Heston 模型下的养老金投资组合问题 J.首都师范大学学报（自然科学版），2023，44（5）：6-17.YANG X Q.Portfolio optimization of pension in fractional Heston models J.Journal of Capital Normal University（Natural Science Edition），2023，44（5）：6-17.分数阶 Heston模型下的养老金投资组合问题*杨秀琪（北京邮电大学理学院，北京100876）摘要：在分数阶 Heston 模型框架下研究确定缴费型养老金投资组合问题（不同收取管理费用方式），以期最大化终端财富的期望效用。当风险资产价格过程满足分数阶 Heston模型时，由波动率的有限维近似把原优化问题转至经典随机控制框架下，建立值函数满足的 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程，推导出值函数的解析解和最优投资策略，并证明近似模型的收敛性。对于按财富比例和按工资比例收取管理费用，本文还推导出等价管理费用，并通过数值方法分析参数对于最优投资策略和终端财富的影响。关键词：DC型养老金；分数阶 Heston模型；HJB方程；CRRA效用中图分类号：O211.63文献标识码：APortfolio optimization of pension in fractional Heston models*YANG Xiuqi*（School of Science，Beijing University of Posts and Telecommunications，Beijing100876）Abstract：With the objective of maximizing the expected utility of terminal wealth，this paper studiesthe portfolio optimization problem of Defined Contribution pension plans（with different ways ofcharging administrative charges）under the fractional Heston models.When the price process of therisky asset satisfies the fractional Heston model，the original optimization problem is transformed into aclassical stochastic control framework through the finite-dimensional approximation of volatility.Wealso establish the Hamilton-Jacobi-Bellman equation satisfied by the value function，derive theanalytical solution of the value function and the optimal investment strategy，and prove the convergenceof the approximate model.For the administrative charges charged in proportion to wealth and salary，this paper also tries to derive equivalent administrative charges and analyze the impact of theparameters on the optimal investment strategy and the terminal wealth by numerical methods.Keywords：DC Pension；fractional Heston model；HJB equation；CRRA utilityCLC：O211.63DC：A0引言养老金即养老保险基金，根据给付方式不同，目前主流的养老金计划主要为确定收益（definedbenefit，DB）型养老金计划和确定缴费（defined contribution，DC）型养老金计划。在 DB 型养老金计划收稿日期：2022-09-18*国家自然科学基金项目（11871010）*通信作者：6杨秀琪：分数阶 Heston模型下的养老金投资组合问题第 5 期中，参保人在退休后每月领取固定养老金，不需要考虑市场风险；而 DC 型养老金计划，参保人每月按固定缴费率缴费，养老金管理者对账户余额投资，退休时参保人缴纳的保费确定，但由于养老金总额包括缴纳费用和投资收益，退休后每月领取的养老金不确定。对于 DC 型养老金最优投资组合问题，通常考虑以终端财富期望效用最大化为优化目标，以确保参保人在终端时刻能享有较高的养老效用。如：Xiao 等 1基于对数效用准则，Gao 2基于常相对风险厌恶（coefficient of relative risk aversion，CRRA）效用和常绝对风险厌恶（coefficient of absolute riskaversion，CARA）效用准则，均在 CEV模型 3下研究了 DC 型养老金问题；Guan和 Liang 4在随机利率和随机波动率模型下研究了基于 CRRA 效用准则的DC 型养老金问题，均得到值函数和最优投资策略。在实际的 DC 型养老金投资管理过程中，通常需要考虑管理费用：Kritzer 等 5提出了按比例在养老金资产财富中收取、按比例在工资中收取以及按比例在超额收益中收取等方式；随后 Chavez-Bedoya 6基于 CARA 效用准则，在 Black-Scholes市场模型下对比了按资产财富比例和按工资比例收费方式下的终端财富的最大化期望效用，并定义了等价管理费用，当 2 种收费方式下终端财富的最大化期望效用相等时，此时的管理费用则是等价的。在 Heston 随 机 波 动 率 模 型 7下，Kraft 8、Kallsen 和 Muhle-Karbe 9分别利用随机动态规划方法和鞅方法研究了基于幂效用准则的投资组合问题，得 到 了 值 函 数 和 最 优 投 资 策 略；以 Chavez-Bedoya 6的研究为基础，李方超等10基于 CRRA 效用和 CARA 效用准则研究了 DC 型养老金投资问题，得到等价管理费用。而Hurst 指数H（1/2H 0为固定常数，0，T是 DC 型养老金财富的积累期，()t0 t T为信息流，其右连续且表示截止到t时刻所有的市场信息，为概率测度，假设市场中交易连续进行且不考虑交易费用和税收。在金融市场中，若养老金管理者可将账户资金投资于无风险资产（如债券）和风险资产（如股票），无风险资产的价格过程为dS0t=rS0tdt，（1.1）r 0为无风险利率。风险资产的价格过程为dSt=St()()r+vtdt+vtdBSt，（1.2）式中：BSt是标准布朗运动，常数 0为风险溢价率（vt是对可能存在的风险的补偿），波动率过程vt为vt=v0+1()0t()t s 1Zsds，（1.3）式中：初始值v0 0；=2H 1()0，1；Hurst 指数H()12，1；()=0ett1dt为 Gamma 函 数；1()0t()t s 1Zsds为 Riemann-Liouville 积分中的分数阶积分算子，Zt满足dZt=k()Ztdt+ZtdBZt，（1.4）其中Z0=z0 0，k、为正数且满足2k 2，BZt7首都师范大学学报（自然科学版）2023年是标准布朗运动，Zt依概率 1为正数，假设BZt，BSt=t且()1，1。注 1当0时，lim0I0f()t=lim01()0t()t s 1f()s ds=f()0+0tf()s ds=f()t，分 数阶 Heston 模型转化为经典 Heston 模型 7。1.2DC型养老金最优投资组合问题参保人一般在积累期0，T内需定期按工资的固定比例缴纳保费，假设固定缴费率为p，工资单位为 1，定义Wt为养老金财富过程，在时刻t养老金管理者投资于风险资产和无风险资产的财富分别为t和Wt t。若养老金管理者不向参保人收取管理费用，则初始值W0=w0 0的财富变化过程为dWt=tStdSt+Wt tS0tdS0t+pdt=()rWt+tvt+p dt+tvtdBSt。若养老金管理者每月向参保人在资产财富中收取固定比率的管理费用或按工资比例收取管理费用。对第一类情形，假设固定比率为，则管理费用为Wt，初始值W0=w0 0的财富变化过程为dWt=()rWt+tvt+p dt+tv0dBst Wtdt=()()Wt+tvt+p dt+tvtdBSt。若按工资比例收取管理费用，养老金管理者是在作为保费的工资中收取，当不收取管理费用时，参保人需每月向养老金账户按工资缴纳比例p的保费，参考文献 6，10 的研究，定义a 0为按工资比例缴纳养老金管理费用的代表参数，则管理费用一般为F=()1 e ap（该结构是文献 16，17 对现实数据分析所建立的模型，()1 e a为管理费用占保费的比例），财富变化过程为dWt=()rWt+tvt+p dt+tvtdBSt()1 e apdt=()rWt+tvt+pe adt+tvtdBSt。假设养老金管理者的最优化目标为在0，T内寻求投资策略t，使得终端财富的期望效用最大化，参保人是风险厌恶的，效用函数是严格递增的凹函数，假设参保人的风险偏好满足 CRRA 效用准则，即效用函数为U()x=1x，1，0，代表投资者的相对风险厌恶系数，最优化问题可描述为V()w0，v0，z0=suptEw0，v0，z01()WT，（1.5）式中Ew0，v0，z0是给定W0=w0，v0=v0，Z0=z0的条件期望，使上式达到上确界的可允许的投资组合策略称之为最优投资策略t。定义 1若投资策略t满足：t是t-循序可测的，且E0T2tvtdt ；对所有的t 0，T，财富变化过程所涉及的微分方程有唯一强解，则称t是可允许的投资策略。上述投资组合优化问题是“非马氏”问题，无法应用经典方法解决，下节将通过波动率的有限维近似转化为近似模型下的经典优化问题，利用随机动态规划原理建立相应的 HJB 方程。1.3有限维近似及HJB方程对式（1.3）利用 Bauerle 和 Desmettre14中的方法进行“马氏化”：（1）利 用 Gamma 函 数 的 性 质 有()t s 1()=0e()t s x()dx，其中()dx=dxx()()1 。（2）利用 Fubini 定理，将式（1.3）化为vt=v0+0t0e()t sxZs()dx ds=v0+00te()t s xZsds()dx=v0+0Yxt()dx，（1.6）式中Yxt=0te()t s xZsds，可见Yxt满足如下随机微分方程dYxt=()Zt xYxtdt。（1.7）将 其 离 散 化（见 文 献14），令n=0 n0 nn 0，yi 0，z 0，边界条件为V()T，w，y1，yn，z=1w，令=v0+i=1nqiyi，u=t，可得值函数满足的 HJB方程：（1）不收取管理费用0=suptA1V=supu RVt+Vw()rw+u+p+ni=1Vyi(z xiyi)+Vzk()z+12Vwwu2+12Vzz2z+Vwzuz。（1.9）（2）按财富比例收取管理费用0=suptA2V=supu RVt+Vw()(r )w+u+p+i=1nVyi()z xiyi+Vzk()z+12Vwwu2+12Vzz2z+Vwzuz。（1.10）（3）按工资比例收取管理费用0=suptA3V=supu RVt+Vw()rw+u+pe a+i=1nVyi()z xiyi+Vzk()z+12Vwwu2+12Vzz2z+Vwzuz。（1.11）定理 1.1（验证定理）假设H()t，w，y1，yn，z关 于t连 续 可 导，关 于w，yi()i=1，n，z二 阶连 续 可 导，满 足suptAiH=0()i=1，2，3，且0tsvnsHwdBSs和0tz HzdBZs为鞅，以及边界条件为H()T，w，y1，yn，z=1w，则有H()t，w，y1，yn，z V()t，w，y1，yn，z。如 果 存在 可 允 许 策 略t，使 得t0，T，有targ suptAV，则对t0，T有H()t，w，y1，yn，z=V()t，w，y1，yn，z，且t是最优策略。证明对于H()t，w，y1，yn，z，由 It 引理可得H()T，w，y1，yn，z=H()t，w，y1，yn，z+tTAiHds+tTsvnsHwdBSs+tTz HzdBZs，由suptAiH=0可得H()T，w，y1，yn，z H()t，w，y1，yn，z+tTsvnsHwdBSs+tTz HzdBZs，由于0tsvnsHwdBSs为鞅，则Et，w，y1，yn，z|0TsvnsHwdBSst=0TsvnsHwdBSs，故而9首都师范大学学报（自然科学版）2023年Et，w，y1，yn，z|tTsvnsHwdBSst=0，同理，Et，w，y1，yn，z|tTz HzdBZst=0，故 上 式 两 边 同 时 取 期 望可得Et，w，y1，yn，zH()T，w，y1，yn，zH()t，w，y1，yn，z，对 所 有 的 可 允 许 策 略t取 上 确 界 可 得suptEt，w，y1，yn，z1()WT=V()t，w，y1，yn，z H()t，w，y1，yn，z，当t=t时有H()t，w，y1，yn，z=V()t,w,y1,yn,z，故t即 为最优策略。2分数阶Heston模型框架下HJB方程的求解2.1无管理费用情形假设式（1.9）解的结构为V()t，w，y1，yn，z=()w ()tf()t，y1，yn，z，边界条件为f()T，y1，yn，z=1，()T=0，则式()1.9可化为0=supu R()w ()t2ft tf()w ()t+f()wr+u+p()w ()t+12()1 u2f+i=1nfyi()z xiyi()w ()t2+fzk()z()w ()t2+fzuz()w ()t+12fzz2z()w ()t2，（2.1）利用一阶条件可得最优投资策略为u=()w ()t1 +1 zfz()w ()tf，（2.2）若=0，u=()w ()t1 。将 式（2.2）代 入 式（2.1），化简得0=()w ()t(ft+fr+12f21 +i=1nfyi()z xiyi+122zfzz+fz()k()z+z1 +1222z1 f2zf)+f()p+r()t t，令p+r()t t=0，ft+fr+12f21+i=1nfyi()z xiyi+fz()k()z+z1+122zfzz+1222z1 f2zf=0，（2.3）p+r()t t=0为 常 微 分 方 程，由 边 界 条 件()T=0，得 显 式 解()t=p()1 e r()T tr，对 式（2.3）进一步简化，令f()t，y1，yn，z=gc()t，y1，yn，z，式中c=1 1 +2，边界条件为g()T，y1，yn，z=1，将上式代入式（2.3）得0=cgt+g()r+1221 +cni=1gyi()z xiyi+cgz()k()z+z1 +122czgzz，上述方程满足 Heath 等15定理 1 的 3 个假设条件，经典解存在，由上述过程可得：定 理 2.1.1当t 0，T，w 0，yi 0，z 0，HJB方 程（1.9）的 解 存 在，且 表 达 式 为V()t，w，y1，yn，z=()w ()tgc()t，y1，yn，z，式中c=1 1 +2，g和分别满足0=cgt+g()r+1221 +cni=1gyi()z xiyi+cgz()k()z+z1 +122czgzz，（2.4）()t=p()1 e r()T tr。对于偏微分方程（2.4）的解g，根据 Feynman-Kac定理可得：定 理 2.1.2当t 0，T，w 0，yi 0，z 0，边 界 条 件 为g()T，y1，yn，z=1时，式（2.4）的解为g()t，y1，yn，z=Et，y1，yn，zexptT()rc+122()1 cvnsds，（2.5）且c=11+2，vnt=v0+ni=1qniYxnit，dYxt=()ZntxYxtdt，10杨秀琪：分数阶 Heston模型下的养老金投资组合问题第 5 期dZnt=()k()Znt+Zntvnt1 dt+ZntdBZt，当=0即Bzt、Bst不相关时，vnt=vnt。证明参考文献 14 定理 3.5。定 理 2.1.3HJB 方 程（1.9）解 的 表 达 式 为V()t，w，y1，yn，z=()w ()tgc()t，y1，yn，z，且g满 足 式()2.5，()t=p()1 e r()T tr，且 当t 0，T，w 0，yi 0，z 0时，最优投资策略为t=()Wt+p()1 e r()T tr1 +c1 Ztvntgz()Wt+p()1 e r()T trg。在 0时，HJB 方程的解可由 Feynman-Kac定理将式（2.4）的解表出，并得出最优投资策略。下文将在=0时，对于 HJB方程进行求解。若=0，则c=1，f=g，且式（2.3）可化为0=ft+12f21 +fr+i=1nfyi()z xiyi+fzk()z+122zfzz。（2.6）若 假 设 解 的 结 构 为f()t，y1，yn，z=exp()T t+ni=1i()T t yi+()T t z，其中()0=i()0=()0=0，将 上 式 及=v0+i=1nqiyi代入式（2.6），并令=1221 ，有0=t+r+v0+k+ni=1yi()it+qi ixi+z()t+ni=1i k+1222，令t()T t=r+v0+()T t k，（2.7）it()T t=qi i()T t xi，（2.8）t()T t=i=1ni()T t k()T t+1222()T t，（2.9）根据边界条件i()0=0，由式（2.8）可解出i()T t=qixi()1 e xi()T t=qi0T te xisds，（2.10）将式（2.9）中的求和项利用式（2.10）表示为i=1ni()T t=i=1nqi0T te xisds=0T t0e xsn()dx ds，则式（2.7）（2.9）可重新表示为t()T t=r+v0+()T t k，i()T t=qi0T te xisds，t()T t=0T t0e xsn()dx ds k()T t+1222()T t，其中()0=()0=0。若式（2.9）的解存在，则式（2.7）解必然存在，而根据 Picard-Lindelof 存在性定理，可知与相关的微分方程（2.9）在有限的区间上存在局部解，可得定理：定 理 2.1.4当t 0，T，w 0，yi 0，z 0，=0，边 界 条 件 为g()T，y1，yn，z=1，式（2.6）的 解 存 在，表 达 式 为f()t，y1，yn，z=exp()T t+ni=1i()T t yi+()T t z，i()T t=qi0T te xisds，（2.11）且=1221 。另外，和是如下常微分方程的解：t()T t=r+v0+()T t k，（2.12）t()T t=0T t0e xsn()dx ds k()T t+1222()T t，（2.13）边界条件为()0=()0=0。注 2式（2.13）是 Riccati 方程。当的解存在时，可推出=0情况下f的显式表达式。定理 2.1.5当t 0，T，w 0，yi 0，z 0且=0时，HJB 方程（1.9）的解为V()t，w，y1，yn，z=()w()texp()T t+ni=1i()T t yi+()T t z，i由式（2.11）给出，和分别由式（2.12）和（2.13）的解给出，且()t=p()1 e r()T tr，最优投资策略11首都师范大学学报（自然科学版）2023年为t=()Wt+p()1 e r()T tr1 。上述过程对有关近似优化问题进行了求解，为说明模型的近似及求解有意义，将给出收敛性相关的定理。当 0，根据定理 2.1.2 已知Znt（见参考文献14），结合式（1.6）（1.8），将Znt改写为Znt=Z0+0tk()Zns+1 Znsv0+ni=1qni0se()s u xiZnudu ds+0tZnsdBZs。定理 2.1.614在 Skorohod 拓扑中满足Znt Zt（表示弱收敛），其中Zt=Z0+0tk()Zs+1 Zsv0+00se()s u xZudu()dx ds+0tZsdBZs。对于财富过程的随机微分方程，利用“积分因子”e rt，可推导出积分表达式为W，nT=erT0T()svns+p e rsds+erT0Tsvnse rsdBSs+w0erT。若 定 义Vn()w0,v0,z0;=Ew0,v0,z01()W,nT,Vn()w0，v0，z0=supVn()w0，v0，z0；，V()w0，v0，z0；=Ew0,v0,z01()WT，可得如下定理。定理 2.1.7对于固定策略，假设W，nT一致可积，则limn Vn()w0，v0，z0；=V()w0，v0，z0；。证明由 引 理 2 中vnt的 单 调 收 敛 性 有limn E0Te 2rs2s()vsvns2ds=0，再 利用 It 等距则有0Te rssvnsdBSs均方收敛于0Te rssvsdBSs，便有0Te rssvnsdBSs依分布收敛于0Te rssvsdBSs，根据vnt的单调收敛性还有limn ()erT0T()svns+p e rsds+erT0Tsvnse rsdBSs=erT0T()svns+p e rsds+limn erT0Tsvnse rsdBSs，根据 Skorokhod 表示定理，存在一个概率空间使得0Tsvnse rsdBSs几乎必然收敛，此时有limn W，nT=limn (erT0T()svns+p e rsds+erT0Tsvnse rsdBSs+w0erT=erT0T()svs+p e rsds+erT0Tsvse rsdBSs+w0erT=WT，根 据 一 致 可 积 性，便 可 得limn Vn()w0，v0，z0；=V()w0，v0，z0；，证毕。定 理 2.1.8当limn Vn()w0，v0，z0=V()w0，v0，z0时，取n 且 0，使 得|Vn()w0，v0，z0；nV|()w0，v0，z0；n2，|V()w0，v0，z0|Vn()w0,v0,z0;n 0，yi 0，z 0，HJB 方 程（1.10）的 解 存 在，且 表 达 式 为13首都师范大学学报（自然科学版）2023年V()t，w，y1，yn，z=()w ()tgc()t，y1，yn，z，其中c=1 1 +2，g和分别满足0=cgt+g()r +1221 +ci=1ngyi()z xiyi+cgz()k()z+z1 +122czgzz，（2.16）()t=p()1 e()r()T tr。式（2.16）的解g可通过 Feynman-Kac 定理给出：定 理 2.2.2当t 0，T，w 0，yi 0，z 0，边界条件为g()T，y1，yn，z=1时，式（2.16）解为g()t，y1，yn，z=Et，y1，yn，zexptT()rcc+122()1 cvnsds，（2.17）且c=1 1+2，vnt=v0+i=1nqniYxnit，dYxt=()Znt xYxtdt，dZnt=()k()Znt+Zntvnt1 dt+ZntdBZt，当=0时，vnt=vnt。由上述定理，可得如下结论：定 理 2.2.3HJB 方 程（1.10）解 的 表 达 式 为V()t，w，y1，yn，z=()w ()tgc()t，y1，yn，z，且g满足式（2.17），()t=p()1 e()r()T tr，且当t 0，T，w 0，yi 0，z 0时，最优投资策略为t=()Wt+p()1 e()r()T tr1 +c1 Ztvntgz()Wt+p()1 e()r()T trg。当=0时，按财富比例收取管理费用情形下的 HJB 方程的解可显式表出：定 理 2.2.4当t 0，T，w 0，yi 0，z 0，=0，边界条件为g()T，y1，yn，z=1，式（2.16）的 解 存 在，表 达 式 为g()t，y1，yn，z=exp()T t+i=1ni()T t yi+()T t z，其中i()T t=qi0T te xisds，（2.18）且=1221 ，和是如下微分方程的解：t()T t=r +v0+()T t k，（2.19）t()T t=0T t0e xsn()dx ds k()T t+1222()T t，（2.20）边界条件为()0=()0=0。定 理 2.2.5当t 0，T，w 0，yi 0，z 0且=0时，HJB方程（1.10）的解为V()t，w，y1，yn，z=()w ()texp()T t+i=1ni()T t yi+()T t z，其中()t=p()1 e()r()T tr，i由式（2.18）给出，和分别由式（2.19）和式（2.20）的解给出，最优投资组合策略为t=()Wt+p()1 e()r()T tr1 。2.3按工资比例收取管理费用对于按工资比例收取管理费用情形下的 HJB方程（1.11），由2.1节的处理方式，得如下定理：定 理 2.3.1当t 0，T，w 0，yi 0，z 0，HJB 方 程（1.11）的 解 存 在，且 表 达 式 为V()t，w，y1，yn，z=()w ()tgc()t，y1，yn，z，其中c=1 1 +2，g和分别满足0=cgt+g()r+1221 +ci=1ngyi()z xiyi+cgz()k()z+z1 +122czgzz，（2.21）()t=pe a()1 e r()T tr。式（2.20）的解g可通过 Feynman-Kac定理给出：定 理 2.3.2当t 0，T，w 0，yi 0，z 0，且 边 界 条 件 为g()T，y1，yn，z=1时，式（2.21）14杨秀琪：分数阶 Heston模型下的养老金投资组合问题第 5 期解为g()t，y1，yn，z=Et，y1，yn，zexptT()rc+122()1 cvnsds，（2.22）且c=11+2，vnt=v0+i=1nqniYxnit，dYxt=()ZntxYxtdt，dZnt=()k()Znt+Zntvnt1 dt+ZntdBZt，当=0时，vnt=vnt。由上述定理，可得如下结论：定 理 2.3.3HJB 方 程（1.11）解 的 表 达 式 为V()t，w，y1，yn，z=()w ()tgc()t，y1，yn，z，且g满足式()2.22，()t=pe a()1 e r()T tr，且当t 0，T，w 0，yi 0，z 0时，最优投资策略为t=()Wt+pe a()1 e r()T tr1 +c1 Ztvntgz()Wt+pe a()1 e r()T trg。=0时，按财富比例收取管理费用情形下的HJB方程的解可显式表出：定 理 2.3.4当t 0，T，w 0，yi 0，z 0，=0，边界条件为g()T，y1，yn，z=1，式（2.21）的 解 存 在，表 达 式 为g()t，y1，yn，z=exp()T t+i=1ni()T t yi+()T t z，其中i()T t=qi0T te xisds，（2.23）且=1221 ，和是如下微分方程的解：t()T t=r+v0+()T t k，（2.24）t()T t=0T t0e xsn()dx ds k()T t+1222()T t，（2.25）边界条件为()0=()0=0。定理 2.3.5当t 0，T，w 0，yi 0，z 0且=0时，HJB方程（1.11）的解为V()t，w，y1，yn，z=()w ()texp()T t+i=1ni()T t yi+()T t z，式 中()t=pe a()1 e r()T tr，i由 式（2.23）给出，和分别由式（2.24）和式（2.25）的解给出，最优投资组合策略为t=()Wt+pe a()1 e r()T tr1 。对于分数阶 Heston 模型下的不同收取管理费用方式的 DC 型养老金最优投资组合问题，收敛性的证明同 2.1 节类似。参照文献 10，对比按资产财富比例和按工资比例收费方式下的养老金终端财富的最大化期望效用，对于该问题同样可推出等价管理费用，故养老金终端财富的最大化期望效用分别为：V1()w0，v0，z0=()w 1()0exp1()T+1()T z0，（2.26）V2()w0，v0，z0=()w 2()0exp2()T+2()T z0，（2.27）其 中，1()0=p()1 e()r Tr，2()0=pe a()1 e rTr，1和1分别由式（2.19）和（2.20）的解给出，2和2分 别 由 式（2.24）和（2.25）的 解 给 出，令V1()w0，v0，z0=V2()w0，v0，z0，化简可得()w0+p()1 e()r TreT=()w0+pe a()1 e rTr，进一步化简有a=lnp()1erTrw0()eT1+p()eTe()2r T，当和a满足该式时，在 2 种收取管理费方式下可得等价的养老金终端财富的最大化期望效用，此时管理费用便为等价管理费用。3算例分析该节将模拟分数阶 Heston 模型框架下养老金财富过程的路径，分析不同收取管理费用方式下相关参数的变化对于养老金财富过程的影响。对于养老金财富过程Wt以及Zt采用欧拉离散方法近似，参照文献 14 对式（1.3）采用前向欧拉离散化方法近似15首都师范大学学报（自然科学版）2023年vk=v0+j=0k 1()()k j()k j 1()+1Zj，式中取0.001，并设置其他参数为w0=100，r=0.02，=0.5，=3，p=0.3，v0=0.1，z0=0.1，k=3，=0.2，=0.45，T=30。当无管理费用时，令=0.1，模拟波动率过程及其养老金财富过程如图 1 所示，波动率过程与文献 14 中所示的波动率过程波动范围较为一致，且养老金财富过程路径呈上升趋势符合预期。令=0.1，0.3，0.6，模拟波动率过程vt及最优投资策略t如图 2 所示，表明波动率过程vt整体呈递增趋势，且越大越平滑，同时也可观察到分数阶 Heston 模型下波动率过程的长期记忆性和自相似性，较好地刻画了金融市场的动态特征。另外，的增大会使t减小，即会使得养老金管理者一定程度上减小在风险资产上的投资，从而保证收益的最大化。对于按财富比例收取管理费用的方式，令比例分别为 0.01、0.02和 0.03，得财富过程如图 3所示。对于按工资比例收取管理费用的方式，令a分别为0.1、0.3 和 0.6，得财富过程如图 4 所示。当=0.01以及a=0.1时，相应的财富过程增长幅度相似。利用同样的比较方式，=0.02对应a=0.3，=0.03对应a=0.6。可见，当初始值和某些参数固定时，不同收取管理费用方式或收取不同比例的管理费其养老金投资组合问题的终端财富会有差异，且无论何种方式终端财富较图 1 都有明显减少，这较符合实际。另外，当作为缴费者面临不同收取管理费用的方式时，可通过对比养老金终端财富，从而选注：Wt为养老金财富值，vt为波动率，t为时间，不同颜色线条分别代表养老金财富过程或波动率过程的不同路径。图 1无管理费用（a）养老金财富过程；（b）波动率过程注：t为最优投资策略，不同颜色线条分别代表最优投资策略或波动率过程的不同路径。图 2取不同值时的波动率过程及最优投资策略（a）最优投资策略（=0.1）；（b）波动率过程（=0.1）；（c）最优投资策略（=0.3）；（d）波动率过程（=0.3）；（e）最优投资策略（=0.6）；（f）波动率过程（=0.6）注：不同颜色线条分别代表养老金财富过程的不同路径。图 3按财富比例收取管理费用（a）财富过程（=0.01）；（b）财富过程（=0.02)；（c）财富过程（=0.03）16杨秀琪：分数阶 Heston模型下的养老金投资组合问题第 5 期择效益最大化的方式，例养老金管理者提供按财富比例且=0.01以及按工资比例且a=0.3收取管理费用的 2种方式，参保人应该倾向于选择按财富比例且=0.01的缴纳管理费用方式，以最大化终端财富。参 考 文 献1 XIAO J，HONG Z，QIN C.The constant elasticity ofvariance（CEV）model and the Legendre transform-dualsolutionforannuitycontractsJ.InsuranceMathematics&Economics，2007，40（2）：302-310.2 GAO J.Optimal portfolios for DC pension plans under aCEV modelJ.Insurance Mathematics&Economics，2009，44（3）：479-490.3 COX J C，ROSS S A.The valuation of options foralternative stochastic processes J.Journal of FinancialEconomics，1976，3（1/2）：145-166.4 GUAN G，LIANG Z.Optimal management of DCpension plan in a stochastic interest rate and stochasticvolatilityframework J.InsuranceMathematics&Economics，2014，57：58-66.5 KRITZER B E，KAY S J，SINHA T.Next generation ofindividual account pension reforms in Latin America J.Social Security Bulletin，2011，71（1）：35-76.6 CHAVEZ-BEDOYA L.Determining equivalent chargeson flow and balance in individual account pensionsystems J.JournalofEconomics，FinanceandAdministrative 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