高二数学寒假讲义.doc

第一讲 圆锥曲线专题（一）
题型一：面积问题
1.设是抛物线:的焦点，设为抛物线上异于原点的两点，且满足,延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值.

Q
P
N
M
F
O

2. 、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最值.

题型二：直线过定点问题
3.、是抛物线上的两点，且满足（为坐标原点），求证：直线经过一个定点.

4.已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点,求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

5.已知点是平面上一动点，且满足
（1）求点的轨迹对应的方程；
（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.

题型三：直线斜率为定值问题
6.如图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，
，当与的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线的斜率为定值.

7．已知椭圆过点，两个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.

第三讲 圆锥曲线专题（二）
【知识要点】
熟练向量共线问题与坐标的转化
【经典例题】
1.已知抛物线，为的焦点，过焦点斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则 .

2.给定抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若，求直线的方程.

3.已知椭圆，若过点的直线椭圆交于不同的两点、（点在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）.

4.已知两定点,动点在轴的射影为，若.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线交轴于点，交轨迹于两点，且满足，求实数的取值范围.

5.如图，已知点，直线为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且有.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于两点，交直线于点，已知求的值.

6.双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线，交双曲线于两点，交轴于点（点与的顶点不重合）,当，且时，求点的坐标.

7.已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，点分所成比为，点分所成比为，求证为定值，并计算出该定值.

第四讲 圆锥曲线专题（三）
1.设、分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

2.设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.
x
y
P
A
B
M
N
O

3. 已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（1）求E的方程；
（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

4. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为﹒
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒

5.已知椭圆C的离心率为，长轴的左右端点分别为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与椭圆C交于两点，直线与交于点.试问：当变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

6. 已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；
（3）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、
三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.

第五讲 导数的概念与切线问题
【知识要点】
⒈导数的概念及其几何意义；
⒉你熟悉常用的导数公式吗？
⒊导数的运算法则：
⑴.两个函数四则运算的导数；
⑵.复合函数的导数：.
4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?
【经典例题】
例1.导数的概念题:
1.一质点的运动方程为，则在一段时间内相应的平均速度为（ ）
A. B. C. D.
2.已知,则 .
3.求导公式的应用
（1），则= .
（2），若，则= .
（3），则= ，= .
（4），则= .
4.已知，则= .

例2.切线问题:
1.曲线上两点，若曲线上一点处的切线恰好平行于弦，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线方程是 .
3.曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为____ _.
4.曲线的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 .
例3.曲线：在点处的切线为 在点处的切线为，求曲线的方程.

例4.已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，试求的值.

例5.切线问题的综合应用:
1.（江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的方程为 .
2.（安徽卷理）已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )
A. B. C. D.
3.（全国卷Ⅰ理）已知直线与曲线相切，则的值为 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是________.

5.曲线上的点到直线的最短距离为 .

*6.向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟，则当水深为5m时，水面上升的速度为 .

【经典练习】
1.设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A.1 B. C. D.
2.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A. B.
C. D.
4.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. D.
5.若满足，则（ ）
A. B. C.2 D.4
6.已知函数的图象在点处的切线方程是，则 .
7.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .
8.过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是 .
9.已知，,则 .
10.已知直线为曲线的一条切线，则= .

第六讲 导数的应用（一）
【知识要点】
导数的应用
（1）求曲线的切线方程;
（2）求单调区间;
（3）求函数的极值（或函数最值）.
【经典例题】
1.已知曲线.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点并与曲线相切的直线方程.

2.（2009北京文）设函数.
（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（2）求函数的单调区间与极值.

3．已知，直线与函数的图象都相切于点.
（1）求直线的方程及的解析式；
（2）若（其中是的导函数），求函数的值域.

4.设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）求在区间的最大值和最小值.

5.设函数在及时取得极值．
（1）求的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

*6.（2009安徽卷文）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，求在区间上的值域.

【经典练习】
1.如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数
的图象可能是（ ）

2.在下列结论中，正确的结论有（ ）
①单调增函数的导函数也是单调增函数； ②单调减函数的导函数也是单调减函数；
③单调函数的导函数也是单调函数； ④导函数是单调的，则原函数也是单调的．
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个
3.函数在[－1,3]上的最大值为 ( )
A．11 B．2 C．12 D.10
4.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.（全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，
则=（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是（ ）
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
7.函数的单调递增区间是 .
8.曲线过点P的切线方程为 .
【经典作业】
1.曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.120°
2.如果质点A按规律运动，则在秒时的瞬时速度为( )
A.6 B.8 C.16 D.24
3.经过原点且与曲线相切的直线的方程是___________________.
4.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　　　.
5.函数的极大值为6,极小值为2,则的减区间是 .
6.已知函数 （其中常数），是奇函数.
（1）求的表达式；
（2）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值.

第七讲 导数的应用（二）
【知识要点】
（1）单调性问题
（2）极值的存在性问题
【经典例题】
题型一：单调性问题
1.（2009安徽卷理）已知函数，讨论的单调性.

2.（全国一19）已知函数，．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

3.（2009北京理）设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.

*4．已知函数.
（1）任取两个不等的正数，恒成立，求的取值范围；
（2）当时，求证：没有实数解．

题型二：极值的存在性问题
5.已知，讨论函数的极值点的个数.

*6.（海南理 21）设函数.
（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

【经典练习】
1.（辽宁卷6）设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.（2009福建卷理）下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（ ）
A.= B.= C.= D.
3．若函数有三个单调区间，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.设函数则下列结论中，正确的是（ ）
A.有一个极大值点和一个极小值点 B.只有一个极大值点
C.只有一个极小值点 D.有二个极小值点

5.函数，当时，有极值，则函数的单调减区间为 ．

6．已知曲线上一点，则点处的切线方程是 ；过点的切线方程是 ．

7.已知在上为减函数，则的取值范围为 ．

【经典作业】
1．设, 点是函数的图象的一个公共点, 两函数的图象在点处有相同的切线.
(1) 用表示.
(2) 若函数在上单调递减，求的取值范围.

2.（北京卷文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4.
（1）当且曲线过原点时，求的解析式；
（2）若在无极值点，求的取值范围.

第八讲 导数的应用（三）
【知识要点】
（1）不等式证明问题
（2）恒成立问题求范围
【经典例题】
题型一：不等式证明问题
1.证明不等式
(1)； (2).

2.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同.
（1）用表示，并求的最大值；
（2）求证：（）．

题型二：恒成立问题
3.已知函数在处取得极值，其中为常数.
（1）试确定的值；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

4.设函数．
（1）求的最小值；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.

5.（安徽卷20）设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）已知对任意成立，求实数的取值范围.

*6．设函数，若对于任意的都有成立，求实数.

【经典练习】
1.已知对任意实数，有，且时， ，则时（ ）
A. B.
C. D.
2.已知是定义在上的函数，且,则当,有（ ）
A. B.
C. D.
3.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时
,且则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
4.函数有（ ）
A.极小值-2，极大值2 B.极小值-2，极大值3
C.极小值-1，极大值1 D.极小值-1，极大值3
5.（2009天津卷理）设函数则（ ）
A．在区间内均有零点
B．在区间内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点

【经典作业】
1．函数有极值的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
2.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（　 ）
A.或 B.或 C.或 D.或
3.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A. B.
C. D.
4.设为实数，函数.
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，.

第九讲 导数的应用（四）
【知识要点】
图像的交点问题
【典型例题】
1.（2009陕西卷文）已知函数
（1）求的单调区间；
（2）若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.

2．设函数，，当时，取得极值.
（1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；
（2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.

3. 已知函数其中是的的导函数
（1）对满足的一切的值， 都有求实数的取值范围
（2）设()，当实数ｍ在什么范围内变化时，函数的图像与直线只有一个公共点.

4.设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1
（1）确定b、c的值；
（2）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，；
（3）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围.

【课堂练习】
1.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

2．方程的实数解的集合是（　 　）
A.至少有2个元素　　　　　　 　 B. 至少有3个元素
C.恰有1个元素 D. 恰好有5个元素
3.直线是曲线的一条切线，则实数b＝ .
4.若上是减函数，则的取值范围是________.
5. 已知函数
(1)求在区间上的最大值
(2)是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

【课后作业】

1.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）
A.1个 B.2个
C.3个 D. 4个
2.曲线在原点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是函数的一个极值点.
(1)求；
(2)求函数的单调区间；
(3)若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.

第十讲 导数专题（一）
【知识要点】
1.证明不等式
2.恒成立问题
【典型例题】
1.证明：.

2.设函数，其中．
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）求函数的极值点；
（3）证明对任意的正整数，不等式都成立．

3.设，．
（1）求的单调区间和最小值；
（2）讨论与的大小关系；
（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．

4.已知,.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数上的最小值；
(3)对一切的,恒成立，求实数的取值范围.

5.设函数.
（1）若=，求的单调区间；
（2）若当时，求的取值范围.

6．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数的取值范围.

第十一讲 导数专题（二）
【知识要点】
双变量的不等式证明（或恒成立问题）
【典型例题】
1.证明：当m>n>0时，.

2.已知函数.
（1）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围;
（2）当时，求函数的最大值;
（3）当时，且，证明：.

3. 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：若，则对任意x，x，xx，有.

4. 已知函数.
(1)若函数y=f(x)的图象切x轴于点（2，0），求a、b的值；
(2)设函数y=f(x) 的图象上任意一点的切线斜率为k，试求的充要条件；
(3)若函数y=f(x)的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证.

5.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设.如果对任意，，求的取值范围.

6．已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对于任意的，不等式对上恒成立，求的取值范围.

第十二讲 导数专题（三）
【知识要点】
双自变量的不等式证明与恒成立问题
【典型例题】
1. 已知函数是上的奇函数，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意，不等式恒成立.

2. 设，且曲线在处的切线与轴平行.
（1）求的值，并讨论的单调性；
（2）证明：当时，.

3. 设，且（为自然对数的底数）.
（1）求与的关系；
（2）若在其定义域内为单调递增函数，求的取值范围；
（3）设且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

4. 已知函数，.
（1）求的单调区间和值域；
（2）设，函数. 若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

5. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设=，当=时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.

6. 设是函数的一个极值点.
（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（2）设，. 若存在，使得成立，求的取值范围.