高三数学试题.doc

高三数学试题一 填空题：1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望的概率为 .2.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .3.在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为 。4.已知是定义在上的增函数, 且的图像关于点对称. 若实数x, y满足不等式, 则的取值范围_.5.已知一玻璃杯杯口直径6cm, 杯深8cm. 如图所示, 其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分, 一个玻璃小球放入玻璃杯中, 若小球能够碰到杯底, 求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).二选择题：6.已知O是外接圆的圆心, A,B,C为的内角, 若, 则m的值为 答 A. 1B. C. D. 7.已知点列均为函数的图像上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的取值范围为（ ） （A） （B） （C） （D）8.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条三解答题：9.已知直线是双曲线的一条渐近线，点都在双曲线上，直线AM与轴相交于点P，设坐标原点为O.（1）设点M关于y轴相交的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在轴上是否存在定点T，使得若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点的直线与双曲线C交于R,S两点，且，试求直线的方程.10.已知双曲线, 设过点的直线l的方向向量为.(1) 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时, 求直线l的方程及l与m的距离;(2) 证明: 当时, 在双曲线C的右支上不存在点Q, 使之到直线l的距离为.11.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式恒成立（1）判断一次函数axb(a0)是否属于集合M；（2）证明函数属于集合M，并找出一个常数k；（3）已知函数( a1)与yx的图象有公共点，证明M12.设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）函数与在上互为“函数”，求集合；（2）若函数(与在集合上互为 “函数”,求证：；（3）函数与在集合且，上互为“函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式.13.设数列的前项和为，且（1）求出的值，并求出及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，在数列中取出项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列，若对任意的数列，均有，试求的最小值.14.已知数列的各项均为正数，其前项的和为，满足（），其中为正常数，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列对任意，都有，问数列是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由15.已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。（1）求抛物线的方程。（2）设直线与抛物线交于两点，且，是弦的中点，过做平行于轴的直线交抛物线于点，得到；在分别过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，得到三角形；按此方法继续下去。解决如下问题：求证：；计算的面积；根据的面积的计算结果，写出的面积；请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望的概率为 .2.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .3.在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为 。4.已知是定义在上的增函数, 且的图像关于点对称. 若实数x, y满足不等式, 则的取值范围_.解: 由对称性可知, 由单调性可知时, ; 时, ;由, 则,结合草图可知到6的距离不超过比到6的距离,即, 整理得,其几何意义是以为圆心, 1为半径的圆(及其内部),而即为该区域内点到原点距离的平方, 结合图形可知, 故其取值范围为.5.已知一玻璃杯杯口直径6cm, 杯深8cm. 如图所示, 其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分, 一个玻璃小球放入玻璃杯中, 若小球能够碰到杯底, 求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).解: 如图建系, 抛物线方程为抛物线,小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到圆心C距离最短的点,由小球能碰到杯底, 则有,设在抛物线上,设小球的半径为r, 则圆心的坐标为,由, 即当时, 最小, 故,所以.选择题：6.已知O是外接圆的圆心, A,B,C为的内角, 若, 则m的值为 答 B A. 1B. C. D. 解: 不妨设外接圆的半径为1, 如图建立直角坐标系,则有,故可设, ,结合诱导公式得,则,由,得,又, , 上式化为,整理得, 故选B.7.已知点列均为函数的图像上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的取值范围为（ B ） （A） （B） （C） （D）8.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条三解答题：9.已知直线是双曲线的一条渐近线，点都在双曲线上，直线AM与轴相交于点P，设坐标原点为O.（1）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在轴上是否存在定点T，使得若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点的直线与双曲线C交于R,S两点，且，试求直线的方程.10.已知双曲线, 设过点的直线l的方向向量为.(3) 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时, 求直线l的方程及l与m的距离;(4) 证明: 当时, 在双曲线C的右支上不存在点Q, 使之到直线l的距离为.(1)解: 双曲线C的渐近线, 即,直线l的方程为,直线l与m的距离为.(2)证法一: 设过原点且平行于l的直线,则直线l与b的距离, 当时, ,又双曲线C的渐近线方程为,双曲线C的右支在直线b的右下方,双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于,故在双曲线C的右支上不存在点Q, 使之到直线l的距离为.证法二: 假设双曲线右支上存在点到直线l的距离为,则,由(1)得,设,当时, ,将代入(2)得(), , , ,方程()不存在正根, 即假设不成立,故在双曲线C的右支上不存在点Q, 使之到直线l的距离为.11.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式恒成立（1）判断一次函数axb(a0)是否属于集合M；（2）证明函数属于集合M，并找出一个常数k；（3）已知函数( a1)与yx的图象有公共点，证明M解：（1）若axbM，则存在非零常数k，对任意xD均有akxb，即a(k1)x恒成立，得无解，所以M（2），则，k4，k2时等式恒成立，所以M（3）因为y( a1)与yx有交点，由图象知，y与y必有交点设，则，所以M12.设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）函数与在上互为“函数”，求集合；（2）若函数(与在集合上互为 “函数”,求证：；（3）函数与在集合且，上互为“函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式.（1）由得 化简得，或2解得或，即集合2分(若学生写出的答案是集合的非空子集，扣1分，以示区别。)（2）证明：由题意得，（且），变形得，由于且， ，因为，所以，即（3）当，则，由于函数在上是偶函数则，所以当时， 由于与函数在集合上“ 互为函数”所以当，恒成立,对于任意的()恒成立,即，所以,即，所以,当（）时,，所以当时，13.设数列的前项和为，且（1）求出的值，并求出及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，在数列中取出项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列，若对任意的数列，均有，试求的最小值.14.已知数列的各项均为正数，其前项的和为，满足（），其中为正常数，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列对任意，都有，问数列是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由解：（1）由题设知，解得（1分）由两式作差得，即，（2分）所以，数列是首项为，公比为的等比数列，（3分）所以（）（4分）（2），（5分）而，由题意， （6分）所以， 当时，则，即，解得（舍去）；（7分） 当时，则，即，解得或（舍去）此时存在满足题意的（8分）综上，当时，存在的最小值为,使恒成立（10分）（3）令，则，因为，所以（11分）因为 所以 （） （13分）因为的公比，所以在的两边同乘以得，（） （15分）减去得，所以（），（17分）因为，所以是等差数列，其通项公式为（18分）15.已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。（1）求抛物线的方程。（2）设直线与抛物线交于两点，且，是弦的中点，过做平行于轴的直线交抛物线于点，得到；在分别过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，得到三角形；按此方法继续下去。解决如下问题：求证：；计算的面积；根据的面积的计算结果，写出的面积；请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。解：（1）由抛物线定义得：。（2）。，求得点，由知。第此作图产生个三角形，每一个三角形的面积是上一个面积的，所以是一个公比为的等比数列。令为第此作图产生的个三角形的面积和，前此作图所有三角形的面积和为。抛物线与线段所围成封闭图形面积。