高三数学模拟试卷.doc

2014-2015学年度???学校4月月考卷
试卷副标题

1．若集合，则等于（ ）
A． B． C． D．R
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．设，则是 的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）

A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．已知函数，，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
7．已知平面向量，，. 若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．函数在区间上的零点个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9．已知函数，则，，的大小关系是
A. B.
C. D.
10．定义一种新运算：已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为
A. B. C. D.

11．若，则 .
12．在各项均为正数的等比数列中，若，则 ．
13．已知平面向量，满足，，则与的夹角为 ．
14．在中，，，，则 ； .
15．设函数，若，则实数= ．
16．如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。设顶点P（，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为 。

说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。

17．（本小题共13分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点，平面，且，.
P
A
B
C
D
M
N

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：．
18．（本小题满分13分）设函数f（x）=x3–3ax2+3bx的图象与直线12x+y–1=0相切于点（1，–11）．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f （x）的单调区间．
19．（本小题共13分）已知函数.
（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
20．（本小题共14分）如图，四边形与均为菱形， ，且．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
21．（本小题共14分）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.
22．（本小题共13分）已知函数.
（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，
求的取值范围.

参考答案
1．B
【解析】
试题分析：由题意可知， ，故选B
考点：本题考查集合的交集运算
点评：解决本题的关键是掌握集合的交集的定义
2．C
【解析】
试题分析：由题意可知，命题的否定是“ ”，故选C
考点：本题考查命题的否定
点评：解决本题的关键是掌握全称命题的否定是特称命题
3．A
【解析】
试题分析：由 ，但 ，解得a<0或a>1，所以 得不出a>1，所以是充分条件，
故选A
考点：本题考查充分条件、必要条件、充要条件
点评：解决本题的关键是正确解分式不等式
4．D
【解析】
试题分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，

考点：本题考查三视图
点评：解决本题的关键是在空间坐标系中作出几何体的形状
5．C
【解析】
试题分析：由题意可知 ，解得，
∴公差d= 2，∴ ，故选C．
考点：本题考查等差数列的通项公式，等差数列前n项和公式，等差数列的性质
点评：解决本题的关键是求出数列的公差
6．A
【解析】
试题分析：由题意可知 ，∴ ，解得a=1
考点：本题考查求函数值
点评：解决本题的关键是求出g（1），再求f[g（1）]的值
7．B
【解析】
试题分析：由题意可知， ，因为 ，所以 ，解得
考点：本题考查向量平行的充要条件，向量的坐标运算
点评：解决本题的关键是熟练掌握向量平行的充要条件
8．B
【解析】
试题分析：由题意可知，在同一直角坐标系中画出函数 在[0,2π]的图象，根据图象，可得这两个图象有2个交点，则f（x）在[0,2π]上的零点的个数为2，故选B
考点：本题考查函数的零点的个数判断
点评：解决本题的关键是零点的个数问题，常借助于图象，转化为两个图象交点个数的问题
9．A
【解析】
试题分析：∵f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数∴f（-0.5）=f（0.5）
∵f′（x）=2x+sinx，则函数f（x）在[0，0.6]上单调递增，所以f（0）＜f（0.5）＜f（0.6），即f（0）＜f（-0.5）＜f（0.6）故选A
考点：本题考查函数的奇偶性、单调性，比较函数值的大小
点评：解决本题的关键是灵活应用函数的奇偶性，注意函数的单调性与导数的关系
10．B
【解析】
试题分析：由题意可得， ，画出函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是（1,2），故选B

考点：本题考查函数的零点与方程的根的关系
点评：解决本题的关键是考虑零点的个数问题，常借助于图象，转化为两个图象交点个数的问题
11．
【解析】
试题分析：由 ，可得是第三象限角，所以
考点：本题考查同角三角函数之间的基本关系，三角函数各象限角的符号
点评：解决本题的关键是根据，判断出所在的象限
12．2
【解析】
试题分析：由 ，又数列是等比数列，所以
考点：本题考查等比数列的性质，对数式的运算
点评：解决本题的关键是熟练掌握等比数列的性质
13．
【解析】
试题分析：因为，设与的夹角为α
所以 ，因为 ，所以
考点：本题考查平面向量的数量积的运算
点评：解决本题的关键是根据 ，再利用平面向量的数量积的定义求夹角
14．2，
【解析】
试题分析：由余弦定理得 ，所以c=2；
由 ，由正弦定理得
考点：本题考查余弦定理，正弦定理
点评：解决本题的关键是熟练掌握余弦定理，正弦定理
15．-4或2,
【解析】
试题分析：由题意可知，当α≤0时，则f（α）=- α=4，解得α=-4；当α>0时，f（α）= ，解得α=2或α=-2（舍去）
考点：本题考查分段函数
点评：解决本题的关键是注意对α分情况讨论
16．4 π+1（注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．）
【解析】
试题分析：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．
下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动， P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：
所以

考点：本题考查函数图象的变化
点评：解决本题的关键是根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析
17．见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明：取AD中点E，连结ME,NE， 2分
由已知M,N分别是PA,BC的中点，
所以，， 4分
5分
所以，平面平面PCD， 7分
所以，平面PCD. 8分
（Ⅱ）证明：因为平面ABCD，所以，，
在矩形ABCD中，，
如图，建立空间直角坐标系， 9分
则. 10分
所以，,, 11分
因为，所以. 13分
考点：本题考查线面平行的判定，线线垂直的证明
点评：解决本题的关键是掌握证明线面平行的方法，可通过线线平行也可通过面面平行；利用空间向量的数量积为0，证明线线垂直
18．（1）a=1，b=-3；（2）f（x）的单调递增区间是 （-∞,–1），（3,+∞）;单调减区间是（–1,3）.
【解析】
试题分析：（1）求导得=3–6ax+3b. 3分
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，–11），
所以f（1）=–11，=–12，即 5分
解得a=1，b=-3. 7分
（2）由a=1，b=-3得
=3–6ax+3b=3（–2x–3）=3（x+1）（x–3）. 9分
由＞0,解得x＜–1或x＞3;又令＜0,解得–1＜x＜3. 11分
所以f（x）的单调递增区间是 （-∞,–1），（3,+∞）;单调减区间是（–1,3）. 13分
考点：本题考查利用导数研究曲线的切线，利用导数研究函数的单调性
点评：解决本题的关键是掌握导数的几何意义，求出函数f（x）的解析式
19．（Ⅰ）最小正周期为，对称轴方程为，；（Ⅱ）最大值为2，最小值为
【解析】
试题分析：（Ⅰ） 1分
2分
. 4分
所以，函数的最小正周期为， 6分
由，，得，，
所以，函数图象的对称轴方程为，. 8分
（Ⅱ）因为，所以， 9分
所以， 11分
所以，当时，在区间上的最大值为2，
当时，在区间上的最小值为. 13分
考点：本题考查同角三角函数之间的基本关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数，正弦函数的图象和性质
点评：解决本题的关键是熟练掌握同角三角函数之间的基本关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数这些公式，把函数f（x）化简为 的形式，掌握正弦函数的图象和性质
20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．
因为 四边形ABCD为菱形，所以，
且O为AC中点． 1分
又FA=FC，所以 ． 3分
因为 ，
所以 平面BDEF． 4分
（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD//BC，DE//BF，
所以 平面FBC//平面EAD． 7分
又平面FBC，
所以FC// 平面EAD． 8分
（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以，故平面ABCD．
由OA,OB,OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． 9分
设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，，则BD=2，所以OB=1，
．
所以 ．
所以 ，．
设平面BFC的法向量为，则有
所以 取x=1，得． 12分
易知平面AFC的法向量为． 13分
由二面角A-FC-B是锐角，得 ．
所以二面角A-FC-B的余弦值为． 14分

考点：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，求二面角
点评：本题考查线线，线面平行关系的转化及平面图形的应用，还考查了向量法在求二面角中的应用，关键求出平面的法向量
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）10
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设这二次函数,则, 2分
由于,得,所以 . 4分
又因为点均在函数的图像上，所以. 5分
当时，. 7分
当n=1时，，所以 8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 10分
故＝＝＝（1－）. 11分
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足，
即，所以满足要求的最小正整数m为10. 14分
考点：本题考查数列与函数的综合，数列求和
点评：解决本题的关键是（Ⅰ）注意验证n=1；（Ⅱ）关键是利用裂项相消法求数列的和，即
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时；的单调递增区间是和，单调递减区间是.；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是.；（Ⅲ）
【解析】
试题分析：. 2分
（Ⅰ）根据题意，，解得. 4分
（Ⅱ）. 5分
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是. 6分
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 7分
③当时，， 故的单调递增区间是. 8分
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. 9分
（Ⅲ）由已知，在上有. 10分
由已知，，由（Ⅱ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，故. 11分
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，， 12分
综上所述，. 13分
考点：本题考查利用导数研究曲线的切线，利用导数研究函数的单调性，以及最值
点评：解决本题的关键是注意求函数的定义域；对于二次函数的分类①考虑开口方向②比较两根的大小；一般恒成立的问题转化为求最值