第五章_正态分布、常用统计分布和.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 正态分布、常用统计分布和极限定理,一、什么是正态分布,正态分布,(Normal Distribution),服从一类确定的规律，又称为常态分布或高斯分布。,如,统计了,96,人的初婚年龄,18.5 20.5 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5 32.5,x,(x,),表,5-1,图,5-1,(x,),1.,正态分布曲线是单峰，有一个最高点；,2.,分布曲线有一个对称轴,x=,；,3.,分布曲线以横轴为渐近线。,中位值、中值、均值三者重叠。,分布密度曲线的特征：,1.,曲线在,x=,处,达到最高值，并且以,x=,对称。,正态分布的概率密度表达式为：,2.在,不变的情况下，,越小，,图形越尖锐，反之则低阔。,1,2,3,图,5-2,图,5-3,=0.5,=1,=2,参数,和,代表的意义,正态,曲线下每一小块面积就是随机变量 在该小块取值 所出现的概率，曲线下的整个面积由无数个小直方形拼成。,曲线下任意两点 的概率，就是对从 到 的,所有小块面积进行累加，即,几个典型取值区间的概率值,图,5-4,34.13%,34.13%,13.6%,13.6%,2.16%,2.16%,0.11%,0.11%,二、标准正态分布,根据,Z,值所得到的分布就是标准正态分布，概率密度为,变量值标准化,标准正态分布其实是一般正态分布的一个特例，记作,N(0,，,1),，,一般正态分布记作,N(,，,2,),。,一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态分布，就是把原来坐标中的零点沿着,X,轴迁到,点，,并且以,为,单位记分。,图5-5,0,=1,（一）正态分布与标准正态分布的特点对比,1.,标准正态曲线在,Z=0,处达到最高点；,2.,标准正态曲线以,Z=0,为,中心，双侧对称；,3.,标准正态曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永不与基线相交；,4.,平均数为,0,，标准差为,1,；,5.,标准正态曲线从最高点向左右延伸时，正负,1,个标准差内向下向内弯，从正负,1,个标准差开始，向下向外弯。,（二）正态分布与标准正态分布面积之间的对应关系,34.13%,34.13%,13.6%,13.6%,2.16%,2.16%,0.11%,0.11%,图5-6,（三）标准分的实际意义,例,1,：甲、乙、丙,3,个同学,社会统计学,分数都是,80,分，甲同学所在班平均成绩,甲,=80,分，,乙,=75,分，,丙,=70,分，标准差都是,10,，比较,甲、乙、丙,3,个同学在班上的成绩。,例,2,：设甲、乙、丙三个学生所在班级的平均成绩都为,75,分，,甲,=10,分，,乙,=15,分，,丙,=20,分，比较,甲、乙、丙三个学生在班上的成绩。,如果各科原始分数呈正态分布，可将各科原始分数转换成标准分，求其总和，再比较总分大小。,例,3：甲、乙两生高考的政治分数分别为70分、60分，,物理分数分别为60分、70分，从总分上看，两生的总,成绩相等，但政治的平均分是70分，,=,20，,而物理,的平均分是50分，,=,40。,为了使标准分,Z,值变成形式上的原始分数，一般将,Z,值乘以,10,，加上,50,，就变成了,T,分数：,T=10Z+50,T,甲,=0.25,10+50=52.5,；,T,乙,=0,10+50=50,标准分数的大小和正负可以反映某一个考生在全体,考分中所处的地位，如甲生英语分数为,Z=-0.44,之,上有67%的考生；乙生,Z=0.25,之上有40.13%的考,生，通过每个考生在总体中的位置比较优劣，所以,称为相对分数。,三、标准正态分布表的使用,标准正态分布表是根据概率密度，用积分计算,Z,取不同值时正态分布曲线下的面积。,有的从,Z=-,开始，,Z,逐渐增加，表中所列是某个,Z,分数以下的累积概率；,有的从,Z=0,开始，,Z,逐渐变化，计算从,Z=0,到某一定值之间的概率，因为正态分布对称，且对称轴为,=0,，,所以当,Z,0,时相应的,Z,分数概率值相等。,任意两点,Z,1,，,Z,2,之间的面积就是,图5-7,图5-8,图5-9,例,4,：,例5：,例,6,：,例,7：,例,8,：,例,9,：,即在,60.24分到83.76分之间,包括有95%的学生。,图,5-10,95%,例,10,：,表5-2,图,5-11,0,Z,四、常用统计分布,样本具有两重性：,假设,x,1,、,x,2,x,n,是从,总体,X,中抽取的样本，在一次具体的观测或试验中，它们是一批测量值，是一些已知数，即样本具有数的属性。,在不同的观测中样本取值可能不同，因此当脱离开特定的具体试验或观测时，并不知道样本,x,1,、,x,2,x,n,的,具体取值是多少，可以把它们看作随机变量，即样本具有随机变量的属性。,如果在相同条件下对总体,X,进行,n,次重复的独立观测，那么可以认为所获得的样本,x,1,、,x,2,x,n,是独立的，并且服从相同分布的随机变量。,如：当我们把一个长度为,的物体测量了,n,次，获得样本,x,1,、,x,2,x,n,之后，要计算其算术平均数作为,的,估计，其平均数就是对样本进行处理后得到的一个统计量。样本均值、样本方差是几个主要的统计量。,三大分布：,x,2,分布、,t,分布和,F,分布,（一）,x,2,分布,随着自由度增加，图形渐趋对称；,x,2,具有可加性。设,x,2,(k,1,),、,x,2,(k,2,),，,且,与,相互独立，则,+=x,2,(k,1,+k,2,),，,即,+x,2,(k,1,+k,2,),图5-12,K=1,K=2,K=6,X,2,分布表的编制与使用（附表,6,）,（二）,t,分布（学生分布）,设,随机变量,N(0,1),，,x,2,(k),，,且,与,相互独立，,则随机变量,的,分布称为自由度为,k,的,t,分布,或学生分布，并记作,t(k),。,图5-13,0,t,分布表的使用,（三）,F,分布,图5-14,0,（,1,，,10,）,（,5,，,10,）,（,10,，,10,）,（,，,10,）,F,分布表是根据,F,分布函数计算得来的，附表,7,中,对于不同的自由度及不同的,（,0 1,），,给出,了满足式 的,F,值。,五、大数定理与中心极限定理,当观察次数,n,趋向于无穷大时所得出的一系列定理，统称为极限定理。极限定理又分为大数定理和中心极限定理。,大数定理一般讨论,n,个,随机变量的平均值的稳定性；中心极限定理讨论在一般情况下，,n,个,随机变量的和当,n,时的,极限分布是正态分布。,（一）贝努里大数定理,（二）切贝谢夫大数定理,（三）中心极限定理,上面的表达式还有以下几种表达方法：,