高一数学《1.1.1任意角》.doc

1.1．1 任意角（1课时）
教学目标：
1、通过举例能够得出任意角的概念及角的分类：2、能说出象线角的概念；3、通过交流、讨论，能归纳出终边相同的角的概念，并能熟练求出终边相同的角的集合。
教学过程
一、引入：
1．回顾初中学过的角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
二、新课：
学生活动一：学生首先自学第2—3页的内容后完成以下问题，如有问题交流、讨论、完善：
1、 角的有关概念是什么、构成角的三要素又是什么？（要求画图说明）
2、 角的分类有哪些？
3、 象限角的是如何定义的？

注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．

活动一的巩固训练：
1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
⑵
B1
y
⑴
O
x
45°
B2
O
x
B3
y
30°
60o

2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．
⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；

学生活动二：
1、 学生交流、讨论第3页的探究；
2、 完成第4页例1以上的内容；
3、 自学例1；
这个活动中要求教师时时点拨，讲解，特别是终边相同的角的表示。
活动二的巩固训练：
（此题可以完全放给学生完成）3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
⑴ 120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．

（此题要求教师精讲）4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．

（师生共同完成）5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．

三、课堂练习
探究：教材P5 练习
5．课堂小结
①角的定义；②角的分类： ③象限角；④终边相同的角的表示法．
6．课后作业：课时作业55页

1.1.2弧度制
教学目标：1、通过阅读课本上的定义，能说出弧度制的概念；2、能进行弧度与角度的互化；3、熟记弧度制下的弧长公式和扇形公式。
教学过程
一、 复习回顾：
1、①角的定义；②角的分类： ③象限角；④终边相同的角的表示法．
2、角度值；
二、新课：
学生活动一：学生首先自学第6—8页例3上面的内容后完成以下问题（交流、讨论、完善）：
1、 如何定义弧度制的？
2、 完成第6页的探究？（教师需要精讲点拨）
3、 弧度制和角度制是如何进行转化的，转化公式是什么？
归纳总结：弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为 ②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=

活动一的训练题：
1．把67°30＇化成弧度．
2．把化成度．
3．计算：；．
4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：
；．
5．将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．
；．
6．特殊角的弧度
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0

这个活动中要求教师时时点拨，讲解，特别是终边相同的角的表示。

学生活动二：
1、 复习初中学过的扇形的弧长和面积公式；
2、 证明例2（教师带着学生证第1个，第2和3由学生自己完成）
．
提升训练：
已知是第三象限的角，求所在的象限‘
3．课堂小结：
①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．
4．课后作业：
1、课本9页A组；2、课时作业56页

4-1.2.1任意角的三角函数（1）
学习目的：1、通过复习初中学过的三角函数的定义，借助单位圆能归纳出任意角的三角函数的定义；
2、已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3、记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
教学过程：
一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为 ．
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做α的正弦，记作，即；
（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
（4）比值叫做α的余切，记作，即；
说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，
所以无意义；同理当时，无意义；
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、分别是一个确定的实数，
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
函 数
定 义 域
值 域

2．三角函数的定义域、值域

注意：
(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.
3．例题分析
例1．求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）
（1）； （2）； （3）．

例2．已知角α的终边经过点，求α的四个函数值。

例3．已知角α的终边过点，求α的四个三角函数值。

4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
练习： 确定下列三角函数值的符号：
（1）； （2）； （3）； （4）．
例4．求证：若且，则角是第三象限角，反之也成立。
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：
，
，其中．
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
例5．求下列三角函数的值：（1）， （2），
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。
五、巩固与练习
作业P20面习题1．２A组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）题。
4-1.2.1任意角的三角函数（三）
学习目的：
1、 复习三角函数的定义、三角函数的符号及诱导公式；
2、 由三角函数的定义和单位圆得出正弦线、余弦线、正切线的概念
教学过程：
一、复习引入：
1. 三角函数的定义：
2. 诱导公式

练习1.

练习2.

练习3. C

二、讲解新课：
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，

过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延
长线交与点.

由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的
为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）．
例2.

例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．

5、能力提升
利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1° 与 2° 与
三、巩固与练习：P17面练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业： 作业4
4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2课时）
教学目的：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；
2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3. 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；
教学过程：
一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为
，那么：，，，
2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα的符号分别是怎样的？
3．背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；
4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？
二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系）
1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系： （2）平方关系：
说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
2．例题分析：
一、求值问题
例1．（1）已知，并且是第二象限角，求．
（2） 已知，求．
归纳总结：1、已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
2、解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例2．已知为非零实数，用表示．
例3、已知，求
强调（指出）技巧：1° 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式；
2° “化1法”可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：
（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；
（2）尽量使分母不含三角函数式；
（3）根式内的三角函数式尽量开出来；
（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，
二、化简
练习1．化简．
练习2．
三、证明恒等式
例4．求证：．
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子；
（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
五、课后作业：课时作业