苏教版九年级上数学期末试题.doc

九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．方程x2=25的解是（　　）
A．x=5 B．x=﹣5 C．x1=5，x2=﹣5 D．
3．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=2：1，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）

A．2：1 B．2：3 C．4：1 D．4：9
5．如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘2次，当转盘停止转动时，二次指针所指向数字的积为偶数的概率为（　　）

A． B． C． D．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示，则下列结论中，正确的个数有（　　）
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
（1）a＜0；
（2）当x＜0时，y＜3；
（3）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
（4）方程ax2+bx+c=5有两个不相等的实数根．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方
差 ．（填“＞”、“＜”或“=”）

8．已知关于x的方程x2+5x+m=0的一根为﹣1，则方程的另一根为　　　　　　．
9．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=4，BD=2，则BC=　　　　　　．

10．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=140°，则∠BOD=　　　　　　°．

11．若A（﹣，y1），B（，y2）为二次函数y=﹣x2+2x+1图象上二点，则y1　　　　　　 y2．（填“＞”、“＜”或“=”）
12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=4cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为　　　　　　cm．

13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为　　　　　　cm．

14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的上一点，且AE=2EB，过点E作EF∥BC，交DC于点F．若BC=9cm，AD=6cm，则EF=　　　　　　cm．

15．已知M是菱形ABCD的对角线AC上一动点，连接BM并延长，交AD于点E，已知AB=5，AC=8，则当AM的长为　　　　　　时，△BMC是直角三角形．

16．如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　　　　　　．

三、解答题（本大题共10小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：4x2﹣（x2﹣2x+1）=0．

18．某校组织了以“我为环保作贡献”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种．现从中随机抽取了部分电子小报，对其成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图；
（2）求所抽取小报成绩的中位数和众数；
（3）已知该校收到参赛的电子小报共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上的电子小报有多少份？　
19．已知二次函数y=﹣x2+bx+c经过点（1，5），（3，1）．
（1）求b、c的值；
（2）在所给坐标系中画出该函数的图象；（要求列表、描点、连线）
（3）将y=﹣x2的图象经过怎样的平移可得到y=﹣x2+bx+c的图象？

20．在甲、乙两个盒中各装有编号为0，1，2的三个球，这些球除编号外都相同．若从两盒中先后各随机取出一个球，组成一个含两个数字的号码（如：从甲盒取出的球上的编号为0，从乙盒取出的球上的编号为1，则组成号码“01”）．
（1）求组成的号码是“对子”（两个数字相同）的概率；
（2）若甲、乙两个盒中各装有编号为0到9的十个球，这些球除编号外都相同，若规则不变，则从两盒中先后各随机取出一个球，组成的号码是“对子”的概率是　　　　　　．（直接填写答案）

21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）求作⊙P，使圆心P在BC上，⊙P与AC、AB都相切；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求⊙P的半径．

22．如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，
宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．
（1）画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；
（2）在抛物线型拱壁E、F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？

23．已知二次函数y=x2+（2m+2）x+m2+m﹣1（m是常数）．
（1）用含m的代数式表示该二次函数图象的顶点坐标；
（2）当二次函数图象顶点在x轴上时，求出m的值及此时顶点的坐标；
（3）小明研究发现：m取不同的值时，表示不同的二次函数，求出这些二次函数图象的顶点坐标，并将它们在同一直角坐标系中画出，可知这些顶点都在同一条直线上．请写出这条直线的函数表达式，并加以证明．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，△BDE的外接圆⊙O交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5cm，BC=8cm，求AC的长．

25．某商场以每个80元的价格进了一批玩具，当售价为120元时，商场平均每天可售出20个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了x元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为y元．
（1）降价后商场平均每天可售出　　　　　　个玩具；
（2）求y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒（t＞0）．过点P作∠DPA=∠CPO，且PD=CP，连接DA．
（1）点D的坐标为　　　　　　．（请用含t的代数式表示）
（2）点P在从点O向点A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
（3）请直接写出点D的运动路线的长．

江苏省南京市高淳区2016届九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．已知=，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据合比性质即可求解．
【解答】解：∵=，
∴==．
故选B．
【点评】本题考查了比例的基本性质，是基础题，掌握合比性质：若=，则=是解题的关键．

2．方程x2=25的解是（　　）
A．x=5 B．x=﹣5 C．x1=5，x2=﹣5 D．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】方程两边直接开平方即可．
【解答】解：x2=25，
方程两边直接开平方得：x=±5，
∴x1=5，x2=﹣5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．
法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

3．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【考点】根的判别式．
【分析】首先根据题意求得判别式△=m2﹣4＞0，然后根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；求得答案．
【解答】解：∵a=1，b=m，c=1，
∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4，
∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣4＞0，
则m的值可以是：﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，解题时注意：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=2：1，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）

A．2：1 B．2：3 C．4：1 D．4：9
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵AD：DB=2：1，
∴AD：AB=2：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比=（）2=，
故选D．
【点评】本题考查了三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．

5．如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘2次，当转盘停止转动时，二次指针所指向数字的积为偶数的概率为（　　）

A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与二次指针所指向数字的积为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，二次指针所指向数字的积为偶数的有12种情况，
∴二次指针所指向数字的积为偶数的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

6．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示，则下列结论中，正确的个数有（　　）
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
（1）a＜0；
（2）当x＜0时，y＜3；
（3）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
（4）方程ax2+bx+c=5有两个不相等的实数根．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x=﹣1时，y=﹣1，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0，故（1）正确；
（2）又x=0时，y=3，所以c=3＞0，当x＜0时，y＜3，故（2）正确；
（3）∵二次函数的对称轴为直线x=1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（3）错误；
（4）∵y=ax2+bx+c（a，b，c为常数．且a≠0）的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标＞5，
∵方程ax2+bx+c﹣5=0，
∴ax2+bx+c=5时，即是y=5求x的值，
由图象可知：有两个不相等的实数根，故（4）正确；
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差　＞　．（填“＞”、“＜”或“=”）

【考点】方差；条形统计图．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
【解答】解：∵通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，
∴甲的方差大于乙的方差，
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

8．已知关于x的方程x2+5x+m=0的一根为﹣1，则方程的另一根为　﹣4　．
【考点】根与系数的关系．
【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到﹣1+t=﹣5，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一根为t，
根据题意得﹣1+t=﹣5，解得t=﹣4，
即方程的另一根为﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：设x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．

9．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=4，BD=2，则BC=　8　．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由于∠BAC=90°，AD是BC边上的高，那么利用直角三角形斜边上的高所分得两个三角形与原三角形相似可知△ABD∽△CBA，利用相似三角形的性质即可求出BC的长．
【解答】解：∵∠BAC=90°，AD是BC边上的高，
∴△ABD∽△CBA，
∴
∵AB=4，BD=2，
∴，
∴BC=8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的高所分得两个三角形与原三角形相似．

10．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=140°，则∠BOD=　80　°．

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠A=180°，
∴∠A=40°，
则∠BOD=80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．

11．若A（﹣，y1），B（，y2）为二次函数y=﹣x2+2x+1图象上二点，则y1　＞　 y2．（填“＞”、“＜”或“=”）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数y=﹣x2+2x+1，
∴该抛物线开口向下，且对称轴为x=1．
∵A（﹣，y1），B（，y2）为二次函数y=﹣x2+2x+1图象上二点，
点A（﹣，y1）横坐标离对称轴的距离小于点B（，y2）横坐标离对称轴的距离，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．

12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=4cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为　4　cm．

【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
【分析】连接OB，则可知∠BOD=2∠BCD=45°，由垂径定理可得BE=2，在Rt△OEB中BE=OE，利用勾股定理可求得OB．
【解答】解：连接OB，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵CD是直径，弦AB⊥CD，
∴BE=AE=AB=2cm，
在Rt△BOE中，由勾股定理可求得OB=4cm，
即⊙O的半径为4cm，
故答案为：4．

【点评】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，由条件得到∠BOD=45°且求得BE的长是解题的关键．

13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为　6　cm．

【考点】圆锥的计算．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm，
设圆锥的母线长为R，则：=4π，
解得R=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．

14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的上一点，且AE=2EB，过点E作EF∥BC，交DC于点F．若BC=9cm，AD=6cm，则EF=　8　cm．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】首先过点A作AN∥CD，分别交EF，BC于点M，N，易得四边形AMFD与四边形ANCD是平行四边形，则可求得FM=CN=AD=3，BN=2，易证得△AEM∽△ABN，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得EM的长，继而求得答案．
【解答】解：过点A作AN∥CD，分别交EF，BC于点M，N，
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∴四边形AMFD与四边形ANCD是平行四边形，
∴CN=MF=AD=6cm，
∴BN=BC﹣CN=9﹣6=3cm，
∵EF∥BC，
∴△AEM∽△ABN，
∴EN：BM=AE：AB，
∵AE：EB=2：1，
∴AE：AB=2：3，
∴EM=BN=2，
∴EF=EM+FM=2+6=8．
故答案为：8．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

15．已知M是菱形ABCD的对角线AC上一动点，连接BM并延长，交AD于点E，已知AB=5，AC=8，则当AM的长为　4或　时，△BMC是直角三角形．

【考点】菱形的性质．
【分析】首先连接BD，交AC于点O，由菱形ABCD中，AB=5，AC=8，易求得BC=5，OA=OC=4，且BD⊥AC；然后分别从BM⊥AC与BM⊥BC去分析求解即可求得答案．
【解答】解：连接BD，交AC于点O，
∵菱形ABCD中，AB=5，AC=8，
∴BC=AC=5，OA=OC=AC=4，AC⊥BD；
当BM⊥AC时，点M与点O重合，此时AM=OA=4；
当BM⊥BC时，∠CBM=∠COB，∠BCM=∠OCB，
∴△CBM∽△COB，
∴，
即，
∴CM=，
∴AM=AC﹣CM=；
综上：AM=4或．
故答案为：4或．

【点评】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解此题的关键．

16．如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　2　．

【考点】圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH，即可求出答案．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4
∴AD=BD=4，即此时圆的直径为4，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=2×=，
由垂径定理可知EF=2EH=2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．

三、解答题（本大题共10小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：4x2﹣（x2﹣2x+1）=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】先利用完全平方公式变形得到4x 2﹣（x﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：4x 2﹣（x 2﹣2x+1）=0，
4x 2﹣（x﹣1）2=0，
（2x+x﹣1）（2x﹣x+1）=0，
（3x﹣1）（x+1）=0，
3x﹣1=0或x+1=0，
所以x1=，x2=﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

18．某校组织了以“我为环保作贡献”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种．现从中随机抽取了部分电子小报，对其成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图；
（2）求所抽取小报成绩的中位数和众数；
（3）已知该校收到参赛的电子小报共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上的电子小报有多少份？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】计算题．
【分析】（1）用得60分的小报的数量除以它占的百分比得到样本容量，再计算出80分的电子小报的份数和它所占的百分比，然后补全统计图；
（2）根据中位数和众数的定义求解；
（3）利用样本估计总体，用样本中90分以上的电子小报所占的百分比乘以900即可．
【解答】解：（1）样本容量为6÷5%=120，
所以80分的电子小报的份数为120﹣6﹣24﹣36﹣12=42（份），80分的电子小报所占的百分比为×100%=35%；
如图，

（2）由题意可知：抽取小报共120份，其中得60分有6份，得70分有24份，得80分有42份，得90有36份，得100分有12份，
所以所抽取小报成绩的中位数为80分，众数为80分；
（3）该校学生比赛成绩达到90分以上的电子小报占比为30%+10%=40%，
所以该校学生比赛成绩达90分以上的电子小报约有：900×40%=360（份）．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体．

19．已知二次函数y=﹣x2+bx+c经过点（1，5），（3，1）．
（1）求b、c的值；
（2）在所给坐标系中画出该函数的图象；（要求列表、描点、连线）
（3）将y=﹣x2的图象经过怎样的平移可得到y=﹣x2+bx+c的图象？

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象；二次函数图象与几何变换．
【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值；
（2）采用列表、描点法画出图象即可．
（3）实际上是把顶点从原点移到（1，5）．
【解答】解：（1）把（1，5），（3，1）代入函数表达式，得，
解得：；
（2）列表
x
﹣1
0
1
2
3
y
1
4
5
4

1
描点、连线作图如下：

（3）∵y═﹣x2+2x+4的顶点为（1，5），
∴y=﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移5个单位可得y=﹣x2+2x+4的图象．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式；也考查了二次函数的图象和二次函数图象变换的方法．

20．在甲、乙两个盒中各装有编号为0，1，2的三个球，这些球除编号外都相同．若从两盒中先后各随机取出一个球，组成一个含两个数字的号码（如：从甲盒取出的球上的编号为0，从乙盒取出的球上的编号为1，则组成号码“01”）．
（1）求组成的号码是“对子”（两个数字相同）的概率；
（2）若甲、乙两个盒中各装有编号为0到9的十个球，这些球除编号外都相同，若规则不变，则从两盒中先后各随机取出一个球，组成的号码是“对子”的概率是　　．（直接填写答案）
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的号码是“对子”（两个数字相同）的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）根据题意可得等可能的结果有：10×10=100（种），其中组成的号码是“对子”的有10种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：

∵所有可能结果：（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、
（2，0）、（2，1）、（2，2），共9种可能情况，且都是等可能的，其中组成的号码是“对子”的有3种，
∴组成的号码是“对子”的概率为P==；

（2）∵等可能的结果有：10×10=100（种），其中组成的号码是“对子”的有10种情况，
∴组成的号码是“对子”的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）求作⊙P，使圆心P在BC上，⊙P与AC、AB都相切；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求⊙P的半径．

【考点】作图—复杂作图；切线的性质．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）作∠BAC的平分线交BC于P点，然后以点P为圆心，PC为半径作圆即可得到⊙P；
（2）设⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PD⊥AB，如图，先判断AC为⊙P的切线，则根据切线长定理得到AD=AC=4，所以BD=AB﹣AD=1，再△BPD∽△BAC，然后利用相似比计算出PD即可．
【解答】解：（1）如图，⊙P为所作；

（2）设⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PD⊥AB，如图，
∵∠ACP=90°，
∴AC为⊙P的切线，
∴AD=AC=4，
∴BD=AB﹣AD=1，
∵∠PDB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BPD∽△BAC，
∴=，即=，解得PD=，
即⊙P的半径为．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质．

22．如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，
宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．
（1）画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；
（2）在抛物线型拱壁E、F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？

【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据所建坐标系易求抛物线ADC的顶点坐标和A的坐标解答即可；
（2）把y=8代入表达式中运用函数性质求解即可．
【解答】解：（1）画出直角坐标系xOy，如图：

由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为（6，10），
A点坐标为（0，4），
可设抛物线ADC的函数表达式为y=a（x﹣6）2+10，
将x=0，y=4代入得：a=﹣，
∴抛物线ADC的函数表达式为：y=﹣ （x﹣6）2+10．
（2）由y=8得：﹣ （x﹣6）2+10=8，
解得：x1=6+2，x2=6﹣2，
则EF=x1﹣x2=4，即两盏灯的水平距离EF是4米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．

23．已知二次函数y=x2+（2m+2）x+m2+m﹣1（m是常数）．
（1）用含m的代数式表示该二次函数图象的顶点坐标；
（2）当二次函数图象顶点在x轴上时，求出m的值及此时顶点的坐标；
（3）小明研究发现：m取不同的值时，表示不同的二次函数，求出这些二次函数图象的顶点坐标，并将它们在同一直角坐标系中画出，可知这些顶点都在同一条直线上．请写出这条直线的函数表达式，并加以证明．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标（﹣，）即可得出答案；
（2）由二次函数图象顶点在x轴上，则=0，求得m的值及顶点的坐标；
（3）设直线的函数表达式为y=kx+b，取两个不同的m值代入，得出顶点坐标代入y=kx+b，可求得k，b的值，再将x=﹣m﹣1，y=﹣m﹣2代入判断是否满足解析式即可．
【解答】解：（1）y=x2+（2m+2）x+m2+m﹣1=（x+m+1）2﹣m﹣2，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（﹣m﹣1，﹣m﹣2）；
（2）当二次函数图象顶点在x轴上时，﹣m﹣2=0，
解得：m=﹣2，
∴此时顶点的坐标为（1，0）；
（3）直线的函数表达式为y=x﹣1，证明如下：
法1：设直线的函数表达式为y=kx+b，取两个顶点坐标代入，可求得
∴y=x﹣1．
∵将x=﹣m﹣1，y=﹣m﹣2代入满足y=x﹣1，
∴m取不同值时，点（﹣m﹣1，﹣m﹣2）都在一次函数y=x﹣1的图象上
即顶点所在的直线的函数表达式为y=x﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了顶点坐标的公式，是基础题，二次函数图象顶点在x轴上是二次函数的顶点坐标纵坐标=0是解题的关键．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，△BDE的外接圆⊙O交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5cm，BC=8cm，求AC的长．

【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接OD，由OB=OD和角平分线性质得出∠ODB=∠DBC．推出OD∥BC，得出∠ADO=∠C=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）由OD∥BC得△AOD∽△ABC，得出=，求得OA，进一步求得AB，然后利用勾股定理即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，
∴BE是⊙O的直径．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBC．
∴∠ODB=∠DBC．
∴OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°，即OD⊥AC．
又∵点D在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴=，
∵⊙O的半径为5cm，BC=8cm，
∴=，
解得：OA=cm．
∴AB=5+= cm．
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC==．

【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．

25．某商场以每个80元的价格进了一批玩具，当售价为120元时，商场平均每天可售出20个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了x元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为y元．
（1）降价后商场平均每天可售出　20+2x　个玩具；
（2）求y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用；列代数式；二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】应用题；函数思想；整式；二次函数的应用．
【分析】（1）根据：降价后销量=降价前销量+增加的销量，列出代数式；
（2）根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式；根据降价后价格不小于进价，确定x的范围；
（3）将（2）中函数表达式配方成顶点式，结合x的范围可求出最大利润．
【解答】解：（1）降价后商场平均每天可售出玩具数量为：20+2x；
（2）由题意得y=（120﹣x﹣80）=﹣2x2+60x+800，其中，x的取值范围是0＜x≤40；
（3）y=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250（0＜x≤40），
∴当x=15时，y有最大值1250．
此时玩具的售价为120﹣15=105（元）．
∴该商场将每个玩具的售价定为105元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
故答案为：（1）20+2x．
【点评】本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，主要利用了利润=每个玩具的利润×销售量，求函数的最值时，应注意自变量的取值范围．

26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒（t＞0）．过点P作∠DPA=∠CPO，且PD=CP，连接DA．
（1）点D的坐标为　（t，1）　．（请用含t的代数式表示）
（2）点P在从点O向点A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
（3）请直接写出点D的运动路线的长．

【考点】四边形综合题．
【分析】（1）作DE⊥OA于E，证得△POC∽△PED，根据三角形相似的性质易求得PE=t，DE=1，即可求得D（t，1）；
（2）分两种情况讨论：①当∠PDA=90°时，△DPA是直角三角形，此时△COP∽△ADP．得出=，即可求得t1=2，t2=．②当∠DAP=90°时，△DPA是直角三角形，此时△COP∽△DAP．得出=，即可求得t=．
（3）根据题意和（1）求得的D（t，1），即可求得当点P与点O重合时，D1（0，1），点P与点A重合时，D2（6，1），从而得出点D在直线D1D2上，即D点运动的路线是一条线段，起点是D1（0，1），终点是D2（6，1），即可求得点D运动路线的长度为6．
【解答】解：（1）如图1，作DE⊥OA于E，
∵∠POC=∠PED=90°，∠DPA=∠C