数学选修22推理与证明.pptx

第二章 阶段复习课一、合情推理与演绎推理一、合情推理与演绎推理1.1.归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理定定义义由某类事物的部分对象具有某由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理论的推理，称为归纳推理(简简称归纳称归纳).).由两类对象具有某些类似特征由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理些特征的推理称为类比推理(简称类比简称类比).).特特征征归纳推理是由部分到整体，由归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理个别到一般的推理.类比推理是由特殊到特殊的推类比推理是由特殊到特殊的推理理.2.2.合情推理合情推理(1)(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理统称为合情推理.(2)(2)对合情推理的认识对合情推理的认识:归纳推理归纳推理 合情推理合情推理 类比推理类比推理3.3.演绎推理演绎推理(1)(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理这种推理称为演绎推理(逻辑推理逻辑推理).).(2)(2)特点：由一般到特殊的推理特点：由一般到特殊的推理.(3)(3)演绎推理是数学中证明的基本推理形式演绎推理是数学中证明的基本推理形式.演绎推理的一般模式演绎推理的一般模式“三段论三段论”：大前提：已知的一般原理大前提：已知的一般原理(M(M是是P);P);小前提：所研究的特殊情况小前提：所研究的特殊情况(S(S是是M);M);结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S(S是是P).P).二、综合法和分析法二、综合法和分析法1.1.综合法综合法(1)(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法或由因导果法立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法或由因导果法.(2)(2)其推理方式可用框图表示为：其推理方式可用框图表示为：其中其中P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q Q表示所要表示所要证明的结论，证明的结论，Q Q1 1,Q,Q2 2,表示中间结论表示中间结论综合法常用的表达格式为：综合法常用的表达格式为：P P，Q Q1 1;又又Q Q1 1，Q Q2 2;又又Q Qn n，Q.Q.2.2.分析法分析法(1)(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明为止，这种证明方法叫做分析法方法叫做分析法.又叫逆推证法或执果索因法又叫逆推证法或执果索因法.(2)(2)其推理方式可用框图表示为：其推理方式可用框图表示为：其中其中Q Q表示要证明的结论表示要证明的结论【辨析辨析】综合法与分析法的比较综合法与分析法的比较综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点有优缺点.分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简便地解决问题，但不便于思考较简便地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程程.三、反证法三、反证法1.1.反证法反证法一般地，假设原命题不成立一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成即在原命题的条件下，结论不成立立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2.2.反证法的证明过程包括以下三个步骤反证法的证明过程包括以下三个步骤四、数学归纳法四、数学归纳法1.1.数学归纳法的含义数学归纳法的含义证明一个与正整数证明一个与正整数n n有关的命题，可按下列步骤进行有关的命题，可按下列步骤进行(1)(1)(归纳奠基归纳奠基)证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n(n0 0NN*)时命题成立时命题成立.(2)(2)(归纳递推归纳递推)假设假设n=k(knn=k(kn0 0，kNkN*)时命题成立，证明当时命题成立，证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.只要完成这两个步骤只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从就可以断定命题对从n n0 0开始的所有正整开始的所有正整数数n n都成立这种证明方法叫做数学归纳法都成立这种证明方法叫做数学归纳法2.2.对数学归纳法的几点认识对数学归纳法的几点认识(1)(1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与正整数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与正整数有关的问题数有关的问题.(2)(2)两个步骤缺一不可，否则不能说明结论成立两个步骤缺一不可，否则不能说明结论成立.(3)(3)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换.(4)(4)完成第完成第(1)(1)和和(2)(2)证明后，要对命题成立进行总结证明后，要对命题成立进行总结.请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧！吧！A AG GC CF FE ED DB BH H【备选答案备选答案】A.A.归纳推理归纳推理B.B.间接证明间接证明C.C.演绎推理演绎推理D.D.分析法分析法E.E.由因导果由因导果F.F.结论结论G.G.由特殊到特殊的推理由特殊到特殊的推理H.H.数学归纳法数学归纳法一、合情推理一、合情推理1.1.类比可以是形式的类比，用于发现结论；也可以是方法的类类比可以是形式的类比，用于发现结论；也可以是方法的类比，用于寻找方法比，用于寻找方法.常见的类比有平面常见的类比有平面空间，等差数列空间，等差数列等等比数列，实数比数列，实数复数，向量点乘积复数，向量点乘积实数积等实数积等.2.2.合情推理与演绎推理既有联系又有区别，它们相辅相成，前合情推理与演绎推理既有联系又有区别，它们相辅相成，前者是后者的前提，后者又论证前者的可靠性者是后者的前提，后者又论证前者的可靠性.【例例1 1】(1)(1)设设f(x)=f(x)=又记又记f f1 1(x)=f(x),(x)=f(x),f f(k+1)(k+1)(x)=f(x)=ff fk k(x)(x),k=1,2,k=1,2,，则，则f f2 0122 012(x)(x)等于等于()()(A)(B)x (C)(D)(A)(B)x (C)(D)(2)(2)已知数列已知数列aan n 为等差数列，若为等差数列，若a am m=a,a=a,an n=b(n-m1,m,nN=b(n-m1,m,nN*)，则则 类比等差数列类比等差数列aan n 的上述结论，对于等比数的上述结论，对于等比数列列bbn n(b(bn n0,nN0,nN*)，若，若b bm m=c,b=c,bn n=d(n-m2,m,nN=d(n-m2,m,nN*)，则可以得，则可以得到到b bm+nm+n=_.=_.(3)(3)设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则S S4 4，S S8 8-S-S4 4，S S1212-S-S8 8，S S1616-S S1212成等差数列成等差数列.类比以上结论有：设等比数列类比以上结论有：设等比数列bbn n 的前的前n n项积为项积为T Tn n,则则T T4 4，_，_，成等比数列成等比数列.【解析解析】(1)(1)选选B.B.计算计算归纳得归纳得f f4k4k(x)=x,kN(x)=x,kN*，从而，从而f f2 0122 012(x)=x.(x)=x.(2)(2)观察等差数列观察等差数列aan n 的性质：的性质：a am+nm+n=则联想则联想nb-manb-ma对应对应等比数列等比数列bbn n 中的中的 而而aan n 中除以中除以(n-m)(n-m)对应等比数列中开对应等比数列中开(n-m)(n-m)次方次方.答案：答案：(3)(3)根据类比原理知此题顺次应填根据类比原理知此题顺次应填答案：答案：【例例2 2】写出用三段论证明写出用三段论证明f(x)=xf(x)=x3 3+sinx(xR)+sinx(xR)为奇函数的步骤为奇函数的步骤.【解析解析】满足满足f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)的函数是奇函数的函数是奇函数.(.(大前提大前提)因为因为f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3+sin(-x)=-x+sin(-x)=-x3 3-sinx=-(x-sinx=-(x3 3+sinx)=-f(x).+sinx)=-f(x).(小前提小前提)所以所以f(x)=xf(x)=x3 3+sinx+sinx是奇函数是奇函数.(.(结论结论)二、直接证明二、直接证明综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用有时候分析法和综合法交替使用.【例例3 3】已知数列已知数列aan n 和和bbn n 满足满足a a1 1=2,a=2,an n-1=a-1=an n(a(an+1n+1-1),-1),b bn n=a=an n-1-1，数列，数列bbn n 的前的前n n项和为项和为S Sn n.(1)(1)求数列求数列bbn n 的通项公式的通项公式;(2)(2)设设T Tn n=S=S2n2n-S-Sn n，求证：，求证：T Tn+1n+1T Tn n.【解析解析】(1)(1)由由b bn n=a=an n-1,-1,得得a an n=b=bn n+1,+1,代入代入a an n-1=a-1=an n(a(an+1n+1-1)-1)得得b bn n=(b=(bn n+1)b+1)bn+1n+1.整理得整理得b bn n-b-bn+1n+1=b=bn nb bn+1n+1,由题意知，由题意知，b bn n0(0(否则否则a an n=1=1与与a a1 1=2=2矛盾矛盾),),从而得从而得b b1 1=a=a1 1-1=1,-1=1,数列数列 是首项为是首项为1 1，公差为，公差为1 1的等差数列的等差数列.=n,=n,即即(2)S(2)Sn n=方法一方法一(综合法综合法):):TTn+1n+1-T-Tn n=T Tn+1n+1T Tn n.方法二方法二(分析法分析法)：T Tn+1n+1T Tn nS S2n+22n+2-S-Sn+1n+1S S2n2n-S-Sn nS S2n+22n+2-S-S2n2nS Sn+1n+1-S-Sn n2n+22n+22n+12n+12 21,1,显然成立，故显然成立，故T Tn+1n+1T Tn n.三、间接证明三、间接证明反证法反证法1.1.用直接法证明，较难入手，用反证法证明则简洁明了用直接法证明，较难入手，用反证法证明则简洁明了.题目题目中如果有中如果有“不是不是”“”“至少至少”“”“不可能不可能”等词语时，通常考虑反等词语时，通常考虑反证法证法.2.2.反证法反证法.反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：题的一般步骤是：(1)(1)分清问题的条件和结论；分清问题的条件和结论；(2)(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论否定结论)；(3)(3)从假定和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公从假定和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾推导矛盾)；(4)(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设假设”错误错误.既既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立结论成立).).【例例4 4】等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a1 1=1+S=1+S3 3=9+3=9+3(1)(1)求数列求数列aan n 的通项的通项a an n与前与前n n项和项和S Sn n;(2)(2)设设b bn n=(nN=(nN*)，求证：数列，求证：数列bbn n 中任意不同的三项都不中任意不同的三项都不可能成为等比数列可能成为等比数列.【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得 d=2,d=2,故故a an n=2n-1+S=2n-1+Sn n=n(n+).=n(n+).(2)(2)由由(1)(1)得得假设数列假设数列bbn n 中存在三项中存在三项b bp p，b bq q，b br r(p(p，q q，r r互不相等，且互不相等，且p,q,rNp,q,rN*)成等比数列，则成等比数列，则即即p,q,rNp,q,rN*,=pr,(p-r)=pr,(p-r)2 2=0,p=r=0,p=r，这与，这与prpr矛盾矛盾.所以数列所以数列bbn n 中任意不同的三项都不可能成为等比数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列.四、数学归纳法四、数学归纳法1.1.归纳、猜想、证明是一种重要的数学思想，一般是先根据通归纳、猜想、证明是一种重要的数学思想，一般是先根据通项的递推关系或者前项的递推关系或者前n n项和公式写出数列的前几项，根据前几项和公式写出数列的前几项，根据前几项的联系猜测其通项公式，猜测要合理，然后根据已知条件对项的联系猜测其通项公式，猜测要合理，然后根据已知条件对猜测的公式给出证明，其证明方法一般是数学归纳法猜测的公式给出证明，其证明方法一般是数学归纳法.2.2.数学归纳法解题步骤数学归纳法解题步骤(1)(1)当当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时，证明命题成立；时，证明命题成立；(2)(2)假设当假设当n=k(knn=k(kn0 0,kN,kN*)时命题成立，并证明当时命题成立，并证明当n=k+1n=k+1时，时，命题也成立命题也成立.于是对一切于是对一切nnnn0 0，nNnN*,命题都成立命题都成立.这种证明方这种证明方法叫做数学归纳法法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题要分为两步运用数学归纳法证明命题要分为两步.第一步是递推的基础，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，这两步是缺一不可的第二步是递推的依据，这两步是缺一不可的.【例例5 5】在数列在数列aan n,b,bn n 中，中，a a1 1=2,b=2,b1 1=4,=4,且且a an n,b,bn n,a,an+1n+1成等差数成等差数列，列，b bn n,a,an+1n+1,b,bn+1n+1成等比数列成等比数列(nN(nN*).).(1)(1)求求a a2 2,a,a3 3,a,a4 4及及b b2 2,b,b3 3,b,b4 4,由此猜测由此猜测aan n,b,bn n 的通项公式，并证的通项公式，并证明你的结论；明你的结论；(2)(2)证明：证明：【解析解析】(1)(1)由条件得由条件得2b2bn n=a=an n+a+an+1n+1,=b,=bn nb bn+1n+1.由此可得由此可得a a2 2=6,b=6,b2 2=9,a=9,a3 3=12,b=12,b3 3=16,a=16,a4 4=20,b=20,b4 4=25.=25.猜测猜测a an n=n(n+1),b=n(n+1),bn n=(n+1)=(n+1)2 2.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：当当n=1n=1时，由以上知结论成立时，由以上知结论成立.假设当假设当n=k(k1)n=k(k1)时，结论成立，时，结论成立，即即a ak k=k(k+1),b=k(k+1),bk k=(k+1)=(k+1)2 2,那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，a ak+1k+1=2b=2bk k-a-ak k=2(k+1)=2(k+1)2 2-k(k+1)=(k+1)(k+2),-k(k+1)=(k+1)(k+2),b bk+1k+1=(k+2)=(k+2)2 2.所以当所以当n=k+1n=k+1时，结论也成立时，结论也成立.由由可知可知a an n=n(n+1),b=n(n+1),bn n=(n+1)=(n+1)2 2对一切正整数都成立对一切正整数都成立.(2)(2)当当n=1n=1时，时，当当n2n2时，由时，由(1)(1)知知a an n+b+bn n=(n+1)(2n+1)=(n+1)(2n+1)2(n+1)n.2(n+1)n.故故综上综上，原不等式成立原不等式成立.【例例6 6】已知等比数列已知等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,已知对任意的已知对任意的nNnN*,点点(n,S(n,Sn n)均在函数均在函数y=by=bx x+r(b+r(b0 0且且b1,b,rb1,b,r均为常数均为常数)的图象上的图象上.(1)(1)求求r r的值的值;(2)(2)当当b=2b=2时，记时，记b bn n=2(log=2(log2 2a an n+1)(nN+1)(nN*)，证明对任意的，证明对任意的nNnN*,不等式不等式 成立成立.【解析解析】(1)(1)由题意：由题意：S Sn n=b=bn n+r,+r,当当n2n2时，时，S Sn-1n-1=b=bn-1n-1+r.+r.所以所以a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=b=bn-1n-1(b-1),(b-1),由于由于b b0 0且且b1,b1,所以所以n2n2时，时，aan n 是以是以b b为公比的等比数列为公比的等比数列.又又a a1 1=b+r,a=b+r,a2 2=b(b-1),=b(b-1),=b,=b,即即 解得解得r=-1.r=-1.(2)(2)由由(1)(1)知知a an n=2=2n-1n-1,因此因此b bn n=2n(nN=2n(nN*),),所证不等式为所证不等式为当当n=1n=1时，左式时，左式=右式右式=左式右式，所以结论成立左式右式，所以结论成立,假设假设n=k(kNn=k(kN*)时结论成立，时结论成立，即即 则当则当n=k+1n=k+1时，时，要证当要证当n=k+1n=k+1时结论成立，时结论成立，只需证只需证 即证即证由基本不等式得由基本不等式得 成立，成立，经验证等号不成立经验证等号不成立.所以，当所以，当n=k+1n=k+1时，结论成立时，结论成立.由由可知，可知，nNnN*时，不等式时，不等式 成立成立.1.1.用反证法证明用反证法证明“如果如果a ab b，那么，那么 ”，假设内容应是，假设内容应是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)【解析解析】选选D.D.假设结论不成立，假设结论不成立，即即 的否定为的否定为2.2.在平面上，若两个正三角形的边长比为在平面上，若两个正三角形的边长比为1212，则它们的面积，则它们的面积比为比为1414，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1212，则它们的体积比为，则它们的体积比为()()(A)12 (B)14(A)12 (B)14(C)18 (D)116(C)18 (D)116【解析解析】选选C.C.两个正三角形是相似的三角形，两个正三角形是相似的三角形，它们的面积它们的面积之比是相似比的平方之比是相似比的平方.同理，两个正四面体是两个相似几何体，同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为18.18.3.3.若从点若从点O O所作的两条射线所作的两条射线OMOM，ONON上分别有点上分别有点M M1 1，M M2 2与点与点N N1 1，N N2 2，则三角形面积之比，则三角形面积之比 如图，若从点如图，若从点O O所所作的不在同一平面内的三条射线作的不在同一平面内的三条射线OPOP，OQOQ和和OROR上分别有点上分别有点P P1 1，P P2 2，点，点Q Q1 1，Q Q2 2和点和点R R1 1，R R2 2，则类似的结论为，则类似的结论为_._.【解析解析】考查类比推理问题，由图看出三棱锥考查类比推理问题，由图看出三棱锥P P1 1-OR-OR1 1Q Q1 1及三棱及三棱锥锥P P2 2-OR-OR2 2Q Q2 2的底面面积之比为的底面面积之比为 又过顶点分别向底面又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为作垂线，得到高的比为 故体积之比为故体积之比为答案：答案：4.4.观察下列等式：观察下列等式：(1+x+x(1+x+x2 2)1 1=1+x+x=1+x+x2 2,(1+x+x(1+x+x2 2)2 2=1+2x+3x=1+2x+3x2 2+2x+2x3 3+x+x4 4,(1+x+x(1+x+x2 2)3 3=1+3x+6x=1+3x+6x2 2+7x+7x3 3+6x+6x4 4+3x+3x5 5+x+x6 6,(1+x+x(1+x+x2 2)4 4=1+4x+10 x=1+4x+10 x2 2+16x+16x3 3+19x+19x4 4+16x+16x5 5+10 x+10 x6 6+4x+4x7 7+x+x8 8,由以上等式推测：对于由以上等式推测：对于nNnN*，若若(1+x+x(1+x+x2 2)n n=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a2n2nx x2n2n，则，则a a2 2=_.=_.【解析解析】由由x x2 2的系数依次为的系数依次为1,3,6,101,3,6,10，可推测它恰好是首项为，可推测它恰好是首项为1 1，公差为，公差为1 1的等差数列前的等差数列前n n项的和的前项的和的前4 4项项.故故(1+x+x(1+x+x2 2)n n=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a2n2nx x2n2n中的中的答案：答案：5.5.已知已知a a0,b0,b0,0,且且a+ba+b2.2.求证：求证：中至少有一个小于中至少有一个小于2.2.【证明证明】假设假设 都不小于都不小于2 2，a a0,b0,b0,1+b2a,1+a2b,0,1+b2a,1+a2b,1+1+a+b2(a+b)1+1+a+b2(a+b)，即，即2a+b.2a+b.这与已知这与已知a+ba+b2 2矛盾，故假设不成立，矛盾，故假设不成立，即即 中至少有一个小于中至少有一个小于2.2.6.6.由下列各个不等式：由下列各个不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.【解析解析】根据给出的几个不等式可以猜测第根据给出的几个不等式可以猜测第n n个不等式，即一个不等式，即一般不等式为般不等式为 (nN(nN*).).用数学归纳法证明如下：用数学归纳法证明如下：(1)(1)当当n=1n=1时，时，1 1 猜想成立猜想成立.(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN*)时，猜想成立，时，猜想成立，即即则当则当n=k+1n=k+1时，时，即当即当n=k+1n=k+1时，猜想也正确时，猜想也正确.由由(1)(2)(1)(2)知，不等式对一切知，不等式对一切n nN N*都成立都成立.