课外拓展系列--一元二次方程(初一数学).ppt

一元二次方程一元二次方程风子编辑1.判定式判定式1、判定式定理：对一元二次方程ax2+bx+c=0(a0），设=b2-4ac，则有：1）若0，则方程有两个不等实根；2）若=0，则方程有两个相等实根；3）若0。两实数根互为相反数，即：x1+x2=-b/a=0。解：1）由题意得：=（2k-1）2-4k20 解得：k1/4 当k1/4 此时，0时，即m3/4，且m2时，方程有两个不相等实根；当=0时，即m=3/4时，方程有两个相等实根；当0时，即m0。本题用到了反证法，这是证明类题目常用的方法。证明：假设1=（2b）2-4ac0 2=（2c）2-4ab0 3=（2a）2-4bc0则 1+2+3=4b2-4ac+4c2-4ab+4a2-4bc =4(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=22(a-b)2+(b-c)2-(c-a)20又a、b、c不全相等的非零实数 22(a-b)2+(b-c)2-(c-a)20 所以，假设不成立，至少有一个方程有两个不等实根。例6：设a、b、c是不全相等的非零实数，求证：在方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0和cx2+2ax+b=0中，至少有一个方程有两个不等实根。10.拓展拓展训练案例案例题例7：若两方程a2x2+ax-1=0和x2-ax-a2=0有公共根，求a的值。解：设是两方程的公共根，则：a22+a-1=0、2-a-a2=0 两式相加，得：（a2+1）（2-1）=0 a2+10，2-1=0 即：=1 代入原方程，得a2+a-1=0 或a2-a-1=0 解得：11.拓展拓展训练案例案例题例8：对于abc0，作二次方程x2-(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0,1）若方程有实根，求证：a,b,c不能作为一个三角形的三边；2）若方程两根为6，9，求正整数a,b,c【分析】讨论方程的根，需要用到判定式或韦达定理。三角形三条边的关系为两边之和大于另一边。解：方程有实根 =（a+b+c）2-4(ab+bc+ca）=a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac=(a+b+c)(a-b-c)-4bc0 又 abc0 (a+b+c)(a-b-c)4bc 0 a-b-c0 即 ab+c 所以a、b、c不能作为三角形的三边。2）由韦达定理可知：a+b+c=15,ab+bc+ac=54 abc0，a+b+c3c,即 c5 满足条件的c=1，2，3，4 当c=1时，a+b=14，ab=40，解得a=10，b=412.拓展拓展训练案例案例题例9：设n为正整数，且n2-71的值能被7n+55的值整除，求n的值。【分析】两个代数式存在整除关系，可以采用转化为带系数的方程问题。解：7n+55|n2-71 n2-71=k（7n+55）（k为整数）则 n2-7kn-55k-71=0 (1)n为正整数 =（7k）2-4（-55k-71）=49k2+220k+284是完全平方数 又（7k+15）2=49k2+210k+22549k2+220k+284 49k2+238k+289=（7k+17）2 =（7k+16）2 即：（7k+16）2=49k2+220k+284 解得：k=7 代入(1)，得：n2-49n-456=0 n=57 或 n=-8（不符合要求）所以，n的值为57.13.拓展拓展训练案例案例题例10：已知抛物线y=ax2-3（a+1）x+3a与直线y=1-2x至少有一个交点是整点（纵横坐标都是整数的点），试确定整数a的值，并求出对应的整点坐标。解：抛物线与直线的交点的横坐标x满足方程y=ax2-3（a+1）x+3a=1-2x 即：ax2-（3a+1）x+3a-1=0 =（3a+1）2-4a（3a-1）0，3a2-10a-10 又a为整数，所以a=1，2，3。当a=1时，代入原方程得：x=当a=2时，代入原方程得：x=1或5/2 当a=3时，代入原方程得：x=2或4/3 所以，满足条件的a值有a=2或3。当a=2时，有一个交点（1，-1），当a=3时，有一个交点（2，-3）。14.拓展拓展训练案例案例题例11：甲班的m个男生和11个女生捐款总数与乙班9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数。【分析】从题目中要去发现隐含条件：每班捐款总数相同，每人捐款数相同，则说明两班捐款的人数是相同的。解：设每人捐款数为x元，则有：m+11=n+9，即m=n-2 又 mn+9m+11n+145=（9+n）x 把m=n-2代入等式，得：n2+18n+127=(9+n)x 整理得：n2+（18-x）n+（127-9x）=0 n为整数 =（18-x）2-4（127-9x）=x2-184为完全平方数 设=x2-184=k2（k为整数，且k0）（x+k）（x-k）=184 则有：x+k=184 x+k=92 x+k=46 x+k=23 x-k=1 ，x-k=2 x-k=4 x-k=8 又x为整数，所以x=47或25 15.