高二理科数学选修2-1测试题.doc

高二理科数学选修2-1测试题

一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）
1. 已知命题，其中正确的是 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
2. 抛物线的焦点坐标是 （ ）
（A）（ , 0） （B）(－, 0) （C）（0, ） （D）（0, －）
3. 设，则是 的 （ ）
（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的
中线长为 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
5.有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；
②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；
③已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 （ ）
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
6. 如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
（A） （B）
（C） （D）

7. 已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是 （ ）
（A）（x≠0） （B）（x≠0）
（C）（x≠0） （D）（x≠0）
8. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1, y1）B（x2, y2）两点，如果=6，
那么＝ （ ）
（A）6 （B）8 （C）9 （D）10
9. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是 （ ）
（A）（）（B）（） （C）（） （D）（）
10.试在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到的距离之和最小，则该点
坐标为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
11. 在长方体ABCD-ABCD中，如果AB=BC=1，AA=2，那么A到直线AC的距离为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
12.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）

13.已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则x y =___________。

14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度
是________米。
15. 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。
16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件.
③是的充要条件；④“am2<bm2 ”是“a<b”的充分必要条件.
以上说法中，判断错误的有___________.
三、解答题（共6小题，满分74分）

17.（本题满分12分）
设：方程有两个不等的负根，：方程无实根，
若p或q为真，p且q为假，求的取值范围．

18.（本题满分12分）
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，
⑴求椭圆C的标准方程;
⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。.
19.（本题满分12分）
如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，
且，，是的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线BE和平面的所成角的正弦值。

20.（本题满分12分）
在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。
（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

21.（本题满分14分）
如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=2，BD=.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离.

22. （本题满分12分）
如图所示，F1、F2分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，
已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4.
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积.

高二理科数学选修2-1测试题
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
B
C
A
B
B
D
A
C
D

二、填空题： 13、 2 14、 15、 16、③④
三、解答题：
17、解：若方程有两个不等的负根，则， …………2分
所以，即． ………………………………………………………3分
若方程无实根，则， …………5分
即， 所以． …………………………………………………6分
因为为真，则至少一个为真，又为假，则至少一个为假．
所以一真一假，即“真假”或“假真”． ……………………………8分
所以或 …………………………………………………10分
所以或．
故实数的取值范围为． …………………………………………12分
18、解：⑴由，长轴长为6
得：所以
∴椭圆方程为 　　 …………………………………………………5分
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为② 　　 ……………………………7分
把②代入①得化简并整理得
∴ ……………………………10分
又 ……………………………12分

19、解：（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、……………………………3分

COS<> ……………………………5分
所以异面直线与所成角的余弦为 ……………………………6分
（2）设平面的法向量为 则

， ………8分

则，…………………10分
故BE和平面的所成角的正弦值为 …………12分
20、证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于
A(3,)、B(3,－)，∴。 ……………………………3分
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.
得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6. 又∵x1=y12, x2=y22,
∴=x1x2+y1y2==3. ……………………………7分

综上所述, 命题“......”是真命题. ……………………………8分
解法二：设直线l的方程为my =x－3与=2x 联立得到y2-2my-6=0 =x1x2+y1y2
=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9＝3 ………8分
（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”
…………………………………………………10分
该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,
直线AB的方程为y = (x+1),而T(3,0)不在直线AB上. ………………………………12分
点评：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足,可得y1y2=－6。或y1y2=2，如果
y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。
21、解：方法一：证：⑴在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC.
解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，
知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD，∴∠PDA=450 .
y
z
D
P
A
B
C
x
（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，设C到面PBD的距离为d，
由，有，
即，得
方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分
解：（2）由（1）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴ 故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量. ……………………………7分
设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得 . ……………………………9分
（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，
则，即，∴x=y=z，故可取为. ……………11分
∵，∴C到面PBD的距离为 …………………14分
22、解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2， 将点代入椭圆方程得 ，解得b2 = 3
∴c2 = a2－b2 = 4－3 = 1 ，故椭圆方程为， ……………………………5分
焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0） ……………………………6分
（2）由（Ⅰ）知，， ∴PQ所在直线方程为，
由得
设P (x1，y1)，Q (x2，y2)，则， ……………………………9分

……………………………12分