级数学物理方法试题.doc

数学物理方法试题A （100分）
2005级光电子专业
一、填空题 （40分）

1. 表示复数 的代数式是 ，指数式是

。

2. 设 ,
则 满足一个
方程，可解出 。

3. 设 ，，。
则方程 称为 。
如在 区域，、、、 连续，且上述方程成立，则称复变函数 为 区域上的 。

4. ， 。
5. 设解析函数 ，
其共轭函数 ，
其导数 。

6. ，
7. 复幂级数 的收敛区域通常为 ，
圆的半径称为 。

8. 函数的主要定义是：

， 。

9. 周期函数的定义是 ，付里叶级数的常见形式是

。

10. 现有两函数

则二者的付里叶变换分别为
， 。

二、简答题 （20分）
1. 设复变函数 ，试将平面上的曲线（以原点为圆心，以2为半径，位于区域的半圆）表示为平面上的曲线。

2. 对于复幂级数 ， 收敛半径 的取值共有几种情况？分别列出。

3. 求复幂级数 、 的收敛半径 。

4. 试举出2个常见的数学物理方程，写出数学形式，简述其所代表的物理意义。

三、计算题 （40分）
1. 将 沿圆心为 ，半径为的圆周 积分。

2. 试将 在的区域内分别展开为
复幂级数。

3. 现有函数
经平移后延拓为一个周期为的锯齿波。试将其展开为付里叶级数。

4. 已知静电场的电势 满足拉普拉斯方程
今设带电体是一个位于Y—Z平面上的无限大均匀带电平面。当取 处为电势零点时，此面的电势为 。 试求 区间的电势分布。

数学物理方法试题B （100分）
2005级光电子专业
一、填空题 （40分）

1. 表示复数 的代数式是 ，指数式是

。

2. 在复变函数中，正弦函数的定义是 ，

余弦函数的定义是 。

3. 柯西积分公式的形式是 ，其中表示 。

4. ， 。
5. 设解析函数 ，
其共轭函数 ，
其导数 。

6. 。
7. 复幂级数 的收敛区域通常为 ，
圆的半径称为 。

8. 函数的主要定义是：

， 。

9. 周期函数的定义是 ，付里叶级数的常见形式是

。

10. 现有两函数

则二者的付里叶变换分别为
， 。

二、简答题 （20分）
1. 设复变函数 ，试将平面上的曲线（以原点为圆心，以2为半径，位于区域的圆弧）表示为平面上的曲线。

2. 波动方程和传导方程是2个常见的数学物理方程，试分别写出数学形式，并

简述其所代表的物理意义。

三、计算题 （40分）
1. 将 沿圆心为 ，半径为的圆周 积分。

2. 试将 在的区域内分别展开为复幂级数。

3. 现有函数
经平移后延拓为一个周期为的矩形波。试将其展开为付里叶级数。

4. 已知静电场的电势 满足拉普拉斯方程
今设带电体是一个位于Y—Z平面上的无限大均匀带电平面。当取 处为电势零点时，此面的电势为 。 试求 区间的电势分布。

5. 设一长为 的弹性弦两端固定，则弦的横向振动满足波动方程
其中， 表示弦作横向振动时的位移。试在区间 上求解该方程。设 ，

数学物理方法试题A答案 （100分）
2005级光电子专业
一、填空题 （30分）

1. 表示复数 的代数式是 ，指数式是 。

2. 在复变函数中，正弦函数的定义是 ，

余弦函数的定义是 。

3. 设 ，，。
如在 区域，，，， 连续，且方程
成立，则称复变函数 为 区域上的 ，上述方程称为 。

柯西---黎曼方程 解析函数

4. ， 。
5. 解析函数 ，
其共轭函数 ，
其导数 。

6. ，
。

7. 复幂级数 的收敛区域通常为 ， 圆的半径称为 。

一圆周， 收敛半径。

8. 函数的主要定义是

， 。

9. 周期函数的定义是 ，付里叶级数的常见形式是

。
10. 现有两函数
和
则二者的付里叶变换分别为
， 。

2 常数函数

F

3 框形函数

F

一质点从静止出发，沿半径的圆周运动，角加速度。则质点的角速度

二、简答题 （20分）
1. 设复变函数 ，试将平面上的曲线（以原点为圆心，以2为半径，位于区域的半圆）表示为平面上的曲线。
以原点为圆心，以4为半径，位于平面上的的圆。

2. 关于复幂级数 ， 收敛半径 的取值共有几种情况，分别列出。

3. 求复幂级数 、、 的收敛半径 。

4. 试举出2个常见的数学物理方程，写出数学形式，简述其所代表的物理意义。
5. 在分析力学中， 表示 ，表示 。

三、计算题 （40分）
1. 已知静电场的电势 满足拉普拉斯方程
今设带电体是一个位于Y—Z平面上的无限大均匀带电平面。当取 处为电势零点时，此面的电势为 。试求 区间的电势分布。

2. 设一长为 的弹性弦两端固定，则弦的横向振动满足波动方程
其中， 表示弦作横向振动时的位移。试在区间 上求解该方程。设 ，

3. 将 沿圆心为 ，半径为的圆周
积分。

4. 试将 在区域 、内分别展开为复幂级数。
5. 现有函数
经平移后延拓为一个周期为的锯齿波。试将其展开为付里叶级数。

5. 设一长为 的弹性弦两端固定，则弦的横向振动满足波动方程
其中， 表示弦作横向振动时的位移。试在区间 上求解该方程。设 ，

数学物理方法试题B答案 （100分）
2005级光电子专业
一、填空题 （30分）

1. 表示复数 的代数式是 ，指数式是 。

2. 在复变函数中，正弦函数的定义是 ，

余弦函数的定义是 。

3. 设 ，，。
如在 区域，，，， 连续，且方程
成立，则称复变函数 为 区域上的 ，上述方程称为 。

柯西---黎曼方程 解析函数

4. ， 。
5. 复变函数 ，
其共轭函数 ，
其导数 。

6. ，
。

7. 复幂级数 的收敛区域通常为 ， 圆的半径称为 。

一圆周， 收敛半径。

8. 函数的主要定义是

， 。

9. 周期函数的定义是 ，付里叶级数的常见形式是

。
10. 现有两函数
和
则二者的付里叶变换分别为
， 。

4 常数函数

F

5 框形函数

F

二、简答题 （20分）
1. 设复变函数 ，试将平面上的曲线（以原点为圆心，以2为半径，位于区域的半圆）表示为平面上的曲线。
以原点为圆心，以4为半径，位于平面上的的圆。

2. 关于复幂级数 ， 收敛半径 的取值共有几种情况，分别列出。

3. 求复幂级数 、、 的收敛半径 。

4. 试举出2个常见的数学物理方程，写出数学形式，简述其所代表的物理意义。
5. 在分析力学中， 表示 ，表示 。

三、计算题 （40分）
1. 已知静电场的电势 满足拉普拉斯方程
今设带电体是一个位于Y—Z平面上的无限大均匀带电平面。当取 处为电势零点时，此面的电势为 。试求 区间的电势分布。

2. 设一长为 的弹性弦两端固定，则弦的横向振动满足波动方程
其中， 表示弦作横向振动时的位移。试在区间 上求解该方程。设 ，

3. 将 沿圆心为 ，半径为的圆周
积分。

4. 试将 在区域 、内分别展开为复幂级数。
5. 现有函数
经平移后延拓为一个周期为的锯齿波。试将其展开为付里叶级数。