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老梁试卷高一数学必修一综合
一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分)
1.(5.00分)已知集合A={x|x2<16},B={x|4﹣2x>0},则A∩B=( )
A.(﹣4,2) B.(﹣4,4) C.(﹣2,2) D.(﹣2,4)
2.(5.00分)函数f(x)=ln||的大致图象是( )
A. B. C. D.
3.(5.00分)已知函数是奇函数,则f(a)的值等于( )
A. B.3 C.或3 D.或3
4.(5.00分)已知奇函数f(x),当x>0时单调递增,且f(1)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围为( )
A.{x|0<x<1或x>2} B.{x|x<0或x>2}
C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<﹣1或x>1}
5.(5.00分)已知函数f(x)=logax(0<a<1)的导函数为f'(x),记A=f'(a),B=f(a+1)﹣f(a),C=f'(a+1),则( )
A.A>B>C B.A>C>B C.B>A>C D.C>B>A
6.(5.00分)已知函数,若x,y满足,则的取值范围是( )
A. B. C.(﹣1,1) D.[﹣1,1]
7.(5.00分)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m﹣1)xn的图象上,设,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c
8.(5.00分)已知函数f(x)=,g(x)=ex(e是自然对数的底数),若关于x的方程g(f(x))﹣m=0恰有两个不等实根x1、x2,且x1<x2,则x2﹣x1的最小值为( )
A.(1﹣ln2) B.+ln2 C.1﹣ln2 D.(1+ln2)
9.(5.00分)某公司拟投资开发新产品,估计能获得10万元至100万元的投资收益,为激发开发者的潜能,公司制定产品研制的奖励方案:奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加,同时奖金不超过投资收益的20%,奖金封顶9万元,若采用以下函数模型拟合公司奖励方案,则较适合的函数是( )
A.y=+2 B.y= C.y=+ D.y=4lgx﹣3
10.(5.00分)在下列图象中,二次函数y=ax2+bx+c与函数y=()x的图象可能是( )
A. B. C. D.
二.填空题(共4小题)
11.已知log2x=log3y=log5z<0,则、、由小到大排序为 .
12.已知函数(a>0,且a≠1),若f(﹣3)<f(4),则不等式f(x2﹣3x)<f(4)的解集为 .
13.函数f(x)=,关于x的方程f(x)=kx﹣k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为 .
14.已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 .
三.解答题(共6小题)
15.已知定义域为R的函数f(x)=﹣+是奇函数
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性并证明;
(3)若对于任意的t∈(1,2),不等式f(﹣2t2+t+1)+f(t2﹣2mt)≤0有解,求m的取值范围.
16.(1)计算:;
(2)已知x+x=2,求的值.
17.已知函数f(x)=lg(x+1)﹣lg(1﹣x).
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性.
18.已知幂函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x﹣k,
(Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)当x∈(1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.
19.已知函数
(1)求函数f(x)的反函数f﹣1(x);
(2)试问:函数f(x)的图象上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若方程的三个实数根x1、x2、x3满足:x1<x2<x3,且x3﹣x2=2(x2﹣x1),求实数a的值.
20.如图所示,在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街,其起点和终点均在道路AB上,街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD,及夹在两线段EF、CD间的弧组成.若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元,在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元.已知,设∠EOD=2θ,
(1)将商业街的总收益f(θ)表示为θ的函数;
(2)求商业街的总收益的最大值.
老梁试卷高一数学必修一综合
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分)
1.(5.00分)已知集合A={x|x2<16},B={x|4﹣2x>0},则A∩B=( )
A.(﹣4,2) B.(﹣4,4) C.(﹣2,2) D.(﹣2,4)
【分析】可解出集合A,B,然后进行交集的运算即可.
【解答】解:A={x|﹣4<x<4},B={x|x<2};
∴A∩B=(﹣4,2).
故选:A.
【点评】考查描述法、区间表示集合的概念,以及交集的运算.
2.(5.00分)函数f(x)=ln||的大致图象是( )
A. B. C. D.
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断
【解答】解∵,
∴f(﹣x)=ln||=﹣ln||=﹣f(x),
∴f(x)为奇函数,排除A,C
当0<x=e+1,则f(e+1)=ln||=ln|e+2|﹣lne>0,故排除B,
故选:D.
【点评】本题考查了函数图象的识别和判断,关键是掌握函数的奇偶性,以函数值的特点,属于基础题
3.(5.00分)已知函数是奇函数,则f(a)的值等于( )
A. B.3 C.或3 D.或3
【分析】根据f(x)为奇函数即可得出,从而可解出a=±1,从而可求出f(a)的值.
【解答】解:f(x)是奇函数;
∴;
整理得:(2a2﹣2)2x=0;
∴2a2﹣2=0;
∴a=±1;
a=1时,;
a=﹣1时,.
故选:C.
【点评】考查奇函数的定义,指数式的运算,以及已知函数求值的方法.
4.(5.00分)已知奇函数f(x),当x>0时单调递增,且f(1)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围为( )
A.{x|0<x<1或x>2} B.{x|x<0或x>2} C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<﹣1或x>1}
【分析】先确定函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且f(﹣1)=0,再将不等式等价变形,即可得到结论.
【解答】解:∵定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,
∴函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且f(﹣1)=0,
且﹣1<x<0或x>1,f(x)>0;
x<﹣1或0<x<1,f(x)<0;
∴不等式f(x﹣1)>0,
∴﹣1<x﹣1<0或x﹣1>1,
解得0<x<1或x>2,
故选:A.
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性,属于基础题.
5.(5.00分)已知函数f(x)=logax(0<a<1)的导函数为f'(x),记A=f'(a),B=f(a+1)﹣f(a),C=f'(a+1),则( )
A.A>B>C B.A>C>B C.B>A>C D.C>B>A
【分析】设M坐标为(a,f(a)),N坐标为(a+1,f(a+1)),利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率,直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率,根据对数函数的图象可知大小,得到正确答案.
【解答】解:记M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),
则由于B=f(a+1)﹣f(a)=,表示直线MN的斜率,
A=f′(a)表示函数f(x)=logax在点M处的切线斜率,
C=f′(a+1)表示函数f(x)=logax在点N处的切线斜率.
所以,C>B>A.
故选:D.
【点评】本题考查三个数的大小的比较,考查会利用导数求过曲线上某点切线的斜率,掌握直线斜率的求法,是一道中档题.
6.(5.00分)已知函数,若x,y满足,则的取值范围是( )
A. B. C.(﹣1,1) D.[﹣1,1]
【分析】先求出函数y=f(x)的定义域(﹣1,1),并利用定义判断出函数y=f(x)为奇函数,利用复合函数的单调性判断出函数y=f(x)为减函数,由,得,可得到关于x、y的二元一次方程组,然后利用线性规划的知识可求出的取值范围.
【解答】解:由,得,解得﹣1<x<1,
所以,函数的定义域为(﹣1,1),关于原点对称,
任取x∈(﹣1,1),则﹣x∈(﹣1,1),,
所以,函数为奇函数,
令,
则内层函数在x∈(﹣1,1)上单调递减,
而外层函数y=lnu单调递增,由复合函数的单调性可知,函数为减函数,
由,得,
则有,化简得,
做出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分区域所示,
而代数式表示连接可行域上的点(x,y)与定点P(﹣3,0)两点连线的斜率,
由斜率公式可得直线PC的斜率为,
直线PB的斜率为,
结合图形可知,的取值范围是(﹣1,1),
故选:C.
【点评】本题考察函数的奇偶性与单调性、以及线性规划,关键在于利用函数的单调性与奇偶性得到二元一次不等式组,然后利用线性规划求代数式的取值范围,属于中等题.
7.(5.00分)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m﹣1)xn的图象上,设,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c
【分析】由幂函数的定义可得m=2,n=3,f(x)=x3,且f(x)在R上递增,结合对数函数和幂函数的性质,即可得到a,b,c的大小关系.
【解答】解:点(m,8)在幂函数f (x)=(m﹣1)xn的图象上,
可得m﹣1=1,即m=2,
2n=8,可得n=3,
则f(x)=x3,且f(x)在R上递增,
由a=f(),b=f (ln π),c=f(),
0<<<1,ln π>1,
可得a<c<b,
故选:A.
【点评】本题考查幂函数的解析式和性质以及运用:比较大小,考查运算能力,属于中档题.
8.(5.00分)已知函数f(x)=,g(x)=ex(e是自然对数的底数),若关于x的方程g(f(x))﹣m=0恰有两个不等实根x1、x2,且x1<x2,则x2﹣x1的最小值为( )
A.(1﹣ln2) B.+ln2 C.1﹣ln2 D.(1+ln2)
【分析】化简方程为f(x)=lnm,作函数f(x),y=lnm的图象,结合图象可知,存在实数m(0<m≤1),使x2=e=m,可得x1﹣x2=m﹣lnm,令g(m)=m﹣lnm,利用导数可得g(m)≥g()=,
【解答】解:∵f(x)=,∴f(x)>0恒成立;
∴g[f(x)]=e f(x)=m,∴f(x)=lnm;
作函数f(x),y=lnm的图象如下,
结合图象可知,存在实数m(0<m≤1),使x2=e=m
故x1﹣x2=m﹣lnm,令g(m)=m﹣lnm,则g′(m)=1﹣,
故g(m)在(0,]递减,在(,1)递增,∴g(m)≥g()=,
故选:D.
【点评】本题考查了复合函数与分段函数的应用,同时考查了导数的综合应用及最值问题,应用了数形结合的思想及转化构造的方法.
9.(5.00分)某公司拟投资开发新产品,估计能获得10万元至100万元的投资收益,为激发开发者的潜能,公司制定产品研制的奖励方案:奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加,同时奖金不超过投资收益的20%,奖金封顶9万元,若采用以下函数模型拟合公司奖励方案,则较适合的函数是( )
A.y=+2 B.y= C.y=+ D.y=4lgx﹣3
【分析】由设奖励函数模型为y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[10,100]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③恒成立.然后对两个函数模型逐一分析,对三个条件全部满足的选取,三个条件有一个不满足则舍弃.
【解答】解:设奖励函数模型为y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:
当x∈[10,100]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③恒成立.
①对于函数模型y=+2:
当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)=+2=5+2=7.
所以f(x)≤9恒成立.
因为函数=+在[10,100]上是减函数,所以[]max==>.
即不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.
②对于函数模型y=:
当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)==10>9.
所以f(x)≤9不成立.故该函数模型不符合公司要求.
③于函数模型y=+=(x+):
当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)=+=4+.
所以f(x)≤9恒成立.
因为函数=+在[10,100]上是减函数,所以[]max=+=<.
即恒成立.故该函数模型符合公司要求.
④对于函数模型f(x)=4lgx﹣3:
当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)=4lg100﹣3=8﹣3=5.
所以f(x)≤9恒成立.
设g(x)=4lgx﹣3﹣,则.
当x≥10时,,
所以g(x)在[10,100]上是减函数,从而g(x)≤g(10)=﹣1<0.
所以4lgx﹣3﹣<0,即4lgx﹣3<,所以恒成立.
故该函数模型符合公司要求.
在③和④中,③的f(x)max=4+.④的最大值为(x)max=5.
则为了达到激励的目的,应该是收益越高,奖励的比例越高,故④比③更合适,
故选:D.
【点评】本题考查了函数模型的选择及应用,训练了函数最值的求法,综合性较强,有一定的难度.
10.(5.00分)在下列图象中,二次函数y=ax2+bx+c与函数y=()x的图象可能是( )
A. B. C. D.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c与函数y=()x的图象,分别判断a,b,c的符号及关系,由此寻找正确答案.
【解答】解:A中,由二次函数y=ax2+bx+c的图象知,a>0,b>0,c=0,.此时,y=()x即y=()x为减函数,故A成立;
B中,由二次函数y=ax2+bx+c的图象知,a>0,b<0,c=0.此时,<0,函数y=()x无意义,故B不成立;
C中,由二次函数y=ax2+bx+c的图象知,a<0,b<0,c=0,.此时,y=()x即y=()x为增函数,故C不成立;
D中,由二次函数y=ax2+bx+c的图象知,a>0,b<0,c=0.此时,<0,函数y=()x无意义,故D不成立;
故选:A.
【点评】本题考查指数函数和二次函数的图象和性质,解题时结合图象要能准确地判断系数的取值.
二.填空题(共4小题)
11.已知log2x=log3y=log5z<0,则、、由小到大排序为 << .
【分析】设k=log2x=log3y=log5z<0,可得x=2k,y=3k,z=5k.可得==21﹣k,=31﹣k,=51﹣k,利用指数函数的即可得出.
【解答】解:设k=log2x=log3y=log5z<0,∴x=2k,y=3k,z=5k.
则==21﹣k,=31﹣k,=51﹣k,
∴21﹣k<31﹣k<51﹣k,
∴<<,
故答案为:<<.
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12.已知函数(a>0,且a≠1),若f(﹣3)<f(4),则不等式f(x2﹣3x)<f(4)的解集为 (﹣1,0)∪(0,3)∪(3,4) .
【分析】直接利用函数的性质和定义域求出结果.
【解答】解:函数(a>0,且a≠1),若f(﹣3)<f(4),
则:函数单调递增,
故:不等式f(x2﹣3x)<f(4)满足:x2﹣3x<4,
解得:﹣1<x<4,
由于:x2﹣3x≠0,
解得:x≠0且x≠3,
故:不等式f(x2﹣3x)<f(4)的解集为:(﹣1,0)∪(0,3)∪(3,4).
故答案为:(﹣1,0)∪(0,3)∪(3,4).
【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,单调性的应用.
13.函数f(x)=,关于x的方程f(x)=kx﹣k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为 k≥﹣且k≠1 .
【分析】根据函数与方程的关系,转化为函数f(x)与g(x)=k(x﹣1),至少有两个不同的交点,作出对应的图象,利用数形结合进行求解即可.
【解答】解:由f(x)=kx﹣k至少有两个不相等的实数根,得f(x)=k(x﹣1)至少有两个不相等的实数根,
设g(x)=k(x﹣1),则等价为f(x)与g(x)至少有两个不同的交点,
作出函数f(x)的图象如图:
g(x)=k(x﹣1),过定点C(1,0),
当x>0时,f(x)=x2﹣x的导数f′(x)=2x﹣1,
在x=1处,f′(1)=2﹣1=1,
当k=1时,g(x)=x﹣1与f(x)=+x=x+1平行,
此时两个图象只有一个交点,不满足条件.
当k>1时,两个函数有两个不相等的实数根,
当0≤k<1时,两个函数有3个不相等的实数根,
当k<0时,当直线经过点A(﹣,)时,两个图象有两个交点,
此时k(﹣﹣1)=,即k=﹣,
当﹣<k<0时,两个图象有3个交点,
综上要使方程f(x)=kx﹣k至少有两个不相等的实数根,则k>﹣且k≠1,
故答案为:k≥﹣且k≠1.
【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题,结合数形结合是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.
14.已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 {x|1<x<4} .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 (1,3]∪(4,+∞) .
【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可;利用函数的图象,通过函数的零点得到不等式求解即可.
【解答】解:当λ=2时函数f(x)=,显然x≥2时,不等式x﹣4<0的解集:{x|2≤x<4};x<2时,不等式f(x)<0化为:x2﹣4x+3<0,解得1<x<2,综上,不等式的解集为:{x|1<x<4}.
函数f(x)恰有2个零点,
函数f(x)=的草图如图:
函数f(x)恰有2个零点,则1<λ≤3或λ>4.
故答案为:{x|1<x<4};(1,3]∪(4,+∞).
【点评】本题考查函数与方程的应用,考查数形结合以及函数的零点个数的判断,考查发现问题解决问题的能力.
三.解答题(共6小题)
15.已知定义域为R的函数f(x)=﹣+是奇函数
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性并证明;
(3)若对于任意的t∈(1,2),不等式f(﹣2t2+t+1)+f(t2﹣2mt)≤0有解,求m的取值范围.
【分析】(1)根据f(0)=0求出a的值;
(2)根据函数单调性的定义证明;
(3)根据奇偶性和单调性列出不等式,从而得出m的范围.
【解答】解:(1)∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=﹣+=0,
∴a=1.
(2)f(x)=﹣+,故f(x)是R上的减函数.
证明:设x1,x2是R上的任意两个数,且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
∵x1<x2,
∴0<3<3,
∴>0,即f(x1)﹣f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上是减函数.
(3)∵f(x)是奇函数,f(﹣2t2+t+1)+f(t2﹣2mt)≤0有解,
∴f(t2﹣2mt)≤﹣f(﹣2t2+t+1)=f(2t2﹣t﹣1),
又f(x)是减函数,
∴t2﹣2mt≥2t2﹣t﹣1在(1,2)上有解,
∴m≤=﹣++.
设g(t)=﹣++,则g′(t)=﹣﹣<0,
∴g(t)在(1,2)上单调递减,
∴g(t)<g(1)=.
∴m的取值范围是(﹣∞,].
【点评】本题考查了函数奇偶性、单调性的应用,函数最值的计算,属于中档题.
16.(1)计算:;
(2)已知x+x=2,求的值.
【分析】(1)利用根式的运算性质即可得出.
(2)由,两边平方:,可得x+x﹣1=2,两边平方得:x2+x﹣2=2,两边平方得:x4+x﹣4=2,代入即可得出.
【解答】解:(1)原式=;
(2)∵,∴两边平方:,
∴x+x﹣1=2,两边平方得:x2+x﹣2=2,两边平方得:x4+x﹣4=2,
∴原式=.
【点评】本题考查了乘法公式、根式的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
17.已知函数f(x)=lg(x+1)﹣lg(1﹣x).
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性.
【分析】(1)欲使f(x)有意义,须有,解出即可;
(2)利用函数奇偶性的定义即可作出判断;
【解答】解:(1)依题意有
解得﹣1<x<1
故函数的定义域为(﹣1,1)
(2)
∵f(﹣x)=lg(1﹣x)﹣lg(1+x)=﹣f(x)
∴f(x)为奇函数.
【点评】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断,属基础题,定义是解决函数奇偶性的基本方法.
18.已知幂函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x﹣k,
(Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)当x∈(1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.
【分析】(Ⅰ)根据幂函数的定义和性质即可求出m的值,
(Ⅱ)先求出f(x),g(x)的值域,再根据若A∪B⊆A,得到关于k的不等式组,解的即可.
【解答】解:(Ⅰ)依题意幂函数f(x)=得:(m﹣1)2=1,
解得m=0或m=2,
当m=2时,f(x)=x﹣2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去
∴m=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2,当x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增,
∴A=[1,4],B=(2﹣k,4﹣k],
∵A∪B⊆A,
∴解得,0≤k≤1,
故实数K的取值范围为[0,1].
【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义,以及集合的运算,属于基础题.
19.已知函数
(1)求函数f(x)的反函数f﹣1(x);
(2)试问:函数f(x)的图象上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若方程的三个实数根x1、x2、x3满足:x1<x2<x3,且x3﹣x2=2(x2﹣x1),求实数a的值.
【分析】(1)用y表示出x,即可得出反函数;
(2)设出对称的两点横坐标坐标,令函数值的和为0求出点的横坐标,从而得出两点坐标;
(3)判断f(x)与2的大小,求出x1、x2、x3的值,根据得x3﹣x2=2(x2﹣x1)得出a的值.
【解答】解:(1)∵∴当﹣1≤x<0时,f(x)=﹣2x,且0<f(x)≤2.
由y=﹣2x,得,互换x与y,可得.
当0≤x≤1时,f(x)=x2﹣1,且﹣1≤f(x)≤0.
由y=x2﹣1,得,互换x与y,可得.
∴
(2)函数图象上存在两点关于原点对称.
设点A(x0,y0)(0<x0≤1)、B(﹣x0,﹣y0)是函数图象上关于原点对称的点,
则f(x0)+f(﹣x0)=0,即,
解得,且满足0<x≤1.
因此,函数图象上存在点关于原点对称.
(3)令f(x)=2,解得x=﹣,
①当时,有,原方程可化为﹣4x﹣2ax﹣4=0,
解得,令,
解得:.
②当时,,原方程可化为,化简得(a2+4)x2+4ax=0,
解得,
又,∴.
∴.
由x3﹣x2=2(x2﹣x1),得,解得a=﹣(舍)或a=.
因此,所求实数.
【点评】本题考查了反函数的求解,考查函数的对称性,函数零点的计算,属于中档题.
20.如图所示,在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街,其起点和终点均在道路AB上,街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD,及夹在两线段EF、CD间的弧组成.若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元,在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元.已知,设∠EOD=2θ,
(1)将商业街的总收益f(θ)表示为θ的函数;
(2)求商业街的总收益的最大值.
【分析】(1)①求出θ∈(0,]时f(θ)的解析式;
②求出θ∈(,)时f(θ)的解析式,
利用分段函数写出f(θ)在(0,)上的解析式;
(2)利用导数研究函数f(θ)在(0,)上的单调性并求出最大值.
【解答】解:(1)①当θ∈(0,]时,ED=2θ,EF=+cosθ;
∴f(θ)=2aθ+2a(+2cosθ);
②当θ∈(,)时,ED+FA+BC=4θ﹣,EF=2cosθ;
∴f(θ)=(4θ﹣)a+2a(4cosθ);
由①②可得,f(θ)=;
(2)①当θ∈(0,]时,f′(θ)=2a(1﹣2sinθ);
由a>0,填表如下:
θ
(0,]
(,)
f′(θ)
+
0
﹣
f(θ)
单调递增
极大值
单调递减
∴当θ=时,f(θ)有最大值为(2+2+)a;
②当θ∈(,)时,f′(θ)=a(4﹣8sinθ);
∵a>0,且sinθ∈(,1),
∴f′(θ)=a(4﹣8sinθ)<0,
∴f(θ)在θ∈(,)时单调递减,
∴f(θ)<f();
又∵f()<f(),
∴当θ∈(0,)时,在θ=时f(θ)取得最大值为(2+2+)a;
即θ=时,商业街总收益最大,最大值为(2+2+)a.
【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题,也考查了用导数研究函数的单调性与最值问题,是难题.
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